Hamilton ' s Prinsipp

Notatene fra uke 1 i John Baez kurs i Lagrangian mekanikk gir litt innsikt i motivasjonene for handlingsprinsipper.

Tanken er at minst handling kan betraktes som en utvidelse av prinsippet om virtuelt arbeid. Når et objekt er i likevekt, tar det null arbeid å gjøre en vilkårlig liten forskyvning på det, dvs. e. prikkproduktet til en hvilken som helst liten forskyvningsvektor og kraften er null (i dette tilfellet fordi selve kraften er null).

Når et objekt akselererer, hvis vi legger til en «treghetskraft» lik $ \, – ma \, $ , så vil en liten, vilkårlig, tidsavhengig forskyvning fra objektets sanne bane igjen ha null prikkprodukt med $ \, F-ma, \, $ den virkelige kraften og treghetskraften lagt til. Dette gir

$$ (F-ma) \ cdot \ delta q (t) = 0 $$

From der fører noen få beregninger funnet i notatene til den stasjonære handlingsintegralen.

Baez diskuterer D «Alembert mer enn Hamilton, men uansett er det et interessant blikk på ideenes opprinnelse.

Kommentarer

• Merk at prinsippet om virtuelt arbeid heter D ‘ Alembert-prinsippet: no.wikipedia.org/wiki/D%27Alembert%27s_principle

Som du kan se fra bildet nedenfor, vil du at variasjonen av handlingsintegralen skal være et minimum, derfor må $ \ displaystyle \ frac {\ delta S} {\ delta q} $ være $ 0 $. Ellers tar du ikke den sanne banen mellom $ q_ {t_ {1}} $ og $ q_ {t_ {2}} $, men en litt lengre sti. Selv om du følger $ \ delta S = 0 $, kan du som kjent ende opp med en annen ekstrem.

Ved å følge lenken fra jc, kan du finne På en generell metode for dynamikk , som sannsynligvis svarer på spørsmålet ditt om Hamiltons resonnement. Jeg har ikke lest det, men nesten sikkert, er det verdt det.

Kommentarer

• Dette virker som et tautologisk svar da det er nettopp Hamilton ‘ s prinsipp som i utgangspunktet brukes til å komme til bildet ovenfor.
• Kanskje du ble lært Hamilton ‘ s prinsipp og ankom det bildet som en forklaring, men bildet er helt generelt. Den beskriver variasjonen av en funksjon med faste sluttpunkter.

Jeg forteller generelt historien om at handlingsprinsippet er en annen måte å komme i samme differensialligninger – så på mekanisk nivå er de to likeverdige. Imidlertid, når det gjelder kvantefeltteori, er beskrivelsen i form av stiintegraler over den eksponentierte handlingen viktig når man vurderer instanton-effekter. Så til slutt finner man at formuleringen når det gjelder handlinger er mer grunnleggende og mer fysisk forsvarlig.

Men likevel har folk ikke en «følelse» for handling slik de har en følelse av energi.

La oss huske at bevegelsesligningene med initial betingelser $ q (0), (dq / dt) (0) $ ble avansert først og minst handlingsprinsippet ble formulert senere, som en sekvens. Selv om det var vakkert og elegant matematisk, minste handlingsprinsipp bruker en fremtidig, «grense» -betingelse $ q (t_2) $, som er ukjent fysisk. Det er ikke minst handlingsprinsipp som bare fungerer med de opprinnelige forholdene.

Videre antydes det ligninger har fysiske løsninger. Dette er slik i Klassisk Mekanikk, men er galt i Klassisk Elektrodynamikk. Så selv avledet fra formelt riktig «prinsipp», kan ligningene være feil på fysisk og matematisk nivå. respekt, å formulere de riktige fysiske ligningene er en mer grunnleggende oppgave for fysikere enn å stole på noe «prinsipp» for å oppnå ligninger «automatisk». Det er vi fysikere som er ansvarlige for å korrekt formulere ligninger.

I CED, QED og QFT må man «reparere på farten» feil løsninger bare fordi fysikken ble gjettet og opprinnelig implementert feil.

PS Jeg vil gjerne vise hvordan i virkeligheten systemet «velger» sin bane: hvis partikkelen ved $ t = 0 $ har momentum $ p (t) $, så neste gang $ t + dt $ har den momentum $ p (t) + F (t) \ cdot dt $. Denne økningen er ganske lokal i tid, den bestemmes av nåværende kraftverdi $ F (t) $, så ingen fremtidig «grense» -tilstand kan bestemme den. Banen er ikke «valgt» fra virtuelle; den er «tegnet» av øyeblikkelige verdier av kraft, koordinat og hastighet.

Kommentarer

• Jeg liker å tro at begge alternativene bare er matematiske. modeller og så ingen er mer ekte. Verken systemet velger sin bane eller fremtiden bestemmer den minste handlingsveien. Ikke-lokaliteten til QM fører til lignende tvil.
• Utrolig nok er det nå et minste handlingsprinsipp som bare fungerer med de opprinnelige forholdene! prl.aps.org/abstract/PRL/v110/i17/e174301
• Her er en gratis arXiv-versjon . Uten å lese artikkelen i detalj lukter den en klassisk Keldysh formalisme , jfr. dette og dette Phys.SE-innlegg.

I stedet for å spesifisere utgangsposisjonen og momentum akkurat som vi har gjort i Newtons formalisme, la oss omformulere spørsmålet vårt slik:

Hvis vi velger å spesifisere start- og sluttposisjonene: $ \ textbf {Hvilken vei tar partikkelen?} $

La» s hevder at vi kan gjenopprette Newtons formalisme ved følgende formalisme, såkalt Lagrangian formalisme eller Hamiltonian-prinsipp.

Til hver vei som er illstrated på figuren ovenfor, tildeler vi et tall som vi kaller handlingen

$$ S [\ vec {r} (t)] = \ int_ {t_1} ^ {t_2} dt \ left (\ dfrac {1} { 2} m \ dot {\ vec {r}} ^ 2-V (\ vec {r}) \ right) $$

der denne integranden er forskjellen mellom den kinetiske energien og den potensielle energien.

$ \ textbf {Hamiltons prinsipp hevder} $: Den sanne banen som partikkelen tar er en ekstrem av S.

$ \ textbf {Proof:} $

1. Endre banen litt:

$$ \ vec {r} (t) \ rightarrow \ vec {r} (t) + \ delta \ vec {r} (t) $$

2.Hold endepunktene på den faste banen :

$$ \ delta \ vec {r} (t_1) = \ delta \ vec {r} (t_2) = 0 $$

3. Ta variasjonen av handlingen $ S $:

endelig får du

$$ \ delta S = \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ left [-m \ ddot {\ vec {r}} – \ nabla V \ right] \ cdot \ delta \ vec {r} $$

Forutsetningen at banen vi startet med er en ekstrem del av handlingen, er

$$ \ delta S = 0 $$

som skal holde for alle endringene $ \ delta \ vec {r} (t) $ som vi gjør på banen. Den eneste måten dette kan skje er hvis uttrykket i $ [\ cdots] $ er null.Dette betyr

$$ m \ ddot {\ vec {r}} = – \ nabla V $$

Nå anerkjenner vi dette som $ \ textbf {Newtons ligninger} $. Å kreve at handlingen er ekstremisert tilsvarer å kreve at banen følger Newtons ligninger.

For mer informasjon kan du lese denne pdf-forelesningen.

Håper det hjelper.

Kommentarer

• Hvis vi ser en partikkel begrenset til å bevege seg på en sfære, kommer vi til stier en er et maksimum eller et minimum. Jeg føler at en partikkel følger banen med minst handling, men den matematiske ligningen δS = 0 gir oss et tvetydig svar, men en viss del av dette svaret inneholder en vei med minst handling i den. Du kan se Arfken og Weber.