I Heisenberg-bildet (ved hjelp av naturlige dimensjoner): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Hvis Hamilton er uavhengig av tid, kan vi ta et delvis avledet av begge sider med hensyn til tid: $$ \ partial_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ partial_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Derfor $$ \ partial_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H \,, \ tag {3} $$ men dette tilsvarer ikke det mange lærebøker viser som Heisenberg-bevegelsesligningen. I stedet oppgir de at $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Hvorfor stemmer dette generelt og ikke den tidligere uttalelsen? Blir jeg bare pedant med bruken av delvise og totalderivater?
Kommentarer
- Hvorfor brukte du delvis derivater? I Heisenberg-formalismen er statskittene faste i tid, og operatørene varierer i tid. Så du kan ta den totale tidsavledningen til operatøren på LHS.
- Beklager at jeg ikke kan ' ikke forstå logikken din der. Her får $ O_s $ variere med tiden, og det samme gjør $ O_H $, men det er veldig klart at det på LHS er en total tid derivat på $ O_H $, og det er en delvis tid derivat som vises på RHS. Hvorfor er ikke ' t begge deler derivater i tide?
- @ I.E.P. I likn. (2), på venstre side, hvorfor er det ikke ' det $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, På venstre side skal du bruke $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, og det totale derivatet kan uttrykkes som summen av partielle derivater.
- @IEP Jeg tror her, det du mangler er den matematiske forskjellen mellom totalderivat og delvisderivat. Til venstre $ O_H $ som funksjon av $ t $, derav totalderivatet, til høyre, $ O_H $ som en sammensatt funksjon via forholdet (1), derav delvis derivat for hver komponentfunksjon.
Svar
Med noen definisjoner for å gjøre tidsavhengighet eksplisitt, kan ligningen din (4) få mening. La oss ta følgende:
La $ O_s $ være en operatør avhengig av tid og andre parametere $ O_s: \ mathbb {R} \ ganger S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, hvor $ S $ er plassen til de andre parametrene og $ \ mathrm {Op} $ er plassen til operatører på Hilbert-plassen. La $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ betegner tidsutvikling av operatører i Heisenberg-bildet, gitt av $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Merk at $ (\ partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ og $ \ partial_O \ phi = \ phi $ (fordi $ \ phi $ er lineær i $ O $). Nå, gitt en parameter $ p \ i S $ vi kan definere funksjonen til tiden: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ med $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Vår funksjon $ O_H $ er en en parameter en, så det er bare fornuftig å ta det totale derivatet: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partial_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ partial_O \ phi) _t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ partial_tO_s) (t, p ) \ høyre] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ partial_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
der jeg i det første trinnet har brukt kjederegelen og i de andre, likhetene vi allerede hadde.
Svar
Nei, du er ikke «bare» pedantisk med misbruk av delderivater: Eqns (2) og (3) er flate feil. Du brukte rett og slett ikke definisjonene riktig, som @WeinEld har påpekt. (Du kan ha spart på deg selv sorg hvis du illustrerte spørsmålet ditt for et enkelt system, for eksempel SHO.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ så for $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ hvor $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ og på samme måte for p .
Tidsderivatet til $ O_H $ består av delvis derivat wrt t etter semikolon, pluss konvektivderivat på grunn av strømmen av x og p i Heisenberg-bildet, $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial x (t)} \ dot {x} + \ frac {\ partial O_H} {\ partial p (t)} \ dot {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Bevis dette! Med mindre du gjorde det, er diskusjonen helt damp.)
Delderivatet er $$ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} = e ^ {iHt} \ frac {\ partial O_S} {\ partial t} e ^ {- iHt} = \ left (\ frac {\ partial O_S} {\ partial t} \ right) _H. $$ (Noen uttrykker dette som $ \ frac {\ partial O_H} {\ partial t} $, og stoler på at leseren riktig vil forstå den tydelige differensieringen av bare argumentet etter semikolonet, men akkurat dette spørsmålet kan gjøre dem til tenk deg om to ganger . Nå, for å være sikker, siden $ O_S $ har forsvinnende konvektivderivat, $ dO_S / dt = \ partial O_S / \ partial t $, som reist i en kommentar, så dette er et ikke-problem.)
Uansett setter de to brikkene sammen den konvensjonelle $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ partial_tO_s) _H. $$
Overvåk den tydelige oppførselen til en enkel observerbar som $ O_S = tx $ i SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, den berømte stive klassisk-lignende rotasjon i faseplass, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; dermed $ O_H = tx (t) $. Derfor $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: nå setter pris på effektivitet og forskjeller i de respektive bildene. (Slik som $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ med fysikerne «vanlig unngåelse av matematikeren» s annonse kartnotasjon.)
Du kan finne lagrene dine ved tenker på S-bildet som den euleriske rammen, og H-bildet som den Lagrangian, comoving-rammen.