Jeg har problemer med Ho-Lee-modellen for korte priser og å skille mellom hvordan du finner verdiene for den gratis parameteren λ versus å bruke modell for å forutsi fremtidige priser.
Ho-Lee-modellen for hvert trinn i et binomialtreet: $$ \ lambda_tdt + \ sigma \ sqrt dt $$
Jeg har lest det for å sette den gratis parameteren ved hvert trinn i et rekombinerende binomialtre, setter du hastigheten til tilstand 0 til gjeldende spotfrekvens (dvs.: 1 måneders spotrate) og finner en verdi for lambda som når den er koblet til modellen vil resultere i gjeldende spotrate for neste tidstrinn (f.eks. starter med 1 måneders spotrate ved tilstand 0 og bruker et 1 måneders tidstrinn, vil den riktige verdien for lambda når den er koblet til modellen produsere den nåværende 2 måneders spotraten osv.).
Dette forvirrer meg. Når jeg først har bestemt verdien av lambda for hvert trinn i treet mitt, hvilke innganger endrer jeg for å bruke modellen med søpla mi omialtreet for å forutsi futuresrater .. dvs.: en måneds rate på en måned, om to måneder osv.?
Hvis beskrivelsen min ikke er klar, er det et unntatt fra Bruce Tuckmans bok om emne.
… finn λ1 slik at modellen produserer en to-måneders spotrate som er lik den i markedet. Finn deretter λ2 slik at modellen produserer en tremåneders spotrate som er i markedet. Fortsett på denne måten til treet slutter.
Svar
Du vet at Ho-Lee-modellen er representert av de stokastiske differensiallikningene \ begin {align} dr_t = \ lambda_t \, dt + \ sigma \, dW_t \ end {align} For å implementere vårt binomitre, bruker vi Euler-diskretisering. \ begynn {align} r_t = r_ {t- \ Delta t} + \ lambda_ {t- \ Delta t} \, \ Delta t + \ sigma \, \ sqrt {\ Delta t} \, Z \ end {align} hvor $ Z $ er en standard normal tilfeldig variabel. La $ t_0 = 0 < t_1 < … < t $ og utvid ligningen i diskret tid \ begynn {align} r_t = r_0 + \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ lambda_ {t_i} + \ sigma \ Delta t \ sum_ {t_0 \ leq t_i \ leq t- \ Delta t} \ \, Z \ end {align} Denne relasjonen viser at den korte frekvensen er summen av et sett med ikke-stokastiske driftstrekk og et sett med tilfeldige termer . No-arbitrage null kupong obligasjonsprisen $ P (t, t + \ Delta t) $ vil dermed bli oppgitt som
\ begin {align} P (0, t_n) = E ^ Q \ left [ exp \ left (- \ Delta t \, \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} r (t_i) \ right) \ right] \ end {align} For eksempel beregning av obligasjonsprisen på tidspunktet $ n = 2 $, gir oss: \ begin {align} P (0, t_2) = E ^ Q [\ Delta t \, exp (-r_ {t_0} -r_ {t_1})] = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} E ^ Q [e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_1}}] \ end {align} med andre ord \ begin {align} P (0, t_2) = e ^ {- \ Delta t \, r_ {t_0}} \, exp \ left (- \ De lta t \, E ^ Q [r_ {t_1}] + \ frac {1} {2} \ Delta t \, Var ^ Q [r_ {t_1}] \ høyre) \ end {align} I dette tilfellet $ r_t $ har en normalfordeling, og dermed \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \, r_ {t_0} – \ Delta t \ lambda_0 \, + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 = -2 \ Delta t \, r_ {t_0} – \ lambda_0 \, \ Delta t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (\ Delta t) ^ 2 \ \ end {align} Men \ begin {align} \ ln P (0, t_2) = \ Delta t \, [- f (0,0) -f (0, t_1)] \ end {align} Det kan skrives om som: \ begin {align} -r_ {t_0} -f (0, t_1) = – 2r_ {t_0} – \ lambda_0 \ t + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} deretter \ begin {align} \ lambda_ {t_0} = f (0, t_1) -r_ {t_0} + \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 \ Delta t \ \ end {align} Denne relaton gir de nødvendige rekursive relasjonene for å utvikle Ho-Lee no arbitrage model of short rates. Vi tar et sett med obligasjonspriser og struktur av volatilitetene som et input for de korte rentene. Derfor får vi den evolusjonære ligningen for å skildre modellens binomiale tre.
Kommentarer
- Takk for svaret ditt, selv om det ' s over mitt forståelsesnivå. Enkelt sagt, jeg forstår poenget med modellen er å modellere fremtidige priser. Jeg ' har lest at vi setter gratisparametrene ved hvert trinn i treet slik at modellen spytter ut nåværende spotrater. Hvis det er slik vi vet at modellen er kalibrert, hvilke innganger vil jeg endre slik at jeg kan bruke den til å modellere fremtidige priser?