Hva betyr det eksponensielle begrepet i Fourier-transformasjonen?

Det er en kompleks eksponentiell som roterer for alltid på den komplekse enhetssirkelen:

$$ e ^ {- j \ omega t} = \ cos (\ omega t) – j \ sin (\ omega t). $$

Du kan tenke på Fourier-transform som beregning korrelasjon mellom $ f (t) $ og en kompleks eksponentiell for hver frekvens, når du sammenligner hvor like de er. Komplekse eksponentielle som det har den fine kvaliteten at de kan være tids- forskjøvet ved å multiplisere dem med et komplekst antall enhets magni tude (en konstant kompleks eksponensiell). Hvis Fourier-transformasjonsresultatet ved en bestemt frekvens er et ikke-reelt komplekst tall, kan den komplekse eksponensialen til den frekvensen multipliseres med det komplekse tallet for å få det forskjøvet i tid slik at korrelasjonen til $ f (t) $ maksimeres.

Hvis du ikke liker å tenke på imaginære tall, komplekse tall og funksjoner, kan du alternativt tenke på det komplekse eksponentielle i FT som bare stenografi for å mose sammen både en sinusbølge og en cosinusbølge (av samme frekvens) til en enkelt funksjon som krever mindre kritt på tavlen skriv.

Enten det er Fourier-transform eller Laplace-transform eller Z-transform, etc. er eksponentiell egenfunksjon til Lineære og tidsinvarante (LTI) operatører . hvis en eksponentiell funksjon av «tid» går inn i en LTI, kommer en eksponentiell akkurat som den (men skalert av egenverdien) ut. hva F.T. gjør er å bryte ned en generell funksjon i en sum av disse eksponensialene. som kan sees ved å se på invers Fourier Transform.

The Fourier Transform:

$$ f (t) = \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} F (t) e ^ {i \ omega t} dt \\ F (\ omega) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t) e ^ {- i \ omega t} dt $$

konverterer en funksjon til en integral av harmoniske funksjoner. Du kan tenke på disse som synder og cosinus fordi $ e ^ {i \ theta} = cos (\ theta) + i \ sin (\ theta) $. Fourier-transformasjonen som en kontinuerlig form av Fourier-serien som forvandler ethvert periodisk signal til en sum av andre reelle periodiske (harmoniske) signaler:

$$ f (t) = a_0 + \ sum_ {n = 1 } ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n \ sin (n \ omega t) $$

I Fourier Transform kan du tenke på koeffisientene $ a_n $ og $ b_n $ går over verdiene til en kontinuerlig funksjon. For å ta sammenligningen videre er det en kompleks versjon av serien:

$$ f (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n e ^ {in \ omega t} = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} a_n \ cos (n \ omega t) + b_n i \ sin (n \ omega t) $$

Kommentarer

• Prøv å holde deg til en uavhengig variabel, enten $ t $ eller $ x $, men ikke begge deler. Videre kan du prøve å finne et bedre ord enn ‘ lytte ‘, som ikke ‘ t gir noe mening her.
• Du savner også $ \ omega $ i argumentene til sinusoidene og den eksponensielle funksjonen: $ \ cos (n \ omega t) $, etc.
• @MattL. Trenger jeg $ \ omega $? Fourier Transform har $ e ^ {i \ omega t} $, men i serien tar » $ n $ » plassen av $ \ omega $. Er ikke ‘ t riktig?
• Nei, $ \ omega = 2 \ pi / T $, hvor $ T $ er perioden $ f (t) $, dvs. med mindre $ T = 2 \ pi $ trenger du $ \ omega $.
• Ok. Jeg ser hva du mener.

Vurder saken $ \ f (t) = 2 \ cos (\ omega_0 t) = e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t}. \ $ Deretter

$$ F (\ omega) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega + \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (- \ omega – \ omega_0) t} \ dt \\ $$

When $ | \ omega | \ ne | \ omega_0 | $ , begge integrandene svinger rundt null, og integralene er faktisk null.De eneste resultatene som ikke er null er

$$ F (\ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ { i (0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (-2 \ omega_0) t} \ dt \ = \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt \ + \ 0 \\ F (- \ omega_0) = \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (2 \ omega_0) t} \ dt + \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {i (0) t} \ dt \ = \ 0 \ + \ \ int \ limits _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} 1 \ dt $$

som ofte uttrykkes som $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta \ stor (\ omega – (- \ omega_0) \ stor) = \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ delta (\ omega + \ omega_0). $

Med ord, for en gitt verdi av argumentet $ \ omega $ , $ e ^ {- i \ omega t} $ faktor oversetter komponenten av $ f (t) $ med den frekvensen til $ 0 $ , og alle andre komponenter vekk fra null. Deretter produserer den uendelige integralen et mål på styrken til komponenten ved $ 0 $ .

Merk at hvis $ f (t) = e ^ {i \ omega_0 t} $ , deretter $ F (\ omega) = \ delta (\ omega – \ omega_0) $ . Hva dette faktisk betyr er at tegnet på $ \ omega_0 $ kan utvetydig trekkes fra funksjonen $ e ^ {i \ omega_0 t} $ . Det kan ikke trekkes fra $ \ cos (\ omega_0 t) $ , fordi den er trigonometrisk identisk med $ \ cos (- \ omega_0 t) $ . Fourier-transformasjonen håndterer denne tvetydigheten ved å gi ikke-null-svar på både $ \ omega = \ omega_0 $ og $ \ omega = – \ omega_0 $ . Det betyr ikke at $ \ cos (\ omega_0 t) $ inneholder begge frekvensene, fordi $ \ omega_0 $ kan bare ha en verdi. Den riktige tolkningen er at $ e ^ {i \ omega_0 t} $ inneholder mer informasjon, ikke mindre enn $ \ cos (\ omega_0 t) $ . Formelen $ \ e ^ {+ i \ omega_0 t} + e ^ {- i \ omega_0 t} \ $ ser ut som mer informasjon, men det er faktisk en kansellering av informasjon.

Kommentarer

• » Det betyr ikke $ cos (\ omega_0 t) $ inneholder begge frekvensene, fordi $ \ omega_0 $ bare kan ha en verdi. » Nei. cosinus er summen av to komplekse rene toner med motsatte frekvenser (to forskjellige verdier). Det du kan ‘ ikke fortelle er tegnet på $ \ omega_0 $. Enten er en gyldig tolkning, i likhet med å plukke en kvadratrot. Så etter konvensjon blir frekvenser for reelle verdsatte rene toner betraktet som positive.
• @Cedron – Tenk på en funksjon $ f (x) = x ^ 2 + ix $. $ \ $ Og $ \ \ derfor \ f (-x) = x ^ 2 -ix $ $ \ x ^ 2 = \ tfrac {1} {2} (f (x) + f (-x)) \ $ Skal vi konkluderer med at $ x ^ 2 $ er noe mer enn bare en funksjon på reell tallinje? Det er i hemmelighet laget av to komplekse funksjoner? I så fall hvilke to? … fordi jeg like gjerne kunne ha definert $ f (x) $ som $ x ^ 2 + ix ^ 3 $.
• Dette er ikke ‘ t om funksjonsnedbrytning. Du kunne like gjerne ha sagt $ f (x) = x ^ 2 = x ^ {3/2} x ^ {1/2} $ for like spionert av et argument. Uttrykket » inneholder begge frekvensene » er i sammenheng med FT (kontinuerlig i dette tilfellet). Hvis $ cos $ bare hadde en frekvens, ville det bare være en ikke-null verdi i spekteret.
• Jeg tror ikke ‘ det er fornuftig å argumentere for hvordan mange frekvenser et generelt signal inneholder, uten å bli enige om hva » rimelig » nedbrytning til periodiske funksjoner menes. En frekvens er da bare et forkortelsesuttrykk for en periodisk komponent av en frekvens . En rimelig nedbrytning vil for eksempel ikke omfatte komponenter som fullstendig avbryter hverandre, eller komponenter som er identiske.
• @Olli – Takk for redaksjonell hjelp med deltaene mine. Jeg trodde det ‘ ikke så helt riktig ut, men jeg skjønte ikke ‘ t hvorfor.