Så langt i foredraget vårt definerte vi etableringsoperatører $ a ^ {\ dolk} _ {n} $ i på følgende måte, at vi sa:
Noen fikk deg en antisymmetrisk eller symmetrisk N- partikkeltilstand og nå setter $ a ^ {\ dolk} _ {n} $ en annen partikkel i tilstand n, slik at vi slutter opp med en symmetrisk / antisymmetrisk N + 1-partikkel tilstand. Denne tolkningen er på en eller annen måte tydelig for meg i den forstand at disse $ a ^ {\ dolk}, a $ operatørene unngår de tungvint skifer determinantene og så videre. Til tross for dette har vi fremdeles å gjøre med veldefinerte symmetriiserte / antisymmetriserte produkttilstander som blir utvidet eller redusert av en stat, som er skjult bak denne notasjonen.
Nå definerte vi også feltoperatører i QM med $ \ psi ^ {\ dolk} (r) = \ sum_ {i; \ text {alle stater}} \ psi_i ^ * (r) a_i ^ {\ dolk}. $ Vi sa at de lager en partikkel i posisjon $ r $ . På en eller annen måte er det ikke klart for meg hva dette betyr:
Å lage en partikkel på en nøyaktig posisjon $ r_0 $ i QM vil bety at vi nå har en ekstra tilstand $ \ psi_i (r) = \ delta (r-r_0) $ i vår skiferdeterminant. Jeg tviler på at dette er tanken bak dette. Men siden operatørene $ a_i ^ {\ dagger} $ handler på $ N $ -partikkelstatus og kartlegger til $ N + 1 $ partikkelstatus, må det samme være tilfelle for $ \ psi ^ {\ dolk} (r) $ . Likevel har jeg vanskeligheter med å tolke resultatet.
Hvis noe er uklart, vennligst gi meg beskjed.
Svar
$ \ psi_i $ i summen trenger ikke å være delta-funksjoner. Du kan for eksempel tenke at de er energi egenfunksjoner $$ \ mathcal {H} \ psi_i (r) = E_i \ psi_i (r) $$ og dermed skaper en partikkel på $ r $ betyr at du får en superposisjon av alle mulige måter en partikkel kan være på $ r $ (i dette bestemte valg av basis): $$ \ underbrace {\ psi ^ \ dolk (r)} _ {\ text {operator}} | 0 \ rangle = \ sum_i \ overbrace {\ psi_i ^ * (r)} ^ {\ text {complex numbers}} | i \ rangle $$ hvor $ | 0 \ rangle $ er vakuumtilstanden (eller bakken hvis du vil) og $ | i \ rangle $ er Fock-tilstanden med en partikkel i niende modus. Du kan tenke på denne ligningen som å si for hver $ i $, $ \ psi_i ^ * (r) $ er sannsynlighetsamplituden for å finne partikkelen på posisjonen $ r $ hvis du vet at den er i staten $ i $.
Kommentarer
- tolkningen av å skape en superposisjon av alle mulige måter en partikkel kan komme til posisjonen $ r $ ser meningsfull ut for meg. Jeg mener det vi gjør er, hvis jeg forsto deg riktig, at vi lager en partikkel i en hvilken som helst egenstat og ser etter sannsynlighetsamplituden for at denne partikkelen er i posisjon $ r $. Det jeg ikke ser ' er hvordan denne forestillingen er relatert til den faktiske opprettelsen av en partikkel i posisjon $ r $. Hvis du tenker på det, er dette to forskjellige ting. Kan du prøve å forklare hva vi vil modellere med denne feltoperatøren?
- Det kommer virkelig an på konteksten. " partikkel " er ikke alltid egnet, mer generelt kan du tenke på disse operatorene som å skape / utslette kvantetilstander. I sammenheng med QFT er disse tilstandene faktisk (vanligvis) partikkeltilstander og $ | 0 \ rangle $ staten uten partikler, og derav terminologien. Men for eksempel i NRQM er dette ofte ikke sant, og " vakuumtilstand " er i dette tilfellet bare grunntilstanden til systemet . De " oppretter " / " ødelegger " stater i den forstand at de sender et gitt Fock-rom til et annet med en ekstra / mindre tilstand av den aktuelle typen.
Svar
Tenk på det som et grunnskifte. $ a_i ^ \ dolk $ skaper en partikkel i staten $ | i \ rangle $. Nå kan denne tilstanden $ | i \ rangle $ skrives i form av posisjonsstatusene $ | r \ rangle $ som $$ | i \ rangle = \ int dr \, \ psi_i (r) | r \ rangle, $$ Dermed er det å skape en partikkel i denne tilstanden ekvivalent med å skape en partikkel i en overstilling av posisjonstilstand med riktig vekt $ \ psi_i (r) $. Tilsvarende kan en partikkel lokalisert i $ | r \ rangle $ beskrives som å være i en overposisjon av tilstanden $$ | r \ rangle = \ sum_i \ psi_i ^ * (r) | i \ rangle, $$ og dermed skape en partikkel i staten $ | r \ rangle $, er operatøren $ \ psi ^ \ dolk (r) $ definert av operatøren $ \ sum_i \ psi_i ^ * (r) \, a_i ^ \ dolk $.
Kommentarer
- beklager, men dette svaret er veldig forvirrende. du ser ut til å summe over stillinger. Legg merke til at den stillingen ikke er diskret! Dermed har jeg alvorlige problemer med å forstå $ | r \ rangle $ ' s.
- @TobiasHurth: at ' s bare notasjoner (tenk på en diskretisert versjon av rommet). Men jeg har bare byttet til integral, hvis det får deg til å føle deg bedre.