Enhetstrinnsignalet definert som
$$ u [n] = \ lstang 1; n > = 0; \\ \ qquad0; n < 0 \ rbrace $$
har tre mulige løsninger for sin Fourier-domenerepresentasjon, avhengig av type tilnærming. Disse er som følger –
- Den vidt fulgte tilnærmingen (Oppenheim Textbook) – beregning av Fourier-transformasjonen av enhetstrinnsfunksjonen fra Fourier-transformasjonen av signum-funksjonen.
$$ F (u [n]) = U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {j \ omega} $$
- Fourier Transform beregnet fra Z-transformasjonen til enhetens trinnfunksjon (Se Proakis lærebok, Digital signalbehandlingsalgoritmer og applikasjoner , side 267,268, avsnitt 4.2.8)
$$ U (j \ omega) = \ frac {e ^ {\ frac {j \ omega} {2}}} {2j \ sin \ frac {\ omega} {2}}; \ omega \ neq 2 \ pi k; k = 0,1,2,3 … $$
- Fouriertransform beregnet ved å dele i jevne og odde funksjoner – fulgt i Proakis Textbook (Refer Proakis Textbook, Algoritmer og applikasjoner for digital signalbehandling , side 618 avsnitt 8.1) $$ U (j \ omega) = \ pi \ delta (\ omega) + \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} $$
Den andre representasjonen kan ignoreres siden den ikke er en veloppdragen -funksjon. Men tilnærmingene fulgt av Proakis og Oppenheim er like gyldige (de utvider Fourier-transformasjonen til å inkludere impulser i frekvensdomenet). Men forvirringen er at de gir forskjellige løsninger.
Er det noen feil i min forståelse? eller mangler jeg noe avgjørende poeng ?? Hjelp meg med å forstå dette og det riktige skjemaet som kan brukes i alle applikasjoner. (Jeg fant ut at Oppenheim-tilnærmingen ble brukt til å utlede Kramers-Kronig Relations og Proakis-tilnærmingen som ble brukt i avledningen av Hilbert-transformasjonen)
Svar
Merk at det første uttrykket er Fourier-transformasjonen av kontinuerlig enhetstrinnet $ u (t) $, så det er ikke aktuelt for trinnsekvensen for diskret tid $ u [ Videre er det andre og det tredje uttrykket begge riktige, og de er identiske hvis du tar i betraktning at det andre uttrykket ikke krever gyldighet ved heltallsmultipler på $ 2 \ pi $.
Hvis vi utelater vinkelfrekvenser ved multipler av $ 2 \ pi $, det tredje uttrykket blir
$$ U (j \ omega) = \ frac {1} {1-e ^ {- j \ omega}} = \ frac {1} {e ^ {- j \ omega / 2} (e ^ {j \ omega / 2} -e ^ {- j \ omega / 2})} = \ frac {e ^ {j \ omega / 2}} {2j \ sin (\ omega / 2)}, \ quad \ omega \ neq 2k \ pi $$
som er identisk med det andre uttrykket.
Kommentarer
- Tusen takk! Ja, det andre og det tredje er like, men i den tredje har de komposisjon ved å inkludere impulsen ved polene. Takk for avklaringen
Svar
Som Matt sa, er den andre og tredje definisjonen den samme bortsett fra delen med impuls. Impulsen ( $ \ pi \ delta (\ omega) $ ) står for DC-verdien til $ u [n] $ . Uten det ordet (dvs. den andre definisjonen) er det faktisk FT av $ v [n] = \ frac {1} {2} \ operatorname {sgn} [n] $ . Vi har $ u [n] = v [n] + \ frac {1} {2} $ . Og derfor har FT på $ u [n] $ tilleggsperioden for å ta hensyn til tillegg av $ \ frac {1 } {2} $ . Også den diskrete tiden FT (eller DTFT) for $ u [n] $ er riktig skrevet som $ U (e ^ {j \ omega}) $ .
Den første definisjonen, $ U (j \ omega) $ er «kontinuerlig tid «FT (eller CTFT) for $ u (t) $ (ikke $ u [n] $ ) og dermed forskjellig fra de to andre definisjonene.