Advarsel: Den første delen av dette svaret tar en veldig teknisk holdning til BRST-prosedyren, og arbeider i tillegg med et endelig-dimensjonalt faseplass for enkelhets skyld. Det kan virke ganske langt fra forståelsen av spøkelser i den gjennomsnittlige anvendelsen av BRST-transformasjoner eller spøkelser som et verktøy.

---

Den generelle forestillingen om spøkelser

Det er mange forskjellige nivåer der man kan diskutere utseendet til spøkelser, anti-spøkelser og deres antall i begrenset Hamiltonian mekanikk (som er det samme som måle teorier på et lagrangisk nivå). En av dem er delvis skissert i dette svaret mitt , der BRST-operatøren vises som differensial i måleren Lie algebra cohomology.

Vi vil se på en litt annen måte å se på spøkelser, nemlig ved å » utvide faseplassen «, i dette svaret, selv om dette kan sees på som en omformulering av Lie algebra-kohomologitilnærmingen i » faseplasstermer «:

The BRST formalisme, på et abstrakt nivå, søker å implementere reduksjonen til en begrensningsflate $ \ Sigma $ i et faseplass $ X $ ikke ved å løse begrensningene $ G_a $ , men ved å søke i en passende forstørrelse av faseplassen slik at funksjonene på det forstørrede faseplassen har gradert avledning $ \ delta $ bor på dem hvis ho mology beregner funksjonene på begrensningsoverflaten, som er de målbare invariante observerbare. ¹

Det forstørrede faseområdet oppnås som følger:

1. En funksjon på begrensningsflaten $ \ Sigma $ er gitt av kvotienten til alle faseplassfunksjonene modulo funksjonene som forsvinner på overflaten. Hver funksjon $ f $ som forsvinner på overflaten, er gitt av $$ f = f ^ a G_a $$ der $ f ^ a $ er vilkårlige fasefunksjoner. Hvis man introduserer så mange variabler $ P_a $ som det er begrensninger, og definerer $ \ delta P_a = G_a $ samt $ \ delta z = 0 $ for en hvilken som helst original fasevariabel, så blir bildet av $ \ delta $ er nøyaktig alle funksjoner som forsvinner på $ \ Sigma $ . For at $ \ delta $ skal klassifiseres, må $ P_a $ tas for å være grad $ 1 $ . Graden av en funksjon som bare graden av den som et polynom i $ P_a $ kalles anti- spøkelsesnummer . ²

2. $ P_a $ er ensomme, og de trenger konjugerte variabler. Disse er gitt av såkalte langsgående 1-former på begrensningsoverflaten, hvor et langsgående vektorfelt på begrensningsflaten er en som er tangent til målerbanene. Dualene deres er 1-former som bare er definert på langsvektorer. Det bør være geometrisk intuitivt (og det er faktisk sant) at de langsgående vektorfeltene nettopp er feltene som genererer målertransformasjonene (de er igjen bare nok en inkarnasjon av måleren Lie algebra). Derfor er det like mange grunnleggende langsgående 1-former $ \ eta ^ a $ som det er begrensninger, og som det er anti-spøkelser $ P_a $ .Siden det er den naturlige handlingen $ \ eta ^ a (P_b) = \ delta ^ a_b $ per definisjon av det dobbelte, er det også naturlig å bare definere Poisson-braketten på et forstørret faseplass med koordinater $ (x ^ i, p_i, \ eta ^ a, P_a) $ av $$ [\ eta ^ a, P_b] = \ delta ^ a_b $$ så parene $ (\ eta ^ a, P_a) $ fungerer som tilleggspar av kanoniske variabler. Avledningen utvides til $ \ eta $ ganske enkelt av $ \ delta (\ eta ^ a) = 0 $ . Funksjoner på dette forstørrede faseplassen tildeles nå et rent spøkelsesnummer basert på graden i $ \ eta $ .

Gitt hvilken som helst funksjon i det forstørrede faseplassen, er spøkelsen nummer er ganske enkelt det rene spøkelsestallet minus antispøkelsesnummeret.

Det fine med spøkelsesnummeret er at det er ladningen til en bestemt generator – det måles av operatøren ³ $$ \ mathcal {G}: = \ mathrm {i} \ eta ^ a P_a $$ som oppfyller $$ [f, \ mathcal {G}] = \ mathrm {i} \ operatorname {gh} (f) f $$ for enhver funksjon av bestemt spøkelse Nummer. Spøkelsesnummeret er fysisk viktig fordi det å være en tilstand av spøkelsesnummer null, sammen med tilstanden til å være BRST-invariant, er den nødvendige og tilstrekkelige tilstanden for å være en fysisk tilstand.

Å oppnå denne tilstanden krever imidlertid nå oppnå BRST-differensialet ved å legge til en annen differensial $ \ mathrm {d} $ til $ \ delta $ , og viser at $ \ delta + \ mathrm {d} $ gir, når » små forstyrrelser » blir lagt til den, den nilpotente operatøren som kreves for BRST-formalismen. (Avledningen av dette er veldig teknisk, og noen ganger kjent som » teoremet om homologisk forstyrrelsesteori «) Undersøk deretter handlingene til $ \ mathrm {d}, \ delta $ , man finner at de måle-invariante funksjonene er nøyaktig de som er uforanderlige under BRST-operatøren med null spøkelsestall, så kvanteteorien bør også innføre denne begrensningen.

---

^{1 » hvis homologi beregner » er matematikk snakk for at det er en operatør $ \ delta $ , der måle-invariante funksjoner er nettopp funksjonene med $ \ delta (f) = 0 $ og hvor vi identifiserer $ f $ og $ g $ hvis det er en $ h $ slik at $ \ delta (h) = f – g $ . Dette blir også litt mer komplisert når det gjelder reduserbare begrensninger.}

^{2 Når det gjelder irredusible begrensninger, beregner dette allerede måleren -variantfunksjoner, og man kan i prinsippet stoppe her. Det er imidlertid ikke tilfredsstillende å ha lagt til $ P_a $ , men ikke ha passende konjugerte variabler for dem i Hamilton-formalismen.}

^{3 Denne definisjonen er den diskrete, ikke-konforme analogen til uttrykket for $ U $ som er skrevet i spørsmålet.}

^{Hovedreferanse: » Kvantisering av målesystemer » av Henneaux / Teitelboim}

---

Det spesifikke tilfellet med $ bc $ -CFT

En generell » $ bc $ -CFT «, dvs. en 2D samsvarende feltteori med spøkelseslignende felt er gitt av spøkelseshandlingen $$ \ frac {1} {2 \ pi} \ left (b (z) \ bar \ partial c (z ) + b (z) \ partial c (z) \ right) $$ når feltene $ b $ og $ c $ ha konforme vekter $ h_b $ og $ h_c = 1 – h_b $ , henholdsvis. Faseplassfunksjoner med spøkelsestall null oversettes nå til operatører med konform vekt $ 1 $ (siden de har like mange spøkelser og antispøkelser i seg, og vekten oppfører seg i tillegg Dette.

Dette viser at primære fysiske tilstander (ved tilstandsfeltkorrespondanse av 2D CFT) i en slik teori nødvendigvis må ha konform vekt $ 1 $ .Dette er viktig i strengteori, der en $ bc $ -CFT med $ h_b = 2 $ er naturlig lagt til $ X $ -CFT av verdensarkfeltene. For en generell CFT kan alle mulige primærvalg i utgangspunktet være fysiske tilstander, men BRST-prosedyren tvinger spøkelsesnummer nullstatus, dvs. felt med vekt $ 1 $ , som bare tillatte fysiske tilstander.

Kommentarer

• Dette er et veldig detaljert svar, men kan du også gi et eksempel på bruk av spøkelsetall i CFT spesifikt ?
• @JakeLebovic: Jeg la til en kort forklaring på hvordan kravet om null spøkelsesnummer gjenspeiles i tilfelle strengteori (som er det eneste tilfellet jeg kjenner der spøkelser vises i en CFT).

I den konforme feltteorien på planet, må du definere et indre produkt i rommet tilstandene i din teori. I bosonisk strengteori er statens rom, dvs. Hilbert-rommet til teorien $ \ mathcal {H} $, rommet for representasjonen av Virassoro algebra:

$$ {\ bf Vir} \ longrightarrow \ mathcal {H} $$

I den radiale kvantiseringen av CFT på det komplekse planet, til hver tilstand i teoriens Hilbert-rom, kan man knytte en lokal operatør på det komplekse planet, den såkalte korrespondanse mellom operatør og stat . BPZ indre produkt på dette Hilbert-rommet kan defineres. Det første er å definere de asymptotiske tilstandene $ | 0 \ rangle $ og $ \ langle0 | $.

$$ | 0 \ rangle \ iff \ text {Identitetsoperator} \, \, \ hat { I} \, \, \ text {ved opprinnelsen} \, \, z = 0 $$ $$ \ langle0 | \ iff \ text {Identitetsoperatør} \, \, \ hat {I} \, \, \ text {ved uendelig} \, \, z = \ infty $$

Disse to kan relateres av en konform transformasjon $ z \ longrightarrow \ widetilde {z} = – \ frac {1} {z} $. Det kan vises at modusene $ \ hat {\ alpha} _n $ for et felt $ \ Phi $ av konform dimensjon $ h _ {\ Phi} $ transformeres som:

$$ \ under denne konforme transformasjonen hatt {\ alpha} _n \ iff (-1) ^ {h _ {\ Phi} + n} \ hat {\ alpha} _ {- n} $$

Så under konform transformasjon har vi følgende:

$$ \ hat {\ alpha} _n | 0 \ rangle = 0 \ iff \ langle0 | \ hat {\ alpha} _ {- n} = 0 \ tag {1} $$

Dette, for Virasoro-algebra, innebærer at $ L _ {- 1} $, $ L_0 $ og $ L_1 $ og deres anti-holomorfe kolleger $ \ overline {L} _ {- 1} $, $ \ overline {L} _0 $ og $ \ overline {L} _1 $ tilintetgjør både $ | 0 \ rangle $ og $ \ langle0 | $. Men disse modusene genererer gruppen $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $, gruppen av global konform transformasjon på Riemann-sfæren. Dermed vet $ | 0 \ rangle $ is som $ {\ bf SL} (2, \ mathbb {C}) $ – uforanderlig vakuum.

På den annen side, ved hjelp av $ (1) $ kan det vises at $ b _ {- 1} $, $ b_0 $ og $ b_1 $ også utsletter både $ | 0 \ rangle $ og $ \ langle0 | $. Canonisk kommuteringsrelasjon til $ bc $ -systemet viser at:

$$ \ {b_n, c _ {- n} \} | 0 \ rangle = | 0 \ rangle \ ne0 $$

slik at modusene $ c _ {- 1} $, $ c_0 $ og $ c_1 $ tilintetgjør ingen av $ \ rvert0 \ rangle $ og $ \ langle0 \ rvert $. Det første matriseelementet som ikke er null for $ bc $ -systemet på Riemann-sfæren er således:

$$ \ langle0 \ lvert c _ {- 1} c_0c_1 \ rvert0 \ rangle \ ne0 $$

BPZ-konjugasjonen, dvs. forholdet (1) bryter spøkelsesnummeret med 3 enheter. Handlingen til $ bc $ -systemet har følgende spøkelsesnummersymmetri:

$$ \ delta b = -i \ epsilon b \ qquad \ delta c = i \ epsilon c $$

Tilsvarende strøm er:

$$ j_z (z) = -: b_ {zz} (z) c ^ z (z): $$

I hvilken $: \ cdots: $ betegner normal rekkefølge.

Opprinnelsen til brudd på spøkelsesnummer beskrevet ovenfor er geometrisk. $ j $ er fermionantallstrømmen til chirale fermioner som har ikke-konvertering heltalssnurr ($ b $ og $ c $ har begge heltalsnurr.) Så den har gravitasjonsavvik:

$$ \ partial_ {\ overline {z}} j_z = – \ frac {1} {2} (2 \ lambda-1) \ sqrt {g} R $$

I hvilken $ \ lambda $ er den konforme dimensjonen på $ b $. Ved å integrere dette kan man se at spøkelsesnummerbruddet på en slekt $ g $ Riemann-overflate (verdensark med lukket strengteori) er $ 3 (g-1) $. Viktigheten av spøkelsesstrøm er at den bestemmer ikke-null S-matriseelementene i CFT.