Hva er Fermi Surface ? Jeg håper dette spørsmålet ikke er for elementært for dette forumet, og beklager på forhånd hvis det er det.

Tillat meg å forklare min forvirring. Gitt et solid, tror jeg at jeg har en viss følelse for Fermi-nivået. Jeg kan for eksempel forstå det som den karakteristiske parameteren $ \ mu $ i Fermi-Dirac-fordelingen av energinivåer for elektronene i systemet: $$ f (\ epsilon) = \ frac {1} {e ^ {(\ epsilon- \ mu) / kT} +1} $$ ignorerer for øyeblikket andre fysiske tolkninger. Dermed er det det unike energinivået som har sannsynligheten 1/2 for å være okkupert.

Definisjonen av Fermi-overflaten, derimot, blir vanligvis gitt som «iso-overflaten til stater med energi lik Fermi-nivået «i det tredimensjonale rommet til bølgevektorer $ k $ , for eksempel i denne Wikipedia-artikkelen:

https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_band_structure

Med andre ord er det definert som de $ k $ slik at $$ E (k) = \ mu. $$ Så langt, så bra. Problemet er at jeg ikke helt forstår hva $ E (k) $ er.

En situasjon ser ut til å være grei, nemlig en Fermi gass av identiske partikler. Så $$ E (k) = \ frac {k ^ 2} {2m} $$ og Fermi-overflaten er en kule. Imidlertid, hvis vi er i et uendelig periodisk potensial, den vanlige idealiserte modellen for Bloch-teori, så kommer løsningene til Schroedinger-ligningen i form $$ \ psi_ {kn} (r) = e ^ {ik \ cdot r} u_ {kn} (r), $$ der $ u_ {kn} $ er en periodisk funksjon og $ n $ er en diskret indeks for energinivåer. Med andre ord, for hver bølgefigur $ k $ ,

det er mange energinivåer $ E_n (k) $ .

Så ligningen for Fermi-overflaten ville faktisk se ut som $$ E_n (k) = \ mu. $$ Spørsmålet mitt, er hvilket energinivå er $ E (k) $ som forekommer i definisjonen av Fermi-overflaten? Kanskje det er en Fermi-overflate for hvert nivå $ n $ ? (Forutsatt at nivåene varierer kontinuerlig over momentumområdet, slik at vi konsekvent kan indeksere nivåene for varierende $ k $ .)

Hvis jeg kunne utdype forvirringen min litt mer, jeg forstår ikke helt definisjonen i dette svaret på dette spørsmålet:

Hva er Fermi-overflate og hvorfor er dette konseptet så nyttig i metallforskning?

Det heter at

«Fermi-overflaten er rett og slett overflaten i momentum, hvor, i grensen av null interaksjoner, alle fermiontilstander med (krystall) momentum $ | k | < | k_F | $ er okkupert, og alle høyere momentum er tomme. «

For en ting, som nevnt ovenfor, for ethvert momentum $ k $ , der er en uendelig rekkefølge av fermiontilstander. Det andre problemet er at jeg ikke er sikker på at utsagnet ovenfor definerer en unik overflate, selv om jeg på en eller annen måte kunne plukke ut en fermiontilstand $ \ psi (k) $ for hver $ k $ som utsagnet refererer til. (Jeg trenger å tegne et bilde for å forklare dette punktet, som jeg ikke har kompetansen til å gjøre.)

Kommentarer

  • Fermi overflaten er definert ved en temperatur på absolutt null, så du tar grunntilstandsløsningene $ E_0 (k) = \ mu $ …
  • Og i et solid, ser du på tilstandene innenfor en ( Wigner-Seitz) enhetscelle.
  • Sitron: Jeg synes det også er ganske forvirrende. Så utsagnet ditt ville være ‘ Fermi-overflaten er settet med $ k $ slik at $ E_0 (k) = \ mu $, ‘ hvor $ E_0 (k) $ er den laveste energien med momentum $ k $. Men da, i et solid der mange av de lavere energibåndene er fylt, ville det være mange elektroner over Fermi-nivået. Dette ser ikke ut til å stemme overens med det vanlige bildet.
  • Jon Custer: Jeg antar at du ‘ med henvisning til det faktum at hver av $ u_ {kn} $ bestemmes av verdiene i en celle. Det ‘ stemmer. Men det er ingen stater som bare er kons inngått i en celle. ($ U_ {kn} $ er periodiske.) Jeg ser uansett ikke ‘ hvordan dette svarer på spørsmålet.Slik du uttrykker det, får du det til å høres ut som ‘ for hver $ k $, det er en unik $ \ psi_ {kn} $ konsentrert i en celle, og energien er det vi bruker for å definere Fermi-overflaten. ‘ Dette høres ikke ‘ t av en rekke årsaker.

Svar

Alt du sier er riktig. Fermi-overflaten er definert til å være settet med poeng $ k $ slik at $ E_n (k) = \ mu $ for ethvert bånd $ n $. Imidlertid er bandene vanligvis plassert relativt langt fra hverandre og overlapper ikke energi, slik:

skriv inn bilde beskrivelse her

Som vi kan se, ligger båndene 1 og 3 helt over eller helt under det kjemiske potensialet $ \ mu $ og er derfor irrelevante for å bestemme Fermi-overflaten ( faktisk, ved lave temperaturer er disse båndene ganske irrelevante for noen fysiske fenomener – bare bånd i nærheten av det kjemiske potensialet er fysisk viktige). Det er derfor du i praksis kan komme unna med bare å vurdere ett eller to bånd og fullstendig ignorerer alle de andre – og når det er en Fermi-overflate (dvs. det kjemiske potensialet skjærer et bånd), er ett bånd nesten alltid nok.

I mer komplisert / uvanlig Du trenger imidlertid å holde rede på flere bånd. For eksempel kan bånd noen ganger berøre eller krysse, og morsomme ting kan skje hvis du justerer det kjemiske potensialet nøyaktig til ossing punkt. Enda mer uvanlig kan to band dele et helt endelig utvalg av energi – f.eks. to cosinuskurver forskjøvet vertikalt med en liten mengde. Men disse tilfellene er svært sjeldne – for de fleste hverdagsmaterialer sitter $ \ mu $ i det meste ett bånd, og du trenger ikke bekymre deg for dette. (Faktisk liker profesjonelle fysikere å finne / lage uvanlige materialer der det kjemiske potensialet sitter rett ved en båndovergang, nettopp fordi slike systemer ikke er teoretisk godt forstått, så det er mer å lære.)

BTW, i 1-D, som plottet ovenfor, består Fermi «overflaten» bare av isolerte verdier på $ k $, men i 2-D er det vanligvis en lukket kurve i $ k_x $ – $ k_y $ -planet , og i 3-D er det vanligvis en lukket overflate, som en kule. Noen ganger kan Fermi-overflaten faktisk bestå av to (eller flere) kuler, med den ene inne i den andre, og de fylte » Fermi-sjøen «for det relavante båndet ligger i mellom dem. Dette fenomenet kalles» Fermi-overflatehekking. «Men hvis du bare lærer om Fermi-overflater, trenger du ikke å bekymre deg for disse kompliserte situasjoner i lang tid.

Kommentarer

  • Takk for det klare svaret. Forresten, jeg ‘ har samlet nå når ordet ‘ band ‘ blir brukt på to forskjellige måter innen faststoffysikk. Ordet du bruker her refererer bare til et energinivå. Men det er også forestillingen om et bånd som en i hovedsak kontinuerlig fordeling av energinivåer, mellom hvilke ‘ hull. ‘ Jeg tror dette var en stor del av forvirringen min. Rett meg hvis jeg ‘ tar feil av dette.
  • @MinhyongKim A » bånd » er definert som en enkelt kurve $ E_n (k) $ for en gitt verdi på $ n $. (Jeg tror det ‘ er noe misvisende å kalle det et » energinivå » fordi funksjonen er vanligvis ikke konstant, så den tar verdier over et helt endelig intervall av energier.) Folk misbruker av og til terminologi og bruker også ordet » band » for å referere til det intervallet av energi som funksjonen spenner over – dvs. kollaps av momentumavhengigheten. Du ‘ har rett i at dette er hva folk tenker på når de snakker om » båndhull. » Men de to sansene til » bånd » er egentlig nesten identiske …
  • .. Den eneste forskjellen er om du holder oversikt over avhengigheten av $ k $ eller bare vurderer funksjonen ‘ s rekkevidde.
  • Takk for den videre forklaringen. Men det virker for meg noe viktig å skille mellom de to sansene. Hvis ordet ‘ bånd ‘ ble brukt i betydningen elektronisk båndstruktur, så ble ligningen $ E_n (k) = \ mu $ ville ikke ‘ ikke være godt definert selv for en fast verdi på $ n $. Dette var en av de veldig forvirrende tingene for en nybegynner som meg. Uansett takk igjen!

Svar

Fermi-overflaten er overflaten i det gjensidige rommet ( dobbel av det virkelige rommet du bor i) avgrenser de fermioniske okkuperte tilstandene fra de fermioniske ledige ved null temperatur.Så det er et momentum ($ k $) konstruksjon snarere enn en energikonstruksjon.

Logikken er følgende: prøv å sette sammen et gitt antall fermioner. Siden de følger utelukkelsesprinsippet Pauli, kan du ikke pakke disse fermionene slik du vil. Hver gang det er noe rom for en tilstand i momentumrommet, kan bare en fermion okkupere dette tomme rommet. Så du må begynne å hakke opp fermionene. Den har en komplett analogi med å fylle opp en bokhylle med bøker: du må bruke neste rad når den forrige er full. Du kan bruke mindre intervaller mellom råvarer, forstørre størrelsen på hver råvare, …, hvis du har for mange bøker, kan du bruke neste råvare, noe som ikke er annet enn å bruke neste momentgren i spredningsforholdet ditt (det du kaller $ k_n (E) $). Når du setter den siste fermionen i fermionisk bokhylle , kalles den tilsvarende momentumtilstanden Fermi momentum, den tilsvarende energien kalles Fermi-energien, …, og overflaten av iso- $ k $ ved Fermi kalles momentum Fermi overflaten.

Få bemerkninger nå

  • Det vil aldri være et uendelig antall grener som brukes til å fylle opp en endelig fermioner i spredningsforholdene (materialets båndstruktur hvis du foretrekker det).

  • Det er ingen motsetning i å anta at Fermi-overflaten har flere ark. Selv på Wikipedia har du allerede eksempel på Fermi-overflate med elektron- og hulllommer

  • Konseptet med Fermi-overflate kommer fra forestillingen om (Fermi-Dirac) statistikk, når du har et endelig antall partikler å håndtere (i en eldgammel terminologi er det et annet kvantifisert problem), mens båndstrukturen er hele spekteret av tilgjengelige tilstander for en partikkel (i den eldgamle terminologien er det et første kvantifisert problem) i et periodisk potensial. Den enkle måten å passere fra den ene til den andre er bruken av det kjemiske potensialet, som fikserer antall partikler per energitilstand (nærmere bestemt mengden energi som kreves for å legge en partikkel til det termodynamiske systemet).

  • Fermi-overflaten er et spesielt nyttig konsept for å forstå noen få transportegenskaper (elektrisk, varme, … transporter) for materialer med enkle båndstrukturer, som rene metaller og dopede halvledere. Når Fermi-overflaten blir for komplisert, blir det vanskelig å få intuisjon av den. Jeg tror dette er kjernen i misforståelsen av konseptet i spørsmålet ditt.

Kommentarer

Legg igjen en kommentar

Din e-postadresse vil ikke bli publisert. Obligatoriske felt er merket med *