Jeg ser stadig begrepene førsteordensbetingelser og andreordensbetingelser som brukes i min økonomi-klasse på produksjonsfunksjoner, monopol osv., men jeg aner ikke hva disse begrepene betyr. Det virker som et helt tvetydig begrep. Hva slags forhold?
Kan noen forklare hva disse begrepene betyr? Hvis det er kontekstavhengig, forutsatt at noen av dem er de mest elementære betydningene du forbinder med begrepet.
Svar
Anta at du har en differensierbar funksjon $ f (x) $, som du vil optimalisere ved å velge $ x $. Hvis $ f (x) $ er verktøy eller fortjeneste, vil du velge $ x $ (dvs. forbrukspakke eller produsert mengde) for å gjøre verdien på $ f $ så stor som mulig. Hvis $ f (x) $ er en kostnadsfunksjon, vil du velge $ x $ for å gjøre $ f $ så liten som mulig. FOC og SOC er forhold som bestemmer om en løsning maksimerer eller minimerer en gitt funksjon.
På undergradsnivå er det som vanligvis er tilfellet at du må velge $ x ^ * $ slik at derivatet av $ f $ er lik null: $$ f «(x ^ *) = 0. $$ Dette er FOC. Intuisjonen for denne tilstanden er at en funksjon oppnår ekstrem (enten maksimum eller minimum) når derivatet er lik null (se bildet nedenfor). [Du bør være oppmerksom på at det er flere involverte finesser: slå opp ord som «interiør vs hjørneløsninger», «globalt vs lokalt maksimum / minimum» og «sadelpunkt» for å lære mer].
Men som bildet illustrerer, er det bare ikke å finne $ x ^ * $ hvor $ f «(x ^ *) = 0 $ ikke er nok til å konkludere at $ x ^ * $ er løsningen som maksimerer eller minimerer objektivfunksjonen. I begge grafene oppnår funksjonen en nullhelling på $ x ^ * $, men $ x ^ * $ er en maksimalisering i venstre graf, men en minimizer i høyre graf.
For å sjekke om $ x ^ * $ er en maksimalisering eller en minimizer, trenger du SOC. SOC for maksimering er $$ f «» (x ^ *) < 0 $$ og SOC for minimizer er $$ f «» (x ^ *) > 0. $$ $$ Intuitivt, hvis $ x ^ * $ maksimerer $ f $, faller $ f $ rundt $ x ^ * $. Ta grafen til venstre, der $ x ^ * $ er en maksimering. Vi ser at skråningen på $ f $ er positiv til venstre for $ x ^ * $ og negativ til høyre. Dermed, rundt nabolaget $ x ^ * $, når $ x $ øker, reduseres $ f «(x) $. Intuisjonen for saken med minimizer er lik.
Kommentarer
- Men hvorfor det ' ikke heter " Første derivat test " er fremdeles et mysterium for meg.
Svar
For eksempel når du snakker om fortjenestemaksimering starter fra en profittfunksjon $ \ pi (q) $, hovedbetingelsen for et maksimum er at: $$ \ frac {\ partial \ pi} {\ partial q} = 0 $$ Dette er FOC (første ordre For å være sikker på at det du har funnet ovenfor er et sant maksimum, bør du også sjekke en «sekundær» tilstand som er: $$ \ frac {\ delvis ^ 2 \ pi} {\ partial q ^ 2} < 0 $$ Dette kalles SOC (andre ordens tilstand).
Svar
Målet er å finne et lokalt maksimum (eller minimum) for en funksjon.
Hvis f unksjon kan skilles to ganger:
- første derivat test vil fortelle deg om det er en lokal ekstremum.
- andre derivattest vil fortelle deg om det er et lokalt maksimum eller et minimum.
Hvis du funksjonen ikke kan skille seg ut, kan du gjøre en mer generell extremum test .
Merk: det er umulig å konstruere en algoritme for å finne en globalt maksimum for en vilkårlig funksjon .
Neoklassiske økonomer omdøper absolutt disse to matematiske metodene til førsteordensbetingelser og andreordens betingelser for å se kule ut eller av andre historiske grunner. Hvorfor bruke et navn som er mye brukt når du bare kan lage et navn?
Begrepet brukes også på begrenset maksimering når de bruker Lagrange multiplier metode og Karush – Kuhn – Tucker forhold . Igjen, jeg tror ikke begrepet brukes av ikke-økonom.