Hva er forskjellen mellom faseforsinkelse og gruppeforsinkelse?

Først og fremst er definisjonene forskjellige:

• Faseforsinkelse: (negativ av) Fase delt på frekvens
• Forsinkelse av gruppe: (negativ av) Første derivat av fase vs frekvens

Med ord som betyr:

• Faseforsinkelse: Fasevinkel på dette punktet i frekvens
• Gruppeforsinkelse: Endringshastighet for fasen rundt dette frekvenspunktet.

Når du skal bruke det ene eller det andre, avhenger det virkelig av applikasjonen din. Den klassiske applikasjonen for gruppeforsinkelse er modulerte sinusbølger, for eksempel AM-radio. Tiden det tar for moduleringssignalet å komme seg gjennom systemet, er gitt av gruppeforsinkelsen, ikke av faseforsinkelsen. Et annet lydeksempel kan være sparketrommel: Dette er for det meste en modulert sinusbølge, så hvis du vil bestemme hvor mye sparketrommelen vil bli forsinket (og potensielt smurt ut i tide), er gruppeforsinkelsen måten å se på den.

Kommentarer

• » Absolutt fase på dette punktet i frekvens » Ville ikke ‘ t som bare het » fase «?
• Jeg mente » absolutt » sammenlignet med » relativ «, men jeg ser at dette kan forveksles med » absolutt verdi «. Jeg ‘ Jeg redigerer den
• en siste viktig forskjell: faseforsinkelsen med en frekvens $ f $ er tidsforsinkelsen til fase av det kvasi-sinusformede signalet med frekvensen $ f $ passerte gjennom filteret. gruppeforsinkelse er tidsforsinkelsen til konvolutten eller » gruppen » av kvasi-sinusformet.

De må ikke begge måle hvor mye en sinusform er forsinket. Faseforsinkelse måler nøyaktig det. Gruppeforsinkelse er litt mer komplisert. Se for deg en kort sinusbølge med en amplitudehylster påført slik at den falmer inn og falmer ut, for eksempel en gaussian multiplisert med en sinus Denne konvolutten har en form, og spesielt har den en topp som representerer sentrum av den «pakken.» Gruppeforsinkelse forteller deg hvor mye amplitude-konvolutten vil bli forsinket, spesielt hvor mye toppen av den pakken. vil gå forbi.

Jeg liker å tenke på dette ved å gå tilbake til definisjonen av gruppeforsinkelse: det er derivatet av fase. Derivatet gir deg en linearisering av fasresponsen på det tidspunktet. Med andre ord, med en eller annen frekvens, forteller gruppeforsinkelsen deg omtrent hvordan faseresponsen til nabofrekvensene er relatert til faseresponsen på det tidspunktet. Husk nå hvordan vi bruker en amplitudemodulert sinusform. Amplitudemodulasjonen vil ta sinusoidens topp og introdusere sidebånd ved nærliggende frekvenser. Så, på en måte, gir gruppeforsinkelsen deg informasjon om hvordan sidebåndene vil bli forsinket i forhold til den bærerfrekvensen, og å bruke den forsinkelsen vil endre formen på amplitude-konvolutten på en eller annen måte.

gal ting? Årsaksfiltre kan ha negativ gruppeforsinkelse!Ta din gaussian multiplisert med en sinusoid: du kan bygge en analog krets slik at når du sender signalet gjennom, vil konvoluttens topp vises i utgangen før inngangen. Det virker som et paradoks, siden det ser ut til at filteret må «se» inn i fremtiden. Det er definitivt rart, men en måte å tenke på det er at siden konvolutten har en veldig forutsigbar form, har filteret allerede nok informasjon til å forutse hva som skal skje. Hvis en pigg ble satt inn i midten av signalet, ville ikke filteret forutse det. Her er en veldig interessant artikkel om dette: http://www.dsprelated.com/showarticle/54.php

Kommentarer

• Når du sier » bilde a … «, ville et faktisk bilde være veldig nyttig her.

For de som fremdeles ikke kan kritisere er forskjellen her et enkelt eksempel

Ta lang overføringslinje med enkelt kvasi-sinusformet signal med en amplitude-konvolutt, $ a (t) $ , ved inngangen

$$ x (t) = a (t) \ cdot \ sin (\ omega t) $$

Hvis du måler dette signalet ved overføringen linjeslutt, $ y (t) $ , det kan komme et sted slik:

$$ \ begin {align} y (t) & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi) \\ & = a (t- \ tau_g) \ cdot \ sin \ big (\ omega (t – \ tau_ \ ph i) \ big) \\ \ end {align} $$

der $ \ phi $ er faseforskjell fra input til output.

Hvis du vil ha hvor lang tid det tar, tar fase av sinusformet, $ \ sin (\ omega t) $ overføring fra inngang til utgang deretter $ \ tau_ \ phi = – \ tfrac {\ phi} {\ omega} $ er svaret ditt på få sekunder.

Hvis du vil ha hvor lang tid det tar, tar konvolutten , $ a (t) $ , av sinusformet overføring fra inngang til utgang og deretter $ \ tau_g = – \ tfrac {d \, \ phi} {d \, \ omega} $ er svaret ditt på få sekunder.

Faseforsinkelse er bare reisetid for en enkelt frekvens mens gruppeforsinkelse er mål på amplitudeforvrengning hvis matrise med flere frekvenser blir brukt.

Jeg vet at dette er et pent gammelt spørsmål, men jeg har lett etter en avledning av uttrykkene for gruppeforsinkelse og faseforsinkelse på internett. Det er ikke mange slike avledninger på nettet, så jeg trodde jeg ville dele det jeg fant. Vær også oppmerksom på at dette svaret er mer en matematisk beskrivelse enn en intuitiv. For intuitive beskrivelser, se svarene ovenfor. Så her går:

La oss se på et signal

$$ x (t) = a (t) \ cos (\ omega_0 t) $$

og før dette gjennom en LTI system med frekvensrespons

$$ H (j \ omega) = e ^ {j \ phi (\ omega)} $$

Vi har sett på at gevinsten til systemet er enhet fordi vi er interessert i å analysere hvordan systemet endrer fasen i inngangssignalet, snarere enn forsterkningen. Gitt at multiplikasjon i tidsdomene tilsvarer konvolusjon i frekvensdomene, blir Fourier-transformasjonen av inngangssignalet gitt av

$$ X (j \ omega) = {1 \ over 2 \ pi} A (j \ omega) \ cdot \ big (\ pi \ delta (\ omega – \ omega_0) + \ pi \ delta (\ omega + \ omega_0) \ big) $$

som tilsvarer

$$ X (j \ omega) = {A (j (\ omega- \ omega_0)) + A (j (\ omega + \ omega_0)) \ over 2} $$

Derfor har utgangen fra systemet et frekvensspektrum gitt av

$$ B (j \ omega) = {e ^ {j \ phi (\ omega)} \ over 2} \ big (A (j (\ omega- \ omega_0)) + A ( j (\ omega + \ omega_0)) \ big) $$

Nå, for å finne den inverse Fourier-transformasjonen av ovennevnte uttrykk, trenger vi å vite den eksakte analytiske formen for $ \ phi (\ omega) $ . Så for å forenkle ting antar vi at frekvensinnholdet til $ a (t) $ bare inkluderer de frekvensene som er betydelig lavere enn bærefrekvensen $ \ omega_0 $ . I dette scenariet kan signalet $ x (t) $ sees på som et amplitudemodulert signal, der $ a (t ) $ representerer konvolutten til høyfrekvent cosinussignal. I frekvensdomenet inneholder $ B (j \ omega) $ nå to smale frekvensbånd sentrert ved $ \ omega_0 $ og $ – \ omega_0 $ (se ligningen ovenfor).Dette betyr at vi kan bruke en første ordens Taylor-utvidelse for $ \ phi (\ omega) $ .

$$ \ begin {align} \ phi (\ omega) & = \ phi (\ omega_0) + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) (\ omega – \ omega_0) \\ & = \ alpha + \ beta \ omega \\ \ end {align} $$

der $$ \ begin {align} \ alpha & = \ phi (\ omega_0) – \ omega_0 \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ beta & = \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) \\ \ end {align} $ $

Når vi plugger dette inn, kan vi beregne den inverse Fourier-transformasjonen av første halvdel av $ B (j \ omega) $ som

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} A (j (\ omega – \ omega_0)) e ^ {j (\ omega t + \ alpha + \ beta \ omega)} d \ omega $$

Erstatter $ \ omega – \ omega_0 $ for $ \ omega «$ , dette blir

$$ \ frac {1} {2 \ pi} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {2} X (j (\ omega «)) e ^ {j ((\ omega» + \ omega_0) (t + \ beta) + \ alpha)} d \ omega «$$

som forenkler til

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ omega_0 \ beta + \ alpha)}} {2} $$

Plugg inn uttrykkene for $ \ alpha $ og $ \ beta $ , dette blir

$ $ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Tilsvarende den andre halvdelen av den inverse Fourier-transformasjonen av $ B (j \ omega) $ kan oppnås ved å erstatte $ \ omega_0 $ av $ – \ omega_0 $ . Merk at for spennende signaler er $ \ phi (\ omega) $ en merkelig funksjon, dette blir

$$ a (t + \ beta) \ frac {e ^ {- j (\ omega_0 t + \ phi (\ omega_0))}} {2} $$

Dermed Når vi legger de to sammen, får vi $$ b (t) = x (t + \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0)) \ cos (\ omega_0 (t + \ tfrac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0})) $$

Legg merke til forsinkelsene i konvolutten $ a (t) $ og bærer cosinus signal. Gruppeforsinkelse $ (\ tau_g) $ tilsvarer forsinkelsen i konvolutten mens faseforsinkelse $ (\ tau_p) $ tilsvarer forsinkelsen i transportøren. Dermed

$$ \ tau_g = – \ frac {d \ phi} {d \ omega} (\ omega_0) $$ $$ \ tau_p = – \ frac {\ phi (\ omega_0)} {\ omega_0} $$

Faseforsinkelsen til et hvilket som helst filter er den tidsforsinkelsen hver frekvenskomponent lider ved å gå gjennom filtrene (Hvis et signal består av flere frekvenser.)

Gruppen forsinkelse er den gjennomsnittlige tidsforsinkelsen for det sammensatte signalet som lider ved hver komponent av frekvensen.