Hva er frekvensoppløsning?

Rediger:

Jeg har forstått at definisjonen min nedenfor av " Frekvensoppløsning " er fullstendig feil (samt OPs spørsmål). Frekvensoppløsning er hvor like vinduefunksjonens størrelse i frekvensområdet er til Dirac delta-funksjonen. Dette er fordi produktet av vinduet og signalet i tidsdomenet blir konvolusjon i frekvensdomenet ( og en konvolusjon med Dirac delta-funksjonen er et utvalg som vil gi perfekt frekvensoppløsning) Jo fetere hovedflaten (kvantifisert av dens varians), og jo høyere sidelober, jo dårligere er frekvensoppløsningen. I tillegg kan Tidsoppløsning kvantifiseres i henhold til avviket til vindusfunksjonen i tidsdomenet.

Frekvensoppløsning er ikke søppeloppløsning / bredde. Legg merke til at lappene ikke kommer nærmere (frekvensoppløsning) selv om søppelbredden synker.

Kreditt: Dan Boschen

Frekvensoppløsning er snarere en egenskap for Fourier-transformasjonen av den rektangulære funksjonen (dvs. sinc-funksjonen).

Vi må vindusfunksjoner for å jobbe med Fourier-transformasjoner (selv når vi jobber teoretisk). Som en konsekvens jobber vi alltid med $ f (t) w (t) $ i stedet for funksjonen $ f (t ) $ i seg selv (her $ w (t) $ er en rektangulær funksjon). Ved konvolusjonssatsen er Fourier-transformasjonen av en vindusfunksjon alltid en konvolusjon av $ \ hat {f} $ med $ \ hatt {w} = $ sinc. Spesielt når $ f $ er sinusformet, vil $ \ hat {f} $ være en Dirac delta-funksjon og konvolusjonen vil bare være et utvalg av en sinc-funksjon. Dermed mister vi periodisk frekvenser fullstendig når vi ruter, periodiciteten til dette tapet er frekvensoppløsningen .

Siden DTFT på funksjoner med vinduer er en periodisk tilnærming til CTFT, får den også disse egenskapene.

Forvirringen oppstår fordi når vi ikke legger nuller til DFT (dvs. bare prøve $ f (t) w (t) $ der $ w (t) = 1 $ ), papirkurven er lik frekvensoppløsningen.

Vi kan imidlertid også legge inn nuller (dvs. også prøve $ f (t) w (t) $ der $ w (t) = 0 $ ) og dette resulterer i at DTF bedre interpolerer DTFT på $ f (t) w (t) $ . Overhold den første grafen.

For å se hvorfor Fourier-transformasjonen av den rektangulære funksjonen er en sinc funcion se denne videoen og vurder viklingen av de sinusformede funksjonene (det er ganske involvert skjønt)

For å svare på OPs eksempel er søppeloppløsningen $$ \ frac {F_s} {N} = \ frac {2000} {2000} = 1 $$ der $ F_s = 2000 $ Hz er samplingsfrekvensen, og $ N $ DFT-størrelsen.

Frekvensoppløsningen er hva papirkurvoppløsningen ville være hvis vi bare prøvde i vinduet (ingen null polstring)

$$ \ frac {F_s} {M} = \ frac {1} {T} = 2 $$ der $ M $ er antall eksempler i vinduet, $ T $ er varigheten av prøven, og $ F_s = M / T $ .

Kommentarer

• Hyggelig svar Tom.For å legge til hvis det ikke er klart, bruker vi ikke ' t faktisk et rektangulært vindu, men andre vinduer som avsmalner som tjener til å redusere sidelobene (forbedre dynamisk område) på bekostning av nedverdigende frekvensoppløsning ytterligere. En av mine favoritt klassiske artikler om dette og DFTs bruksområder generelt er av Fred Harris. Jeg tror du ' virkelig vil glede deg over det hvis du ikke har ' ikke allerede har sett det: web.mit.edu/xiphmont/Public/windows.pdf
• @TomHuntington Hyggelig, synd at jeg ikke kan ' ikke stemme to ganger!
• @TomHuntington Wikipedia vet tilsynelatende ikke ' om formlene eller teknikkene mine. Jeg har fortsatt problemer med intrabin-oppløsning (på grunn av støy og følsomheten til ligningene), men nærliggende frekvenser kan løses ved iterativ estimering og fjerning. Når du fjerner den store tonen, kan den minste estimeres. Når du fjerner den lille tonen, får du en bedre lesing på den store. Og så videre, selv med flere toner. Ethvert vindu som kompliserer matematikken.
• Hvis du har to sinusoider med nesten lik amplitude, men veldig nær i frekvens, kan du bruke beatfenomenet i tidsdomenet. Den tilsynelatende frekvensen til signalet (ved null kryssinger) er gjennomsnittet av de to frekvensene, og frekvensen til konvolutten (hvis du tar en hel syklus, f.eks. To lober) er halv forskjellen på frekvensene.
• Oppløsning definerer også presisjonen din uansett hva du måler. Det sier ingenting om nøyaktighet.

Avhenger litt av hva du prøver å oppnå.

Hvis du gjør en FFT med lengde $ N $ av et signal som samples ved samplet med en hastighet på $ F_s $ , så vil mange si at frekvensoppløsningen din er $ \ frac {F_s} {N} $ . Om det er riktig eller ikke, avhenger egentlig av hvor nøyaktig du definerer frekvensoppløsning og hva du planlegger å gjøre med det.

Det som virkelig skjer, er at du prøver en frekvensdomene med en sampling. intervall på $ \ frac {F_s} {N} $ . Så snart du velger en FFT-størrelse, sampler du i begge domener med samplingsintervallene $ \ frac {1} {F_s} $ i tid og $ \ frac {F_s} {N} $ i frekvens.

Sampling av frekvensdomener har alle de samme egenskapene, kravene og problemene som tidssampling, du kan få aliasing, du kan interpolere, det antas periodisitet i det andre domenet, etc.

Ved å bare bruke samplingssetningen kan vi hevde at frekvensoppløsningen som kreves for å fullstendig karakterisere et signal, ganske enkelt er det inverse av lengde i tidsdomenet. Dette fungerer bra for signaler som iboende er tidsbundet, for eksempel impulsresponsen til et LTI-system.

Det er imidlertid ikke praktisk for lange kontinuerlige signaler. I dette tilfellet må du velge en frekvensoppløsning som er god nok for applikasjonen din, og som virkelig avhenger av kravene og målet ditt spesifikk applikasjon.

Prøvetakingen er gitt av $ {T} _ {s} = \ frac {1} {2000} $ [Sek].
Vinduslengden er 1000 prøver.
Siden vinduslengden må være lik datalengden, utledes vi at datalengden er 1000 prøver som betyr at prøvetiden er $ 0,5 $ [Sec].

Bin-oppløsningen i DFT er rasjonen mellom samplingsintervallet til antall DFT-prøver, som i dette tilfellet er 2000. Derfor er søppeloppløsningen $ \ frac {1} {4000} $ [Hz].

Binbredden til FFT eller oppløsningen av repreantation som jeg liker å kalle det er Fs / N, hvor N er størrelsen på FFT. Den faktiske oppløsningen vil avhenge av vinduet du bruker og lengden på vinduet.

For eksempel: et rektangulært vindu gir maksimal oppløsning, men mindre dynamisk område. Andre mer jevnere vinduer gir mindre oppløsning med mer dynamisk område eller nedre sidelapper.