Så vidt jeg forstår det er gravitasjonsbindingsenergien til en viss massefordeling det negative av dens gravitasjonsmessige selvpotensielle energi.
Jeg prøvde å beregne sistnevnte for en solid kule med radius $ R $, masse $ M $ og jevn tetthet.
Ved skallsetningen (eller Gauss gravitasjonslov), blir feltstyrken i en avstand $ r $ fra midten av sfæren gitt av
$$ \ frac {GM_ {enc}} {r ^ 2} = \ frac {G} {r ^ 2} M \ big (\ frac {r} {R} \ big) ^ 3 = \ frac {GMr} {R ^ 3} $$
hvor $ M_ {enc} = M (r / R) ^ 3 $ er massen innelukket i en radiuskule $ r $.
Gravitasjonspotensialet ved en avstand $ r $ opprettet av denne fordelingen er dermed
$$ V = – \ frac {GMr ^ 2} {2R ^ 3} $$
Den selvgravitasjonspotensialenergien er summen av gravitasjonspotensialenergiene $ U \ cdot dm $ over alle masseelementene $ dm $ i fordelingen.
La oss fortsette med skallintegrasjon. Massen som finnes i skallet av indre radius $ r $, ytre radius $ r + dr $ er ganske enkelt
$$ dm_r = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ rho = 4 \ pi r ^ 2 \ cdot dr \ cdot \ frac {M} {4 \ pi R ^ 3} = \ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} $$
Den selvpotensielle energien til kule er dermed
$$ \ int ^ {R} _ {0} V (r) dm_r = \ int ^ {R} _ {0} \ big (\ frac {-GMr ^ 2} { 2R ^ 3} \ big) \ big (\ frac {3Mr ^ 2dr} {R ^ 3} \ big) = \ frac {-3GM ^ 2} {2r ^ 6} \ int ^ {R} _ {0} r ^ 4dr = – \ frac {3GM ^ 2} {10R} $$
som er nøyaktig halvparten av riktig svar.
Jeg sjekket arbeidet mitt flere ganger for enkle feil, men jeg ser ikke ut til å finne kilden til faktoren $ 2 $ feil. Dette får meg til å tro at det er noe fundamentalt galt med måten jeg beregnet energien på.
Hvor er problemet?
Kommentarer
- I MathJax-en din ' bruker \ big for store parenteser, noe som ikke ' t fungerer. Bruk samsvarende \ venstre og \ høyre i stedet. \ Big er en fast størrelse, mens \ venstre og \ høyre skaleres automatisk til størrelsen som trengs for det vedlagte innholdet i parentesene.
Svar
Problemet er måten du former skjellene dine på – enten de kommer fra innsiden eller utsiden av de forrige skjellene. For bindende energi betyr dette mengden energi det vil ta å sekvensielt fjerne hvert suksessive skall til uendelig. Dermed må potensialet beregnes med hensyn til uendelig, ikke opprinnelse; ditt uttrykk for potensial vil antyde at hvert skall begynner ved opprinnelsen og utvides gjennom den eksisterende massen ut til en radius $ r $, i stedet for å samle seg rundt en allerede eksisterende kjerne fra utsiden. Så beregne potensialet som
$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ r \ frac {GM_ {enc} (r)} {x ^ 2} \ dx = – \ frac { GM_ {enc} (r)} {r}. $
Dette skal løse faktoren på to.
Terminologi til side, jeg tror vi kan bli enige om konseptet om størrelsen av energimidlene, så positivt eller negativt har ikke stor innvirkning. For å få en følelse av integralet ovenfor, la oss forestille oss en enkelt partikkel som trekkes inn av gravitasjonen til den fremdeles dannende kulen (med radius $ r $), i stedet for et skall. Når partikkelen kommer inn fra uendelig, vil potensialet den vil føle være det vanlige newtonske gravitasjonspotensialet, helt til den treffer overflaten av ballen. Nå, hver lille bit av masse $ dm $ av et skall som legges til vil også føle det samme potensialet; vi kan tenke på skallet som mange små partikler som kommer inn fra alle retninger samtidig. Hver gang vi legger til et skall på denne måten, $ r \ rightarrow r + dr $, så $ M_ {enc} $ øker tilsvarende, noe vi regner med i integralen over $ r $. Dette er i motsetning til integralet med grensene $ [0, R] $ i spørsmålet, fordi en slik integral er mer lik den mengden energi det vil ta for å «blåse opp» masseskall utover fra opprinnelsen. En slik prosess vil kreve at kulen er fullstendig permeabel når skjellene blåses ut til overflaten, men hvis dette var tilfelle, ville hele kulen umiddelbart kollapse på seg selv igjen på grunn av sin mangel på stivhet. Kommentarer
- Ok. Først vet jeg faktisk ikke ' hvilken gravitasjonsbindende energi. Jeg vet bare hva selvpotensial energi er. Den selvpotensielle energien til et system med masse $ m_1, … m_N $ er summen av $ U_ {i, j} $ over alle par $ (i, j) $ med $ i < j $ hvor $ U_ {i, j} = – Gm_im_j / r_ {i, j} $, $ r_ {i, j} $ er avstanden mellom massene $ m_i $ og $ m_j $. Dette er hva jeg prøvde å beregne.
- For det andre gir integralen din ikke ' for meg. $ M_ {enc} (r) $ bør erstattes av $ M_ {enc} (x) $ no?
- Josh har rett: du tok feil definisjon av bindingsenergien. Se denne Wikipedia-artikkelen for full beregning: en.m.wikipedia.org/wiki/Gravitational_binding_energy
- @LucJ.Bourhis: Faktisk, det jeg beregnet er den selvgravitasjonspotensialenergien, som bare er negativet av bindende energi. Jeg beskrev selvpotensialenergi ovenfor, dvs. bare energien til massefordelingen på grunn av dens eget gravitasjonsfelt.
- Jeg har lagt til en avklaring i responsen, siden den ikke ville ' t passer her i kommentarene. Den vesentlige forskjellen i våre to mengder er mengden energi som er involvert i å fjerne alle biter av masse uendelig langt borte fra hverandre vs. mengden energi som kreves for å holde ballen i å kollapse i seg selv. Førstnevnte er gravitasjonsbindingsenergien (på grunn av selvpotensialet), og sistnevnte er mer et mål på minimum stivhet i den aktuelle saken.
Svar
Det er problemer med hvordan du beregner potensial og med hvordan du beregner gravitasjonsbindingsenergi.
Gravitasjonsfeltet inne i sfæren er radielt innover og av størrelse $ GM_ {enc} / r ^ 2 = GMr / R ^ 3 $. Gravitasjonsfeltet utenfor sfæren er radielt innover og av størrelse $ GM / r ^ 2 $.
Gravitasjonspotensialet er arbeidet som utføres per enhetsenhet og bringer massen fra uendelig til $ r $.
Potensialet i en radius $ r $ inne i sfæren er $$ V (r) = \ int _ {\ infty} ^ {R} \ frac {GM} {r «^ 2} \ dr» + \ int_ {R} ^ {r} \ frac {GMr «} {R ^ 3} \ dr» $$ $$ V (r) = – \ frac {GM} {R} – \ frac {GM} {2R} + \ frac {GMr} {2R ^ 3} $$ $$ V (r) = \ frac {GM} {2R ^ 3} (r ^ 2 – 3R ^ 3) $$
Imidlertid dette er ikke nødvendig for å beregne bindingsenergien til en sfære, siden tyngdebindingsenergien er summen av energiene som kreves for å fjerne masseskall fra overflaten til en sfære til uendelig ( tenk deg å skrelle av lag fra overflaten til du når sentrum).
Potensialet på overflaten av en kule med massen $ M «$ er $ -GM» / R «$, hvor den konstante tettheten $ \ rho = 3M «/ 4 \ pi R» ^ 3 $. Dermed $$ V (R «) = – \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R» ^ 2 $$ og bindingsenergien er lik til $ V (R «) $ multiplisert med massen til et skall, $ dM = 4 \ pi R «^ 2 \ rho \ dR» $, integrert over masseskall fra null til stjernens sluttradius.
$$ U = – \ int_ {0} ^ {R} \ frac {4 \ pi G \ rho} {3} R «^ 2 \ 4 \ pi R» ^ 2 \ rho \ dR «$$ $$ U = – \ frac {16 \ pi ^ 2 G \ rho ^ 2 R ^ 5} {15} = – \ frac {3GM ^ 2} {5R} $$