Hva er i enkle termer målerinvarians?

Årsaken til at det er så vanskelig å forstå hva fysikere mener når de snakker om «målefrihet» er at det er minst fire ulikverdige definisjoner som jeg har sett brukt. :

• Definisjon 1: En matematisk teori har en frihetsmåling hvis noen av de matematiske frihetsgrader er «overflødige» i den forstand at to forskjellige matematiske uttrykk beskriver nøyaktig samme fysiske system . Da er de overflødige (eller «måleavhengige») gradene av frihet «ufysiske» i den forstand at intet mulig eksperiment unikt kunne bestemme verdiene deres, selv i prinsippet. Et kjent eksempel er den samlede fasen av en kvantetilstand – den er helt umålelig, og to vektorer i Hilbert-rommet som bare skiller seg fra en totalfase beskriver nøyaktig samme tilstand. Et annet eksempel, som du nevnte, er enhver form for potensial som må differensieres for å gi en fysisk mengde – for eksempel en potensiell energifunksjon. (Selv om noen av de andre eksemplene dine, som temperatur, ikke er eksempler på måleavhengige størrelser, fordi det er en veldefinert fysisk følelse av null temperatur.)

  For fysiske systemer som er beskrevet av matematiske strukturer med en målefrihet, er den beste måten å matematisk definere en spesifikk fysisk konfigurasjon som en ekvivalensklasse av måleravhengige funksjoner som bare skiller seg ut i deres måler frihetsgrader. For eksempel, i kvantemekanikk, er en fysisk tilstand ikke faktisk beskrevet av en enkelt vektor i Hilbert-rommet, men snarere av en ekvivalensklasse av vektorer som avviker med en samlet skalar mul tippel. Eller enklere, ved en linje av vektorer i Hilbert-rommet. (Hvis du vil bli fancy, kalles rommet for fysiske tilstander et «prosjektivt Hilbert-rom», som er linjesettet i Hilbert-rommet, eller mer presist en versjon av Hilbert-rommet der vektorer blir identifisert hvis de er proporsjonale til hverandre.) Jeg antar at du også kan definere «fysiske potensielle energier» som sett med potensielle energifunksjoner som bare skiller seg med en additivskonstant, selv om det i praksis er en slags overkill. Disse ekvivalensklassene fjerner målefriheten ved konstruksjon, og så er «gauge invariant.»

  Noen ganger (men ikke alltid) er det en enkel matematisk operasjon som fjerner alle overflødige frihetsgrader samtidig som de fysiske bevares. For eksempel, gitt en potensiell energi, kan man ta gradienten for å gi et kraftfelt, som er direkte målbart.Og når det gjelder klassisk E & M, er det visse lineære kombinasjoner av delderivater som reduserer potensialene til direkte målbare $ {\ bf E} $ og $ {\ bf B} $ felt uten å miste fysisk informasjon. Imidlertid, når det gjelder en vektor i et kvante Hilbert-rom, er det ingen enkel avledet operasjon som fjerner fasefriheten uten å miste noe annet.

• Definisjon 2: Det samme som definisjon 1, men med tilleggskravet om at de overflødige gradene av frihet er lokale . Dette betyr at det eksisterer en slags matematisk operasjon som avhenger av en vilkårlig glatt funksjon $ \ lambda (x) $ på romtid som etterlater de fysiske gradene av frihet (dvs. de fysisk målbare størrelsene) uforanderlige. Det kanoniske eksempelet er selvfølgelig at hvis du tar noen glatt funksjon $ \ lambda ( x) $, og deretter legger du til $ \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ til det elektromagnetiske firepotensialet $ A_ \ mu (x) $ etterlater de fysiske mengdene ($ {\ bf E} $ og $ {\ bf B } $ felt) uendret. (I feltteori er kravet om at «fysiske frihetsgrader» er uendret, formulert som et krav om at den lagrangiske tettheten $ \ mathcal {L} [\ varphi (x)] $ er uendret , men andre formuleringer er mulige.) Denne definisjonen er tydeligvis mye strengere – eksemplene gitt ovenfor i definisjon 1 teller ikke under denne definisjonen – og mest tiden da fysikere snakker om «måle frihet» dette er definisjonen de mener. I dette tilfellet, i stedet for å ha bare noen få overflødige / ufysiske grader av frihet (som den totale konstanten for din potensielle energi), har du et kontinuerlig uendelig antall. (For å gjøre saken enda mer forvirrende, bruker noen mennesker uttrykket «global gauge symmetry» i betydningen Definisjon 1 for å beskrive ting som den globale fasefriheten til en kvantetilstand, noe som helt klart ville være en motsetning i form av definisjonen. 2.)

  Det viser seg at for å håndtere dette i kvantefeltteori, må du endre tilnærmingen din til kvantisering vesentlig (teknisk sett må du «måle fikse stien din integral») for for å eliminere alle ufysiske grader av frihet. Når folk snakker om «gauge invariant» -mengder under denne definisjonen, menes de i praksis vanligvis de direkte fysisk målbare derivatene, som den elektromagnetiske tensoren $ F _ {\ mu \ nu} $, som forblir uendret («invariant») under enhver målingstransformasjon. . Men teknisk sett er det også andre måle-invariante mengder, f.eks. en ensartet kvantesuperposisjon på $ A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ lambda (x) $ over alle mulige $ \ lambda (x) $ for noen bestemt $ A_ \ mu (x). $

  Se Terry Taos blogginnlegg for en flott forklaring på denne andre følelsen av målesymmetri fra et mer matematisk perspektiv.

• Definisjon 3: En Lagrangian sies noen ganger å ha en «gauge symmetry» hvis det eksisterer en eller annen operasjon som avhenger av en vilkårlig kontinuerlig funksjon på romtiden som etterlater den uforanderlig, selv om frihetsgraden endres er fysisk målbare.

• Definisjon 4: For en «gittermålerteori» definert på lokale gitter Hamiltonians, finnes det en operatør som støttes på hvert gittersted som pendler med Hamiltonian. I noen tilfeller tilsvarer denne operatøren en fysisk målbar mengde.

Tilfellene til definisjonene 3 og 4 er litt konseptuelt subtile, så jeg vil ikke gå inn i dem her – jeg kan adressere dem i en følge spørsmål om noen er interessert.

Oppdatering: Jeg har skrevet oppfølgingssvar angående om det er noen forstand der målegraden av frihet kan være fysisk målbar i Hamilton-saken og Lagrangian-saken .

Kommentarer

• Utmerket svar! Dette er en av de beste eksplosjonene (på et enkelt sted) jeg har kommet over ennå! : D
• Ive stilte oppfølgingsspørsmålet om finesser mellom # 3 og # 4
• physics.stackexchange.com/q/ 267175/122066
• @ user122066 Se oppdateringen på slutten av svaret mitt for lenker til oppfølgingen.

Jeg forsto dette bare etter å ha tatt en klasse i generell relativitet (GR), differensialgeometri og kvantefeltteori (QFT). Essensen er bare en endring av koordinatsystemer som må reflekteres i derivatet. Jeg skal forklare hva jeg mener.

Du har en teori som er uforanderlig under en eller annen symmeturgruppe. Så i kvanteelektrodynamikk har du en lagrangisk tetthet for fermionene (ingen fotoner ennå) $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu – m] \ psi (x) \,. $$ Denne $ \ bar \ psi $ er bare $ \ psi ^ \ dolk \ gamma ^ 0 $, viktig er at den er kompleks konjugert.Det faktum at det er en firvektor i spin-space er ingen bekymring her. Det man kan gjøre nå er å transformere $ \ psi \ til \ exp (\ mathrm i \ alpha) \ psi $ med noen $ \ alpha \ i \ mathbb R $. Deretter vil $ \ bar \ psi \ to \ bar \ psi \ exp (- \ mathrm i \ alpha) $ og Lagrangian være uforanderlig ettersom derivatet ikke virker på den eksponensielle funksjonen, det er bare en fasefaktor. Der har du en global symmetri.

Nå markedsfører du symmetrien til en lokal, hvorfor ikke? I stedet for en global $ \ alpha $ har man nå $ \ alpha (x) $. Dette betyr at vi velger en annen $ \ alpha $ på hvert punkt i romtiden. Problemet er at når vi transformerer nå, plukker man opp $ \ partial_ \ mu \ alpha (x) $ med kjeden og produktreglene for differensiering. Det virker som en teknisk komplikasjon i begynnelsen.

Det er en mer talende måte å se dette på:
Du tar et derivat av et felt $ \ psi (x) $. Dette betyr å ta en forskjellkvotient som $$ \ partial_ \ mu \ psi (x) = \ lim _ {\ epsilon \ til 0} \ frac {\ psi (x + \ epsilon \ vec e_ \ mu) – \ psi (x) } {\ epsilon} \,. $$ Dette fungerer helt fint med en global transformasjon. Men med den lokale transformasjonen trekker du i utgangspunktet to verdier som er målte annerledes. I differensiell geometri har du at tangensrommene på de forskjellige punktene i manifolden er forskjellige, og derfor kan man ikke bare sammenligne vektorer etter komponentene. Man trenger en forbindelse med tilkoblingskoeffisienter for å gi parallell transport . Det er likt her. Vi har nå promotert $ \ phi $ fra å leve på $ \ mathbb R ^ 4 $ til å leve i bunten $ \ mathbb R ^ 4 \ ganger S ^ 1 $ ettersom vi har en U (1) målergruppe. Derfor trenger vi en slags tilkobling for å transportere den transformerte $ \ phi $ fra $ x + \ epsilon \ vec e_ \ mu $ til $ x $. Det er her man må introdusere en forbindelse som er $$ \ partial_ \ mu \ til \ mathrm D_ \ mu: = \ partial_ \ mu + \ mathrm i A_ \ mu \,. $$

Hvis du kobler det til Lagrange-tettheten for å gjøre det $$ \ mathcal L = \ bar \ psi (x) [\ mathrm i \ gamma ^ \ mu \ mathrm D_ \ mu – m] \ psi (x) $$ og velger deretter $ A_ \ mu = \ partial_ \ mu \ alpha $ vil du se at den lagrangiske tettheten forblir invariant selv under lokale transformasjoner, da tilkoblingskoeffisienten bare trekker den uønskede termen fra produkt / kjederegelen.

Generell relativitet har du symmetrien under vilkårlig diffeomorfisme, prisen er at du må endre derivatet til en forbindelse, $$ \ partial \ to \ nabla: = \ partial + \ Gamma + \ cdots \,. $$

Siden du nevnte å komme fra en matematisk bakgrunn, kan det hende du synes det er hyggelig å ta et svar når det gjelder ekvivalensklasser.

En målerteori er fysisk teori der de observerbare størrelsene, som i, ting du kan måle med et eksperiment gitt perfekt måleutstyr, er ekvivalensklasser i et vektorrom.

Elektromagnitisme er det vanligste eksemplet. Moderne fysikkteorier er alltid skrevet som fiberbunter der den underliggende manifolden er romtid og fibrene er et tangent rom assosiert med hvert punkt (kalt en hendelse) i romtiden. E & M i ledig plass (ingen ladninger tilstede) er beskrevet ved å knytte et 4-komponent objekt kalt $ A _ {\ mu} $ til hvert romtidspunkt, $ x $, og krever $ A _ {\ mu} (x) $ for å tilfredsstille maxwells ligninger.

Imidlertid er de observerbare, like målbare størrelsene i naturen de elektriske og magnetiske feltene, $ \ vec {E} (x) $ og $ \ vec {B} (x) $. Disse er avledet fra $ A _ {\ mu} (x) $ ved hjelp av definisjonen gitt i denne wiki (se på matriseelementene til $ F _ {\ mu \ nu} (x) $).

Det viser seg at transformasjonen $ A _ {\ mu} (x) \ rightarrow A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ for en hvilken som helst dobbel differensierbar funksjon $ f (x) $ gir de samme verdiene til de observerbare feltene $ \ vec {E} (x) $ og $ \ vec {B } (x) $. Så det er en ekvivalensrelasjon

$ A _ {\ mu} (x) \ approx A _ {\ mu} (x) + \ partial _ {\ mu} f (x) $ .

Og generelt er måle-teorier teorier der de observerbare størrelsene er funksjoner på ekvivalensklasser for noen vektorer i et vektorrom. i dette tilfellet var vektorene våre $ A _ {\ mu} (x) $ (dette er vektorer i funksjonsområdet til to ganger differensierbare funksjoner på romtid), og vår ekvivalensforhold ble gitt ovenfor.

Når det gjelder din endelige spørsmål om ting som den totale energien til systemet bare blir bestemt opp til konstant faktor i en hvilken som helst referanseramme, gjør newtons dynamikk til en måle-teori. Svaret er nei, egentlig ikke. I utgangspunktet, hvis du ikke snakker om en feltteori, vil en fysiker ikke kalle tingen en målerteori.

Kommentarer

• Fint svar, men kanskje det ville være mer presist å si at observerbare i en gauge-teori er funksjoner på et sett av ekvivalensklasser av [ting som forbindelser og buntdeler] mod gauge ekvivalens.Frustrasjonen ved målerteori er at vi ikke kan ‘ ikke vet om mange tilfeller der vi kan beskrive disse funksjonene, bortsett fra ved å gi funksjoner på tilkoblingene og seksjonene.
• Du har rett, språket mitt er litt slurvete. Den skal lese noe sånt som » observerbare er funksjoner på ekvivalensklassene til noe vektorrom. »

Måleinvariansjon er rett og slett en redundans i beskrivelsen av et fysisk system. Dvs. vi kan velge mellom et uendelig antall vektorpotensialer i E & M.

For eksempel kan et uendelig antall vektorpotensialer beskrive elektromagnetisme ved transformasjonen nedenfor

$$ A (x) \ til A_ \ mu (x) + \ partial_ \ mu \ alpha (x) $$

Å velge en spesifikk måler (målerfiksering) kan løse et fysisk problem mye lettere enn det ville være hvis du ikke fikste en måler.

Normalt velger man Coulomb-måleren: $ \ nabla \ cdot A = 0 $.

Det burde være være understreket at måleinvariansi IKKE er en symmetri av naturen, og at du ikke kan måle noe som er assosiert med det. I tillegg krever S-matriseelementer i QFT en lokal Lagrangian og dermed måler invarians.

Som et eksempel på hvorfor vi vil introdusere vektorpotetialen $ A ^ \ mu $ vurdere Aharonov-Bohm-effekten som oppstår pga. globale topologiske egenskaper av vektorpotensialet. Det er fremdeles andre grunner til at måleinvariansjon gjør livet enkelt, og reduserer fotonets frihetsgrad i den såkalte kovarianten eller $ R_ \ xi $ måler, kausalitet osv. I det vesentlige blir ikke bruken av målerinvarians helt åpenbar før man begynner å prøve å jobbe gjennom kvantefeltsteori. : D

Kommentarer

• @ user122066 For fremtidig referanse, hvis du trenger å slå opp et symbol, se dette tex.SE-spørsmålet . Men bare visse (La) TeX-kommandoer støttes i MathJax. Se MathJax-dokumentasjonen for en liste.
• For all MathJax-referanse, sjekk dette: MathJax grunnleggende opplæring og hurtigreferanse
• @ user122066: du skrev: » Nå er det en helt avgjørende egenskap for moderne fysikk og vi kan veldig godt gå tapt uten det! » Jeg tror du overdriver her, og det er dette som gjør en slik setning » skremmende «. Det er ikke noe bevis på at vi bare må jobbe med » måle-teorier «. Andre tilnærminger er bare uutforsket.
• @VladimirKalitvianski rettferdig nok. Det er rekursjonsrelasjoner relatert til S-matrisen som unngår målere, men det ‘ er veldig vanskelig å forestille seg at noe blir oppdaget som gjør konversasjon lettere enn måleinvariansen. Du har helt rett skjønt. Jeg sletter denne delen
• (Også nyttig for TeX-symboloppslag – Detexify .)

Disse beregningene avhenger ofte bare av forskjellen mellom to verdier, ikke selve de konkrete verdiene . Du står derfor fritt til å velge et null til din smak. Er dette et eksempel på måleinvariansjon i samme forstand som eksemplene ovenfor?

Ja, det er det, i den mest generelle definisjonen av målerinvarianse, det er det fysikere kaller en global gauge invariance . Mer om det nedenfor.

Hvis jeg måtte skrive et setningssvar på tittelen din, ville det være dette:

Gauge invariance er vel definert av fysisk lov under et kvotekart som kondenserer en konfigurasjon / parameter plass / koordinater for et fysisk system til et sett av ekvivalensklasser av fysisk ekvivalente konfigurasjoner.

Dette er i samme forstand som for eksempel cosetproduktet er godt definert under kartet som kvoterer bort en gruppes normale undergruppe. Fysikken til en konfigurasjon er uavhengig av valget av ekvivalensklassemedlem .

I sine tøffeste termer er gauge invariance ganske enkelt en påstand om at det er redundans i en matematisk beskrivelse av et fysisk system. Hvis ikke annet er sagt, har systemet en symmetri , en uforanderlighet med hensyn til en gruppe transformasjoner.

En global målesymmetri er en der konfigurasjonsrommet er et enkelt kartesisk produkt ( ie en triviell fiberbunt) av settet med fysisk forskjellige ekvivalensklasser og en overflødig parameter, som med forskjellen mellom to verdier eksempel. Hvis den fysiske beskrivelsen er en Lagrangian-beskrivelse, er det her Noether s teorem kommer frem og identifiserer konserverte størrelser, en for hver slik overflødig parameter.Målergruppen, dvs. gruppen av symmetrier, påvirker alle ekvivalensklasser (fibre) likt. Subtraksjon av et konstant potensial fra et elektrostatisk potensial er en slik symmetri, og et stort fremskritt for Corvid Civilization, da det lar kråkene sitte på høyspent kraftlinjer og gjerne skyte brisen sammen, diskutere deres siste tanker om måle-teorier og erklære at » Aldri mer!» skal vi frykte at den globale tilførselen av 22kV til det elektrostatiske potensialet kan forandre fysikken i systemet vi tilhører.

Imidlertid, vanligvis når fysikere snakker om en målerteori, betyr de en der symmeturgruppen kan handle på en mer generell måte, med et annet gruppemedlem som handler på hvert punkt i konfigurasjonsområdet. Den tilsvarende fiberbunten er ikke lenger triviell. Selv om du ønsket et enklere eksempel enn elektrodynamikk, tror jeg ikke det er en. Fasen som legges til elektronbølgefunksjonen kan være hvilken som helst glatt funksjon av koordinater, og de ekstra begrepene som oppstår fra Leibniz-regelen, brukes på derivatene i bølgefunksjonens bevegelsesligning (Dirac, Schrödinger) blir nøyaktig gjennomvåt i den lukkede delen av EM potensiell enform. Forresten, som en side, liker jeg alltid å visualisere EM-potensial i Fourier-rommet, noe vi kan gjøre med rimelige begrensninger ( f.eks et postulat om at vi for eksempel bare vil tenke på tempererte distribusjoner) , fordi den romlige delen av den overflødige delen av firepotensialet da er komponenten langs bølgevektoren ( ie tenkt på som en 3-vektor), og bare den komponenten som er normal for bølgevektoren har fysisk betydning: det er den eneste delen som overlever $ A \ mapsto \ mathrm {d} A = F $.

Det er to ting jeg mener du bør ta fra EM-eksemplet:

1. Selv om det praktisk talt fører til ganske mye ytterligere kompleksitet, er det konseptuelt bare et lite hopp fra det enkle globale målesymmetriske eksemplet. Vi lar ganske enkelt symmetriene handle lokalt i stedet for å handle på alle konfigurasjonsplasspunkter likt;

2. Tar vi en ledelse fra den eksperimentelt virkelige elektromagnetismen, postulerer vi at denne målevariasjonen m Kan være relevant mer generelt, og så ser vi dens tilstedeværelse i andre fysiske fenomener. Dette er ikke noe annet enn en gjerning motivert av en anelse. Eksperimentelt finner vi at dette er en fruktbar ting å gjøre. I fysikk er det ingen dypere innsikt enn eksperimentelle resultater.

Til slutt skal jeg nevne at begreper om måler / fiberbunter også er nyttige når vi kunstig erklærer ekvivalensklasser av konfigurasjoner basert på behovene til problemet vårt , selv om det er en fysisk forskjell mellom ekvivalensklassemedlemmer. Et av de vakreste eksemplene på denne tankegangen er Montgomery «s » Gauge Theory of the Falling Cat «. Vi studerer ekvivalensklasser for kattkonfigurasjon som er ekvivalent modulo riktig euklidisk isometri for å formulere et kattformerom som i standardbehandlingen der katten blir tenkt på som en to-seksjon robot med vri-fri kule-og-ledd ledd viser seg å være den ekte prosjektivt plan $ \ mathbb {RP} ^ 2 $. Hele konfigurasjonsrommet er da en fiberbunt med formområdet $ \ mathbb {RP} ^ 2 $ som base og gruppen $ SO (3) $ som definerer retninger som fiber Katten kan vende mens den bevarer vinkelmomentet ved å bruke sykliske deformasjoner av sin egen form på grunn av krumningen av forbindelsen som oppstår fra forestillingen om parallell transport som er underforstått av bevaring av vinkelmoment.

Her er det mest elementære eksemplet på en målesymmetri jeg kan tenke meg.

Anta at du vil ha t o diskutere noen maur som går rundt på et Möbius-band. For å beskrive maurens posisjoner er det praktisk å forestille seg å kutte båndet langs bredden, slik at det blir et rektangel. Da kan du fortelle meg hvor en maur er ved å fortelle meg tre ting:

• Hennes breddegrad —hennes posisjon langs bredden på rektangelet.
• Hennes lengdegrad —hennes posisjon langs lengden på rektangelet.
• Hennes orientering – om hun klamrer seg til toppen eller bunnen av rektangelet.

Betydningen av lengdegrad avhenger av plasseringen av det imaginære kuttet. Hvis du beveger snittet, endres alle maurene «lengdegrader. Det kan ikke være noen fysisk grunn til å foretrekke et snitt fremfor et annet, fordi du kan skyve båndet langs lengden uten å endre form eller påvirke maurens» oppførsel. ord, det kan ikke være noen fysisk meningsfull forestilling om absolutt lengdegrad, fordi bandet har en oversettelsessymmetri .

Tilsvarende avhenger betydningen av orientering av hvordan du merker overflatene. av rektangelet som topp og bunn.Det kan ikke være noen fysisk grunn til å foretrekke en merking fremfor en annen, fordi du kan bytte ut de to overflatene på båndet uten å endre form eller påvirke maurens oppførsel. Den utvekslingen er et eksempel på en målesymmetri . Den har noen slående trekk som ikke deles av vanlige symmetrier. La oss ta en titt på en av dem.

For hver symmetri i en situasjon er det noen aspekter av situasjonen. som kan beskrives på flere måter, uten fysisk grunnlag for å velge mellom dem. Noen ganger er det imidlertid nyttig å ta et valg og holde fast ved det, selv om valget er fysisk meningsløst. I diskusjoner om mennesker som seiler rundt på jordoverflaten, for eksempel, definerer stort sett alle jeg kjenner lengdegrad ved hjelp av et kutt som går gjennom Greenwich, London, mest fordi noen mennesker som bodde der, tok over verden og skrev ut mange sjøkart.

Hvis vi hadde gått og sett på et vanlig sylindrisk bånd, kunne vi ha lagt oss til grunn om en forestilling om orientering like lett. Vi malte den ene siden av båndet turkis for «toppen» og den andre siden blå for «bunnen», og det ville være det. På et Möbius-bånd er ting mer komplisert, fordi et Möbius-bånd bare har den ene siden! Hvis du prøver å male den ene overflaten turkis og den motsatte overflaten blå, og begynne i en liten region av båndet og bevege seg utover. De turkise og blå områdene vil uunngåelig kollidere. (I vår tidligere diskusjon ble kollisjonen skjult langs lengdegradet.)

I en situasjon med en vanlig symmetri, som en oversettelsessymmetri, kan du ikke velge mellom mulige beskrivelser på en måte som er fysisk meningsfull. I en situasjon med en målesymmetri er du kanskje ikke engang i stand til å velge mellom mulige beskrivelser på en måte som er globalt konsistent! Du kan imidlertid alltid velge konsistente beskrivelser i små områder av rommet. Derfor kalles målersymmetrier ofte lokale symmetrier .

Etter å ha forsøkt en lang, elementær beskrivelse av hva en målesymmetri er, vil jeg også tilby en kort, sofistikert. I våre enkleste fysiske modeller finner hendelser sted på et glatt manifold kalt space eller spacetime . En vanlig symmetri er en diffeomorfisme av romtid som bevarer den fysiske muligheten for hendelser. I mer sofistikerte modeller finner hendelser sted på en fiberbunt over romtiden. En målesymmetri er en automorfisme av fiberpakken som bevarer den fysiske muligheten for hendelser.

I vårt elementære eksempel spiller Möbius-bandet rollen som rom, og maurene går rundt i bandets Orienteringsbunt. Orienteringsbunten har en automorfisme som utveksler de to overflatene av båndet.

I klassisk elektromagnetisme spiller Minkowski romtid eller annen Lorentzisk manifold rollen som romtid, og det elektromagnetiske feltet er representert av en forbindelse på en sirkelbunt over romtid. I Kaluza-Klein-bildet beveger ladede partikler seg rundt i sirkelbunten og flyr i rette linjer hvis «skygger» i romtiden er spiralbanene vi ser. Sirkelbunten har en familie av automorfismer som roterer sirkelfibrene, som fancy mennesker kaller $ \ operatorname {U} (1) $ gauge symmetry. Dette bildet generaliserer til alle klassiske Yang-Mills teorier.

I Palatini-bildet av generell relativitet, en jevn $ 4 $ -dimensjonal manifold spiller rollen som romtid, og gravitasjonsfeltet er representert med et $ \ operatorname {SO} (3,1) $ tilkobling på manifoldens rammebunt. Jeg mistenker at målesymmetriene til linearisert tyngdekraft som du nevnte er automorfismer av rammebunten.

I Einsteins bilde av generell relativitet er symmetriene diffeomorfier av romtid. Jeg klassifiserer disse som vanlige symmetrier, heller enn gauge symmetries. Som tparker nevnt , bruker ikke alle imidlertid begrepet «gauge symmetry» på samme måte.

Kommentarer

• Fantastisk! M ö bius band-ideen er bare vakker, og den fanger virkelig all essensen av mye mer kompliserte ideer. Jeg liker også at det er hvordan strømmen av ideer viser hvordan det enkle generaliserer sømløst.
• Hei, hva ‘ er med de tre stemmene? Ikke hva ‘ er galt med lurkerne på dette nettstedet, dette er det beste svaret på dette spørsmålet så langt, gitt OP ‘ s krav. Uansett, en av stemmene er min.
• @WetS avannaAnimalakaRodVance, jeg ville ikke ‘ ikke bekymre meg for antall stemmer. Hvis du møter noen som kan ha nytte av dette svaret, kan du bare koble dem direkte til det.Som referanse fungerer det like bra nederst på den stemmesorterte svarelisten som øverst.

Målteorier beskriver tilkoblingen til et mellomrom med små, symmetriske ekstra dimensjoner

Start med en uendelig sylinder (det direkte produktet av en linje og en liten sirkel). Sylinderen kan vris. For å unngå å appellere til konsepter som jeg prøver å forklare, vil jeg bare si at sylinderen er laget av trådnett: jevnt fordelte sirkler loddet til ledninger som løper lengden på den. De lange ledningene kan rotere som en enhet og introdusere en vinklet vri mellom hvert par tilstøtende sirkler. Det er klart at en slik konfigurasjon kontinuerlig kan deformeres til en hvilken som helst annen: alle slike sylindere er ekvivalente fra perspektivet til den ordspråklige mauren som kryper på dem.

Erstatt linjen med en lukket sløyfe, slik at produktet er en torus (og tenk på torusen som en nettdoughnut, selv om det å variere planet til de små sirkler slik teknisk bryter analogien). En hvilken som helst del av smultringen, kort av det hele, kan deformeres til den samme delen av en hvilken som helst annen smultring, men smultringene som helhet kan noen ganger ikke være, fordi nettvridningen rundt smultringen ikke kan endres. Klassene av ekvivalente smultringer er fullstendig preget av denne nettvridningen, som i seg selv ikke er lokal.

Erstatt løkken (ikke den lille sirkelen) med et manifold med to eller flere dimensjoner. Det er sant, selv om det ikke er åpenbart, at den fysiske delen av forbindelsen er helt gitt av den integrerte vri rundt alle lukkede sløyfer ( Wilson-sløyfer ).

$ A $ og $ F $ kvantifiserer tilkoblingen

I det diskrete tilfellet kan forbindelsen beskrives mest enkelt ved å gi vridningen mellom tilstøtende sirkler. I kontinuumgrensen blir dette en «twist gradient» i hver sirkel. Dette er $ A_ \ mu $, det såkalte vektorpotensialet.

Enhver kontinuerlig deformasjon kan beskrives av et skalarfelt $ \ phi $ som representerer mengden som hver sirkel er vridd (relativt til hvor det var før). Dette endrer $ A_ \ mu $ med gradienten $ \ phi $, men endrer ikke noen fysisk størrelse (loop integral).

Beskrivelsen i vilkår for Wilson loops, $ \ oint_ \ gamma A \ cdot \, \ mathrm dx $, er mer elegant fordi det bare inneholder fysisk meningsfulle mengder, men det er ikke-lokalt og svært overflødig. Hvis rommet bare er koblet til, kan du unngå r overflødighet og ikke-lokalitet ved å spesifisere vrien bare rundt differensialløkker, siden større løkker kan bygges fra dem. Den såkalte felttensoren, $ \ partial_ \ nu A_ \ mu – \ partial_ \ mu A_ \ nu = F _ {\ mu \ nu} $, gir deg akkurat det.

(Hvis plassen er ikke bare koblet til, men du kan fortsatt komme deg unna med differensialløkkene pluss en nettvridning for hvert element i et genererende sett av grunnleggende gruppe . Torus var selvfølgelig et enkelt eksempel på dette.)

Kraften kommer fra Aharonov – Bohm-effekten

Tenk på et skalarfelt definert over hele rommet (i motsetning til de tidligere feltene tar denne en verdi på hvert punkt i hver sirkel). Feltet er null overalt bortsett fra to smale bjelker som divergerer fra et punkt og konvergerer et annet sted. (Kanskje reflekteres de av speil; kanskje rommet er positivt buet; det spiller ingen rolle.)

Med mindre feltet er konstant på tvers av sirklene, vil interferensoppførselen til bjelkene avhenge av forskjellen i vri langs de to stiene. Denne forskjellen er bare integralet rundt den lukkede sløyfen som dannes av banene.

Dette er den (generaliserte) Aharonov – Bohm-effekten. Hvis du begrenser det til forskjellige veier og bruker $ F _ {\ mu \ nu} $ for å beregne effekten på interferensen, får du loven om elektromagnetisk kraft.

Du kan spalte feltet inn i Fourier-komponenter. Fourier-spekteret er diskret i den lille dimensjonen. Null (konstant) harmonisk påvirkes ikke av vridningen. Den andre harmonikken påvirkes dobbelt så mye som den første. Dette er de elektriske ladningene.

I virkeligheten, av ukjente årsaker, ser det bare ut til å være visse ekstra-dimensjonale harmonier. Hvis bare den første harmoniske eksisterer, er det en ekvivalent beskrivelse av feltet som en enkelt kompleks amplitude + fase på hvert punkt av de store dimensjonene. Fasen er i forhold til et vilkårlig lokalt nullpunkt som også brukes av vektorpotensialet. Når du sammenligner fasen med fasen på et nærliggende punkt, og det er en vektorpotensial vri på $ \ mathrm d \ theta $ mellom dem, må du justere feltverdien med $ i \, \ mathrm d \ theta $ Dette er opprinnelsen til kovariantderivat .

Sirkler generaliseres til andre former

Hvis du bytter ut sirkler med 2-sfærer, får du en $ \ mathrm {SU} (2) $ gauge-teori. Den er styggere numerisk: symmeturgruppen er ikke-kommutativ, så du må ta med maskinene til Lie algebra. Geometrisk, men ingenting mye har endret seg. Forbindelsen er fortsatt beskrevet av en nettvridning rundt løkker.

En uheldig forskjell er at beskrivelsen av ladning som ekstra dimensjonal harmoni cs fungerer ikke helt lenger. Sfæriske overtoner gir deg bare heltal-spinn-representasjonene, og alle kjente partikler er i spin-0 eller spin-½-representasjonene av standardmodellen $ \ mathrm {SU} (2) $, så partiklene som påvirkes av $ \ mathrm {SU} (2) $ force i det hele tatt kan ikke beskrives på denne måten. Det kan være en måte å omgå dette problemet med en mer eksotisk type felt.

Jeg har ikke noe innsiktsfullt å si om $ \ mathrm {SU} (3) $ -delen av standardmodellmålergruppen, bortsett fra å påpeke at hele SM-målegruppen kan være innebygd i $ \ mathrm {Spin} (10) $ , og jeg tror det er lettere å visualisere en 9-sfære enn en form med $ \ mathrm {SU} (3) $ symmetri.

Generell relativitet er lik

I generell relativitet er Riemann-krumningstensoren analog med felt tensor; den representerer vinkelrotasjonen til en vektor som transporteres rundt en differensiell sløyfe. Aharonov-Bohm-effekten er analog med vinkelunderskuddet rundt en kosmisk streng . Kaluza-Klein-teorien refererte opprinnelig til en bestemt måte å få elektromagnetisme fra generell relativitet i fem dimensjoner; nå refererer det ofte til den brede ideen om at standardmodellmålekreftene og generell relativitet sannsynligvis vil være forskjellige aspekter av det samme.

/ div>

Svar