Jeg leste at kanonisk kommutasjonsforhold mellom momentum og posisjon kan sees på som Lie Algebra av Heisenberg-gruppen . Mens jeg får hvorfor kommuteringsforholdene mellom momentum og momentum, momentum og vinkelmoment og så videre kommer fra Lorentz-gruppen, kommer jeg ikke helt dit den fysiske symmetrien til Heisenberg-gruppen stammer fra.
Enhver forslag?
Kommentarer
- Relatert: physics.stackexchange.com/q/19029/2451
Svar
Du vil kanskje se:
http://www.math.columbia.edu/~woit/QMbook/qmbook.pdf kapittel 13,
dvs. forelesningene «Kvantemekanikk for matematikere: Heisenberg-gruppen og Schrodinger Representasjon «av Peter Woit, hvor betydningen av Heisenberg-gruppen blir diskutert i detalj. Men dens fysiske betydning er IKKE som en gruppe symmetrier av den fysiske situasjonen. Så vær forsiktig med tette analogier mellom det kanoniske kommuteringsforholdet og det endelige ( si $ n $ ) dimensjonal Hiesenberg Lie-gruppe $ \ mathfrak {H} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ . Tingen på forholdet RHS $ \ left [\ mathbf {x}, \, \ mathbf {p} \ right] = i \, \ hbar \, \ mathbf {i } $ i den endelige dimensjonale algebra $ \ mathfrak {h} _n \ left (\ mathbb {R} \ right) $ er IKKE identitetsmatrisen – det er rett og slett noe som pendler med alt annet i Lie-algebraen. Det var Hermann Weyl som påpekte at den kanoniske kommuteringsrelasjonen ikke kan referere til en endelig dimensjonal Lie-algebra: i slike algebraer, en Lie-parentes $ \ left [\ mathbf {x}, \ , \ mathbf {p} \ right] $ (mellom firkantede matriser) har ingen spor, men identitetsmatrisen (eller et skalar multiplum, som på RHS for CCR) har ikke. Man må overføre operatører på uendelige dimensjonale Hilbert-mellomrom ( $ f.eks. $ $ p = i \, \ hbar \, d / dx $ ) for å finne full realisering av det kanoniske kommuteringsforholdet.
En annen måte å forstå at oppførselen til den endelige dimensjonsmatrisen Heisenberg Lie algebra er radikalt forskjellig fra CCR, er selve usikkerhetsprinsippet. Produktet av RMS-usikkerhet for simulære målinger fra to ikke-pendlende observasjoner $ \ hat {a}, \ hat {b} $ gitt en kvantetilstand $ \ psi $ er avgrenset nedenfra av det positive reelle tallet $ \ frac {1} {2} \ left | \ left < \ psi | c | \ psi \ right > \ right | $ der $ \ venstre [\ hat {a}, \ hat {b} \ right] = ic $ (se avsnitt 10.5 i utgave 3 av Merzbacher «Quantum Mechanics»). Hvis $ c $ er en endelig firkantmatrise, og som i Heisenberg-algebraen, den ikke er i full radrangering, er det visse tilstander (de i $ c $ «s nullspace) hvor usikkerhetsproduktet kan være intet. Så den endelige dimensjonale matrise-algebraen kan ikke modell Heisenbergs fysiske postulat.
Se også Wikipedia-artikkelen om Heisenberg-gruppen.
Kommentarer
- Mindre kommentar til svaret (v2): Skiltet i den viste Schroedinger-representasjonen på $ p $ er ikke det konvensjonelle tegnet.