Hvor lang tid tar det før en kopp vann fordamper?
For å svare på dette spørsmålet, antar jeg noen grunnleggende parametere, og at vannet blåses på av en vifte, for å komme til et estimat:
- Vannvolum: $ V = 200 \ \ mathrm {ml} $
- Vannets øverste overflate: $ A_ \ mathrm s = 0,05 \ \ mathrm {m ^ 2} $
- Romtemperatur: $ T _ {\ infty} = 25 \ \ mathrm { ^ \ circ C} $
- Vanntemperatur: $ T_ \ mathrm w = 25 \ \ mathrm {^ \ circ C} $
- Relativ fuktighet i vann i romluften: $ 50 \ \% $
- Varmeoverføringskonveksjonskoeffisient fra en vifte / vind: $ h = 100 \ \ \ mathrm {W / (m ^ 2 \ K)} $
La «s antar at vannet er i termisk likevekt med det omkringliggende rommet (et stort varmebeholder), så det er ingen flytende konveksjon.
Jeg begynner med fordampingsmassestrømmen gitt av
$$ n = h_m (\ rho_s – \ rho _ {\ infty}) $$
og $ h_m $ er masseoverføringskoeffisienten, som er funnet fra varme- og masseoverføringsanalogien:
$$ h_m = \ frac {h} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $ $
der $ Le = \ frac {\ alpha} {D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}}} $ er Lewis-nummeret. Så den fordampende massestrømningshastigheten er
$$ \ dot {m} = n A_ \ mathrm s = A_ \ mathrm s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty})} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} $$
Vi kan estimere tetthetsforskjellen ved å bruke den relative luftfuktigheten ved ~ $ 50 \ \% $ for et vanlig rom:
$$ \ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty} = \ rho_ \ mathrm {sat} (T) – 0.5 \ rho_ \ mathrm {sat} (T) = 0.5 \ frac {Mp_ \ mathrm {sat} (T)} {RT} = 0.5 \ frac {18 \ \ mathrm {g \ mol ^ {- 1}} \ times 3171 \ \ mathrm {Pa}} {8.315 \ \ mathrm {m ^ 3 \ Pa \ K ^ {- 1} \ mol ^ {- 1 }} \ times 298 \ \ mathrm K} = 0,012 \ \ mathrm {kg / m ^ 3} $$
Lewis-tallet beregnes ut fra termisk diffusivitet $ \ alpha = 2.2 \ times 10 ^ {- 5} $ og den binære diffusjonskoeffisienten $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air }} $ for diffusjon av vanndamp gjennom luft er gitt av en eksperimentell sammenheng (med $ p $ i $ \ mathrm {atm} $ ):
$ $ D _ {\ mathrm {H2O}, \ text {air}} = 1,87 \ ganger 10 ^ {- 10} \ frac {T ^ {2.072}} {p} = 1.87 \ ganger 10 ^ {- 10} \ frac { 298 ^ {2.072}} {1} = 2.5 \ ganger 10 ^ {- 5} $$
Lewis-tallet er derfor $ Le = \ frac {2.2} {2.5} = 0,88 $ . Massestrømningshastigheten fra overflaten er
$$ \ dot {m} = A_s \ frac {h (\ rho_ \ mathrm s – \ rho _ {\ infty })} {\ rho c_p Le ^ {2/3}} = 0,05 \ frac {100 \ ganger 0,012} {1,2 \ ganger 1000 \ ganger 0,88 ^ {2/3}} = 5,4 \ ganger 10 ^ {- 5} \ \ mathrm {kg / s} $$
Nå antar jeg at denne massestrømmen forblir konstant med tiden siden vannet er i termisk kvasi-likevekt med rommet (et stort temperaturreservoar), og forblir derfor ved konstant temperatur, og endrer dermed ikke vannets egenskaper.
Massebehandling på vannet gir
$$ \ frac {\ mathrm dm} {\ mathrm dt} = – \ dot {m} $$
Integrering, vi finner ut at tidsraten for masseendring er lineær:
$$ m (t) = m_0 – \ dot {m} t $$
For å fordampe fullt, $ m (t) = 0 $ og
$$ t = \ frac {m_0} {\ dot {m}} = \ frac {\ rho V} {\ dot {m}} = \ frac {1.2 \ times 0.2} {5.5 \ times 10 ^ {- 5}} = 4360 \ \ mathrm s = 1.2 \ \ mathrm h $$
Vannet tar 1,2 timer å fordampe helt.
1 time for fordampning virker ganske raskt, men jeg brukte en stor konveksjonskoeffisient fra begynnelsen. Noen tanker / spørsmål:
- Hva om det ikke var noen tvungen konveksjon fra en fan? Vi har ikke flytende naturlig konveksjon eller stråling siden vannet er i termisk likevekt med rommet. Hva er fordampningens natur i dette tilfellet, og hvordan kan vi beregne massetapet?
- Jeg antok at tap av fordamping er konstant gjennom tidene, siden vannet er i termisk likevekt med rommet (et stort reservoar) og ikke endrer temperatur. Er dette en god antagelse?
Kommentarer
- Jeg har ikke ' t sjekket aritmetikken din, men din tilnærming er riktig. Når det gjelder spørsmålet, hvis det absolutt ikke er noen konveksjon, da i verste fall vil du ha et rett diffusjonsproblem.Det vil bety at du vil ha konsentrasjonsoppbygging i luften som omgir koppens overflate, og omfanget av dette området vil øke med tiden, med 100% fuktighet på overflaten og 50% fuktighet langt fra overflaten.
- @ChetMiller Så det ville være som et semi-uendelig massediffusjonsproblem, med lignende styrende ligninger og løsninger på det semi-uendelige problemet med varmeoverføring? Massestrømmen vil da være tidsavhengig, riktig?
- Som en praktisk sak tror jeg det er ganske vanskelig å prøve å beregne fordampningshastigheten nøyaktig. Det er generelt et tynt, stillestående luftlag like over vannoverflaten som har en mye høyere relativ fuktighet enn RH i rommet, og det tynne laget er en viktig begrensningsfaktor for fordampningshastigheten. Tror ikke ' det ' er en enkel sak å nøyaktig beregne RH eller tykkelse på laget, eller hvordan disse to parametrene kan endres som en funksjon av mengden luftstrøm over overflaten. Fordampningshastigheten kan også være følsom for liten olje eller andre filmer på overflaten.
- Jada. Det må sannsynligvis løses numerisk med mindre du er villig til å tilnærme vannoverflaten som et lite sirkulært område innebygd i et uendelig plan under det halv-uendelige halvrommet. Jeg ' er sikker på at Carslaw og Jaeger har løsningen på dette analoge varmeoverføringsproblemet.
- @SamuelWeir Drew ' s løsning tar hensyn til konsentrasjonsgrenselaget over overflaten. Hans masseoverføringskoeffisient er lik diffusjonskoeffisienten delt på grenselagtykkelsen.