Tidligere har jeg teoretisk beregnet hastigheten til en bb, akselerert av lufttrykk, når den kommer ut av en fat. Kort sagt, jeg beregnet hastigheten min til å være omtrent 150m / s. Imidlertid ønsket jeg en mer realistisk hastighet. Jeg slo opp dragligningen og prøvde å bruke den for å få en mer realistisk hastighet, men jeg tror ikke svaret mitt er riktig. Dette er hva jeg brukte:
$ F_d = \ frac {1} {2} pv ^ 2C_DA $
$ p $ = væskemassetetthet (luft) = 1,23 kg / $ m ^ 3 $
$ v $ = strømningshastighet i forhold til fluid = 150m / s
$ C_D $ = drakoeffisient = .47 (for en sfære)
$ A $ = referanseområde = $ \ pi * (0,003m) ^ 2 $ = 2.827 * 10 $ ^ {- 5} m ^ 2 $ (tverrsnitt av en 6mm bb)
$ F_d $ = $ \ frac {1} {2} * \ frac {1.23Kg} {m ^ 3} * (\ frac {150m} {s}) ^ 2 * 2,87 * 10 ^ {- 5} m ^ 2 $
$ F_d $ = $ \ frac {.184 Kg * m} {s ^ 2} $ = $ .184N $
svaret mitt viste seg å være 0,18N kraft. Tatt i betraktning at kraften på bb fra lufttrykket er 14N, ville luftfriksjonen bare redusere bb mindre enn 1%. Er det noe jeg gjør galt fordi det ser ut til at en bb bremser betydelig med avstanden den går? Er det også noen måte å redegjøre for det økende ytre lufttrykket som skyver tilbake på bb når det komprimerer luften mens det akselererer gjennom løpet?
Kommentarer
Svar
Hvis vi idealiserer scenariet nok, er dette en enkel øvelse i differensiallikninger, så la oss komme i gang. Først vet vi at hastigheten initial er $ 150 \ text {m / s} $, men det er på ingen måte den endelige hastigheten – åpenbart bb bremser når den beveger seg gjennom luften! La oss anta at i det øyeblikket bb kommer ut av fatet, skyves det ikke lenger (som Steevan påpekte). Så, den eneste kraften som virker på det er luftmotstand. Så spørsmålet er, hvorfor bremser bb betydelig ned med tilbakelagt avstand – vi kan bestemme dette nøyaktig, forutsatt at modellen er riktig.
Nå er modellen du bruker (tilsynelatende) for luftmotstand gitt som
$$ F_d = \ frac {1} {2} pv ^ 2C_DA. $$
Vi vil se hvordan hastigheten endres som en funksjon av avstand! Men vi kjenner Newtons andre lov, så vi kan skrive at
$$ F = m \ frac {dv} {dt} = m \ frac {dv} {dx} \ frac {dx} {dt} = mv «v $$
hvor $ v $ nå er en funksjon av avstand (dette bruker kjederegelen – håper du er komfortabel med det!).
Nå kan vi skrive differensiallikningen vår:
$$ mv «v = – \ frac {1} {2} pv ^ 2 C_DA. $$
Merk – det er et negativt tegn der fordi kraften motsetter bevegelsesretningen. Det vil si kraft peker bakover, og partikkelen har en positiv (f eller fremover) hastighet. Forenkling får vi
$$ v «= – \ frac {1} {2m} pC_DAv. $$
Nå er dette en enkel differensialligning å løse: vi skiller variabler, dvs. $ \ frac {v «} {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA, $ og deretter gjør litt mer kjederegelmagi, ender vi opp med
$$ \ frac {dv } {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA \, dx. $$
Nå kan vi integrere begge sider og finne løsningen vår:
$$ \ int_ {v (0)} ^ {v (x)} \ frac {dv} {v} = – \ frac {1} {2m} pC_DA \ int_0 ^ x dx, $$ eller $$ v (x) = v ( 0) \ exp {\ left (- \ frac {1} {2m} pC_DA x \ right)}. $$ Til slutt kan vi koble til den opprinnelige tilstanden, at ved $ x = 0 $ er hastigheten $ 150 \ text {m / s} $:
$$ v (x) = (150 \ text {m / s}) \ exp {- \ left (\ frac {1} {2m} pC_DA x \ right $$
Til slutt, for et numerisk svar, vil du kanskje koble til de kjente konstantene dine. Dessverre, for dette må du vite massen av bb! For argumentets skyld, la oss anta en masse på $ 0,12 \ text {g} $, den vanligste massen for airsoft bbs, i henhold til Wiki – Airsoft Pellets a Så. Vi kan nå beregne hastigheten på bb når den beveger seg, vel vitende om at $ \ frac {1} {2} pC_D A = 0,00817 \ text {g / m} $!
Så nå vi har en funksjon for hastighet:
$$ v (x) = (150 \ text {m / s}) \ exp {(- 0.0681x)}. $$
For eksempel, for å finne avstanden hvor hastigheten synker med halvparten, vil vi løse
$$ 75 \ text {m / s} = (150 \ text {m / s}) \ exp {(- 0.0681x)}, $$
som gir en avstand på omtrent 10 meter.
Nå ser du hvorfor bb bremser betydelig med avstand – det er eksponentiell forfall, som har en tendens for å redusere mengden en stor mengde i begynnelsen, med redusert mengde over tid (eller i dette tilfellet avstand).
Svar
Du har en annen situasjon når bb er inne i fatet på bb-pistolen. Forutsatt at bb er tett inn i fatet (og det burde være), er det trykkluft som skyver det. Luften gjør ekspansjonsarbeid på bb mens den gjør det. På grunn av dette må du bruke det termodynamiske forholdet til prosessen som er involvert. Hvis du bruker et konstant volum høytrykksgass for å skyve bb ut av fatet, vil prosessen sannsynligvis være adiabatisk (ingen varmeoverføring) fordi det skjer så raskt. Hvis det er tilfelle, se følgende lenke: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/adiab.html
it seems that a bb slows down significantly with the distance it travelsJeg antar at du har noen data for å kunne si dette – Finn ut av disse dataene hva retardasjonen faktisk er, og sammenlign med kraften du fant. Kanskje det samsvarer med