Hvordan beregne høyden på et hcp gitter?

Vi skal prøve det ved å bruke likhetene mellom hcp og ccp. Her vet vi at $ hcp $ og $ ccp $ har lignende gitter bortsett fra det faktum at $ hcp $ er ABAB-type, mens $ ccp $ er ABCABC-type. Derfor vet vi også at pakkefraksjonen $ (\ phi) $ er den samme og $$ \ phi = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Nå som du nevnte Volum av hcp gitter $ = 6 \ sqrt {3} r ^ 2h $. Det er 6 atomer totalt i hcp. Derfor $$ \ frac {6 \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ pi r ^ 3} {6 \ sqrt {3} r ^ 2 h} = \ frac {\ pi} {3 \ sqrt {2}} $$ Forenklet dette får vi høyden på hcp gitter $$ h = 4r \ left (\ sqrt {\ frac {2} {3}} \ right) $$

Kommentarer

• Vi får at pakningsfraksjonen deres er lik etter å ha vurdert volum fra høyde osv. Svaret ditt fungerer bakover.

For å beregne høyden på en enhetscelle, bør du vurdere et tetraedrisk tomrom i et sekskantet lukket pakningsarrangement. Det kan tenkes som 3 faste kuler som berører hverandre, og i midtpunktet har du en annen sfære stablet over dem. En interaktiv versjon kan vises på dette nettstedet . Situasjonen ser slik ut:

Hvis du blir med i sentrum av disse fire kulene, vil du få en tetraeder. Det er egentlig en pyramide med en trekantet base. Jeg antar at hver kant av tetraeder vår er lik $ a $.

Nå har du en pyramide ($ ABCD $), med en liksidig base ($ \ Delta BCD $), jeg vil gjerne at du slipper en vinkelrett fra det høyeste punktet ($ A $) til den midtre ($ G $) trekantede basen. Hvis du følger meg riktig, vil du ha en figur som denne:

Alt vi trenger å gjør nå er å beregne lengden $ AG $. For dette, bruk bare den pythagoriske teoremet i $ \ Delta AGD $.

$$ \ begin {align *} AD ^ 2 & = AG ^ 2 + GD ^ 2 \ tag {1} \ end {align *} $$

Selv om vi vet at $ AD = a $, forblir siden $ GD $ ukjent. Men det er lett å beregne. Poenget $ G $ er midtpunktet til $ \ Delta BCD $. Dermed tilsvarer lengden $ GD $ $ a / \ sqrt {3} $. Når du plugger inn verdiene i vår første ligning, får vi $ AG = a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $. Men vær oppmerksom på at dette er halv høyden på enhetscellen vår. Dermed er den nødvendige høyden $ 2a \ sqrt {\ frac {2} {3}} $.

I den sekskantede nærmest pakkede strukturen, $ a = b = 2r $ og $ c = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ , der $ r $ er atomradiusen til atomet. Sidene av enhetscellen er vinkelrett på basen, og dermed $ \ alpha = \ beta = 90 ^ \ circ $ .

For et nærmeste -pakket struktur, atomene i hjørnene av basen til enhetscellen er i kontakt, og dermed $ a = b = 2 r $ . Høyden ( $ c $ ) til enhetscellen, som er mer utfordrende å beregne, er $ c = 2a \ sqrt {\ frac23} r = 4 \ sqrt {\ frac23} r $ .

La kanten av sekskantet base være $ a $

Og høyden på sekskanten er lik $ h $

Og sfærens radius er lik $ r $

Midtsfæren til det første laget ligger nøyaktig over tomrommet til 2. lag B.

Midtsfæren og kulene til 2. lag B er i kontakt

Så, i $ \ Delta PQR $ ( en likesidig trekant):

$ \ overline {PR} = 2r $ , Draw $ QS $ tangens ved punkter

$$ ∴ \ text {In} \ Delta QRS \ text {:} \ angle QRS = 30 ^ \ circ, \ overline {SR} = r $$

$$ \ cos30 ^ \ circ = \ frac {\ overline {SR}} {\ overline { QR}} $$

$$ \ overline {QR} = \ frac {r} {\ frac {\ sqrt {3}} { 2}} = \ frac {2r} {\ sqrt 3} $$

$$ ∴ \ overline {PQ} = \ sqrt {\ overline {PR} ^ 2 – \ overline {QR} ^ 2} = \ sqrt {4r ^ 2 – \ frac {4r ^ 2} {3}} $$

$$ h_1 = \ sqrt {\ frac {8r ^ 2} {3}} = 2 \ sqrt \ frac {2} {3} r $$

$$ ∴ h = 2h_1 = 4 \ sqrt {\ frac23} r $$

Derfor beregnes pakningseffektiviteten til hcp arr angement, blir høyden på enhetscellen tatt som $ 4r \ sqrt {\ frac {2} {3}} $ .

FRA

Kommentarer

• Hva betyr prikketrekanten?
• Hvorfor er vinkelen QRS 30 grader?