Spørsmålet mitt er hvordan jeg skal beregne type II-feil $ \ beta $?
-
Anta at jeg vil teste $ H_0: \ mu = 0 $ vs $ H_1: \ mu = 1 $ (Jeg må beregne type II-feil $ \ beta $, så jeg må fikse en $ \ mu $, si 1, i $ H_1 $).
-
Anta at fordelingen for $ H_0 $ er $ F_0 $, $ H_1 $ er $ F_1 $, hvor $ E [\ xi] = 0 $ hvis $ \ xi \ sim F_0 $, $ E [\ xi] = 1 $ hvis $ \ xi \ sim F_1 $.
-
Nå lager jeg en estimator for $ \ mu $, sier $ \ bar {X} _n $, og en teststatistikk $ S_n = \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n-0} {\ sigma} = \ frac {\ bar {X} _n} {\ sigma} $ (la oss anta $ \ sigma $ er kjent).
-
Nå oppretter jeg en avvisningsregel ($ H_0 $): $ S_n > b $.
-
Type II-feil beregnes som $ P_ {F_1} (S_n > b) $
Mine spørsmål er (vil bekrefte tre ting):
-
Ovennevnte konstruksjonslogikk er riktig, ikke sant?
-
Fordelingen i «$ P_ {F_1} (S_n > b) $» er $ F_1 $, ikke sant?
-
[mest bryr seg om] $ S_n $ i «$ P_ {F_1} (S_n > b) $» burde bruke $ F_0 $ for å beregne, ikke sant?
-
Jeg mener, uansett type I eller type II feil jeg beregner, må jeg alltid bruke $ F_0 $ for å beregne teststatistikken, ikke sant?
-
Jeg mener, $ S_n $ er alltid $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_0]} {\ sigma} $ i feilberegning av type I eller type II ation, men ikke $ \ frac {\ bar {X} _n-E [F_1]} {\ sigma} $ ved beregning av $ \ beta $, ikke sant?
-
Eller, dette burde ikke være et problem, fordi teststatistikk bare er en funksjon av eksemplet og ikke bør omfatte parametere?
-
Kommentarer
- Type II-feil er ikke å avvise nullhypotesen når den er falsk, dvs. $ H_1 $ er sant. Jeg tror du bør bruke $ F_1 $ for å beregne P, men ikke $ F_0 $ slik du har skrevet $ P_ {F_1} (S_n > b) $. Du kan også referere til effektberegning som er basert på $ H_1 $ parameter, og Type II $ \ beta $ = 1-power
- Takk! Du har rett. Jeg gjorde en feil. Det er $ P_ {F_1} (S_n \ le b) $ for type II-feilen.
Svar
Betegn $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = \ mu_0, \ sigma = \ sigma_0) $ være fordelingen under nullhypotesen og $ \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = \ mu_1, \ sigma = \ sigma_1) $ under $ H_1 $, så du har en teststatistikk $ X $ og du vil teste
$ H_0: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ versus $ H_1: X \ sim \ mathcal {F} ^ {(1)} (\ mu = 1, \ sigma = \ sigma_1) $
Slik du beskriver det, vil du utføre en ensidig test, og du definerer den kritiske regionen i høyre hale. Så etter at du har valgt et konfidensnivå $ \ alpha $, vil du bruke fordelingen $ \ mathcal {F} ^ {(0)} (\ mu = 0, \ sigma = \ sigma_0) $ for å finne kvantilverdien $ q_ {\ alpha} ^ {(0)} $ slik at $ P ^ {(0)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)}) = \ alpha $ (jeg antar kontinuerlige fordelinger). Superindeksen $ (0) $ indikerer at sannsynligheten måles under $ \ mathcal {F} ^ {(0)} $, så du trenger nullfordelingen $ \ mathcal { F} ^ {(0)} $ for å definere den kritiske regionen, dvs. kvantilen $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ .
Fra et utvalg kan du observere et utfall $ x $ for den tilfeldige variabelen $ X $, og null blir avvist når $ x \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $. Med andre ord vil testen din bestemme at $ H_1 \ textrm {bestemt som sant} \ iff x \ i [q _ {\ alpha} ^ {(0)}; + \ infty [$.
kraften til testen din er sannsynligheten for at $ H_1 $ blir bestemt som sant når $ H_1 $ er sant , så kraften er sannsynligheten for at $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ når $ H_1 $ er sant, dette er sannsynlighet for at $ X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ når den sanne fordelingen er $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ eller makten $ \ mathcal {P} $ er
$ \ mathcal {P} = P ^ {(1)} (X \ ge q _ {\ alpha} ^ {(0) }) $
Hvor superindeksen $ (1) $ indikerer at sannsynlighetene blir beregnet under $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $ Så effekten måles med $ \ mathcal {F} ^ {(1)} $, men du trenger verdien av $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $ som beregnes med $ \ mathcal {F} ^ { (0)} $.
Jeg brukte strømmen $ \ mathcal {P} $ og type II-feilen $ \ beta $ er $ \ beta = 1- \ mathcal {P} $.
I ditt tilfelle
Du har rett når du sier at «» Fordelingen i «$ P_ {F_1} (S_n > b ) $ «er $ F_1 $» «
For å finne $ b $ må du imidlertid bruke $ F_0 $. Faktisk er $ b $ den analoge av $ q _ {\ alpha} ^ {(0)} $