Hvis standard normal PDF er $$ f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- x ^ 2/2} $$
og CDF er $$ F (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ { -x ^ 2/2} \ mathrm {d} x \ ,, $$
hvordan blir dette til en feilfunksjon på $ z $?
Kommentarer
- johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf
- Jeg så dette, men det starter med ERF allerede definert.
- Vel, der ' en definisjon av erf og en definisjon av Normal CDF .. Forholdet, avledet av noen rutinemessige beregninger, er vist som til hvordan man konverterer mellom dem, og hvordan man konverterer mellom sine inverser.
- Beklager, jeg ser ikke ' mange detaljer. For eksempel er CDF fra -Inf til x. Så hvordan går ERF fra 0 til x?
- Er du kjent med beregningsteknikken for endring av variabel? Hvis ikke, lær hvordan du gjør det.
Svar
Fordi dette kommer ofte opp i noen systemer (for eksempel, Mathematica insisterer på å uttrykke Normal CDF i form av $ \ text {Erf} $), det er bra å ha en tråd som denne som dokumenterer forholdet.
Etter -definisjon er feilfunksjonen
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} { \ sqrt {\ pi}} \ int_0 ^ xe ^ {- t ^ 2} \ mathrm {d} t. $$
Skrive $ t ^ 2 = z ^ 2/2 $ innebærer $ t = z / \ sqrt {2} $ (fordi $ t $ ikke er negativ), hvorfra $ \ mathrm {d} t = \ mathrm {d} z / \ sqrt {2} $. Endepunktene $ t = 0 $ og $ t = x $ blir $ z = 0 $ og $ z = x \ sqrt {2} $. For å konvertere den resulterende integralen til noe som ser ut som en kumulativ distribusjonsfunksjon (CDF), må den uttrykkes i form av integraler som har nedre grenser på $ – \ infty $, dermed:
$$ \ text {Erf} (x) = \ frac {2} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int_0 ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z = 2 \ left (\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {x \ sqrt {2}} e ^ {- z ^ 2/2} \ m athrm {d} z – \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ 0 e ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z \ right). $ $
Disse integralene på høyre håndstørrelse er begge verdier for CDF for standard normalfordeling,
$$ \ Phi (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ xe ^ {- z ^ 2/2} \ mathrm {d} z. $$
Nærmere bestemt,
$ $ \ text {Erf} (x) = 2 (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ Phi (0)) = 2 \ left (\ Phi (x \ sqrt {2}) – \ frac {1} {2} \ right) = 2 \ Phi (x \ sqrt {2}) – 1. $$
Dette viser hvordan du uttrykker feilfunksjonen når det gjelder Normal CDF. Algebraisk manipulering av dette gir lett Normal CDF når det gjelder feilfunksjonen:
$$ \ Phi (x) = \ frac {1 + \ text {Erf} (x / \ sqrt {2}) } {2}. $$
Dette forholdet (uansett for reelle tall) vises i plott av de to funksjonene. Grafene er identiske kurver. Koordinatene til feilfunksjonen til venstre konverteres til koordinatene til $ \ Phi $ til høyre ved å multiplisere $ x $ koordinatene med $ \ sqrt {2} $, legge $ 1 $ til $ y $ koordinatene, og deretter dele $ y $ koordinatene med $ 2 $, som gjenspeiler forholdet
$$ \ Phi (x \ sqrt {2}) = \ frac {\ text {Erf} (x) + 1} {2} $$
der notasjonen eksplisitt viser disse tre operasjonene av multiplikasjon, tillegg og divisjon.
Kommentarer
- Jeg tror $$ \ Phi (x, \ mu, \ sigma) = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ text {Erf} \ left (\ frac {x- \ mu} {\ sigma \ sqrt {2}} \ right) \ right) $$ er riktig måte å relatere dem på, med tanke på gjennomsnittet og standardavviket.