Hvordan fungerer oppdrift?

Grunnide

Se for deg et dypt hav av vann. Tenk deg en kolonne av vannet som går fra overflaten og ned til en dybde $ d $. Den vannkolonnen har en vekt på $ W $. Derfor er det en nedadgående styrke på $ W $ på den vannkolonnen. Du vet imidlertid at vannsøylen ikke akselererer, så det må være en styrke oppover $ W $ som skyver på den kolonnen. Det eneste under kolonnen er mer vann. Derfor må vannet på dybden $ d $ skyve opp med kraft $ W $. Dette er essensen av oppdrift. La oss nå gjøre detaljer.

Detaljer

Vekten $ W $ for en kolonne med vann i tverrsnittsarealet $ A $ og høyden $ d $ er

$$ W (d) = A d \ rho _ {\ text {water}} $$

hvor $ \ rho _ {\ text {water}} $ er tettheten av vann. Dette betyr at vanntrykket på dybden $ d $ er

$$ P (d) = W (d) / A = d \ rho _ {\ text {water}}. $$

nta at du legger et objekt med tverrsnittsareal $ A $ og høyde $ h $ i vannet. Det er tre krefter på objektet:

1. $ W $: Objektet s egenvekt.
2. $ F _ {\ text {over}} $: Kraften til vannet over objektet.
3. $ F _ {\ text {under}} $: Kraften av vannet under objektet.

Anta at bunnen av objektet er på dybden $ d $. Så er toppen av objektet på dybden $ d-h $. Ved å bruke resultatene våre fra før, har vi

$$ F _ {\ text {under}} = P (d) A = d \ rho _ {\ text {water}} A $$

$$ F _ {\ text {over}} = P (dh) A = (dh) A \ rho _ {\ text {water}} $$

Hvis objektet er i likevekt, er det akselererer ikke, så alle kreftene må balansere:

$ \ begin {eqnarray} W + F _ {\ text {over}} & = & F _ {\ text {under}} \\ W + (dh) \ rho _ {\ text {water}} A & = & d \ rho _ {\ text {water}} A \\ W & = & h A \ rho _ {\ text {water}} \\ W & = & V \ rho _ {\ text {water}} \ end { eqnarray} $

hvor vi i siste linje definerte objektets volum som $ V \ equiv h A $. Dette sier at vilkåret for likevekt er at vekten til objektet må være lik dets volum ganger tettheten av vann. Med andre ord må objektet forskyve en mengde vann som har samme vekt som gjenstanden. den vanlige oppdrettsloven.

Fra denne beskrivelsen tror jeg at du kan utvide til tilfellet med luft i stedet for vann, og vannrett i stedet for vertikal trykkgradient.

Jeg tror at trykk som virker på den lettere tingets overflate har noe å gjøre med det, men det handler om den.

Dette er faktisk begynnelsen og slutten på HELE historien. Dette er i teorien alt du trenger å vite om oppdrift. La oss se hvordan denne påstanden utspiller seg, og hvordan den fører til andre kunnskapsbiter du har hentet om oppdrift.

Du kan bare forestille deg et gratis kroppsdiagram for den flytende / nedsenkede kroppen. De eneste kreftene på det er trykket, overalt normalt til kroppens overflate, og kroppens vekt.

Nettokraften på kroppen fra den omkringliggende væsken er da:

$ $ \ mathbf {F} = \ int_S \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S \ tag {1} $$

der vi oppsummerer trykkreftene $ p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ som virker på elementene i området $ \ mathrm {d} S $ i retning av enheten normal $ \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) $ som en funksjon av posisjon $ \ mathbf {r} $ over grensesnittflaten $ S $ mellom væsken og kroppen. Det er alt det er med det. Selvfølgelig er det vanskelig å se fra (1) alene hva som vil skje med en kropp gjennomsyret av væske, så la oss gå videre til mer praktiske svar.

Vi gjør et lite triks: det viser seg at du alltid kan anta for oppdriftsproblemer at overflaten $ S $ i (1) er en lukket grense av et volum (det er selv når du takler problemer som båter som ideelt sett er ikke helt nedsenket og den lukkede grensen ville ved første øyekast virke ubrukelig). Vi danner først det indre produktet av $ \ mathbf {F} $ med en vilkårlig enhetsvektor $ \ mathbf {\ hat {u}} $, og deretter, gitt den lukkede overflaten, kan vi bruke divergenssetning til (1) for volumet $ V $ innenfor den lukkede overflaten $ S = \ partial \, V $:

$$ \ langle \ mathbf {F}, \, \ mathbf {\ hat {u}} \ rangle = \ oint _ {\ partial V} \, p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ mathbf {\ hat {n}} (\ mathbf {r}) \, \ mathrm {d} S = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} \ cdot (p (\ mathbf {r}) \, \ mathbf {\ hat {u}}) \, \ mathrm {d} V = \ mathbf {\ hat {u}} \ cdot \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V $$

som, gitt enhetsvektoren $ \ mathbf {\ hat {u}} $, er vilkårlig, betyr:

$$ \ mathbf {F} = \ int_V \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) \, \ mathrm {d} V \ tag {2} $$

og vi skal forestille oss trykkfeltet $ p (\ mathbf {r}) $ at ville være til stede i væsken i overflaten hvis væsken ikke ble fortrengt av kroppen som tok opp volumet $ V $. Fra (2) kan vi umiddelbart se det andre stykket kn kunnskap som du har hørt om:

ballonger får sin «følelse av ned» fra et trykk differensial . [fet gruve]

det vil si at det er ingen netto flytende kraft på kroppen med mindre trykket $ p $ varierer fra sted til sted. Ellers er $ \ boldsymbol {\ nabla} (p (\ mathbf {r})) $ $ identisk intet.

Hvis du ikke er helt komfortabel med divergenssatsen, kan du tenke på og analysere en nedsenket kube. I en væske der trykket ikke varierer med posisjonen, blir kraften på hvert ansikt nøyaktig balansert av den motsatte kraften på det motsatte ansiktet. Et annet tilfelle som gir intuisjon er en kule i en væske med et konstant trykk overalt: kraften på et hvilket som helst punkt balanseres nøyaktig av motsatt kraft på det antipodale punktet. Argumentet for divergenssetningen lar deg bare slutte om generelle konklusjoner som dette du kan gjøre for symmetriske objekter.

La oss nå gå videre til et trykkfelt som vil bli vant til deg som dykker; tar $ \ mathbf {\ hat {z}} $ retningen ned, er trykkfeltet i en fortsatt væske som ligger på overflaten av en planet med radius mye større enn dybder vi trenger å vurdere er:

$$ p (\ mathbf {r}) = (p_0 + \ rho \, g \, z) \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {3} $$

hvor $ \ rho $ er væsketettheten, $ g $ gravitasjonsakselerasjonen og $ p_0 $ trykket ved $ z = 0 $. Hvis vi kobler dette til (2) får vi:

$$ \ mathbf {F } = \ rho \, g \, \ mathbf {\ hat {z}} \, \ int_V \, \ mathrm {d} V = \ rho \, g \, V_f \, \ mathbf {\ hat {z}} \ tag {4} $$

der $ V_f $ er volumet av fortrengt væske. Dette er selvfølgelig Archimedes «-prinsipp; den holder for væskeregioner som er små nok til at trykkvariasjonen er en lineær funksjon av posisjonen. Selv om det ser ut til å si «den fortrengte væsken skyver tilbake» så mange vage forklaringer på oppdriftstilstanden, men dette er tull. Den fordrevne væsken er ikke der: prinsippet er bare resultatene av å bruke matematiske triks for å oversette det grunnleggende prinsippet, som er nedfelt i teksten din som jeg siterte i første linje i dette svaret og i (1) og » fortrengt flytende tilbakeslag «bare en mnemonic for å huske prinsippet.

Ytterligere to kommentarer er i orden:

1. Merk deg for det første at svaret i (4) er uavhengig av $ p_0 $. Derfor, hvis kroppen ikke er helt nedsenket (som et arbeidsbåtskrog), så kan vi ganske enkelt ta krysset mellom volumet og væsken for å være volumet $ V $; krysset mellom væskens overflate og volumet begrenser deretter det reduserte volumet og kraftbidraget på toppflaten er da intet (siden vi vilkårlig kan sette $ p_0 = 0 $ uten å endre resultatene våre).
2. For det andre, igjen, hvis du er ukomfortabel med divergenssatsen, gjør analysen for en kube med kantene vertikale og horisontale som et klargjørende eksempel. Selv om trykkraften varierer på tvers av de vertikale overflatene, er trykkflatene på hver vertikale flate fortsatt nøyaktig motsatt av de på det motsatte flaten. Nettokraften er forskjellen mellom kraften på kubens bunn og toppflater, som ved (3) er kraften som er beregnet av Archimedes-prinsippet.

Som dykker vet du at trykket øker når du går dypere.

Se for deg en sylinder som holdes vertikalt under vann. Kraften på toppen av sylinderen er trykk ganger areal (per definisjon av trykk). På bunnen av sylinderen er området det samme, men kraften er større (dypere, mer trykk). Forskjellen mellom de to er oppdriftskraften.

Når du har et objekt med «hvilken som helst» form, kan du tenke på at det er laget av uendelig mange tynne sylindere (sugerør med ender lukket, hvis du vil ). Du kan nå gjenta beregningen for hver av disse. Det viser at dette holder selv når objektet er en morsom form.

Det skjer slik at forskjellen tilsvarer vekten av det fortrengte vannet – men det ovennevnte er mindre abstrakt, tror jeg.

Husk alltid sikkerhetsstopp!

Kommentarer

• Takk @floris! Ja, dette gir mening nå. Problemet jeg hadde var med luft, hvor jeg trodde det er en så liten trykkendring over et objekt at den ikke kunne ‘ ikke forårsake tilstrekkelig oppdrift. Men når jeg tenker i stedet for massen skyver på toppen, og massen skyver nederst (som du sier), virker det helt rimelig. Og selvfølgelig er det å skyve masse det som » trykk » er, så trykkgradientforklaringen må også være riktig. Takk 🙂

Vel, jeg har alltid tenkt på det som tyngdekraft på et ikke -tilvektstilstand.

Prøv å se på to forskjellige kuler hver på toppen av den andre som faller fra himmelen (i jordatmosfære). Hvis den lettere kulen er på toppen av den tyngre kulen, vil den lettere ballen skille seg fra den tyngre ballen. Hvis den tyngre ballen er på toppen av den lettere ballen, har vi to muligheter:

1. Likevektstilstand – Betydning at den tyngre ballen er direkte på toppen av den lettere ballen – Det vil ikke være krefter som akselererer ballen sidelengs – bare ned. Ballene faller som en.
2. Den tyngre ballen er litt sidelengs til den lettere ballen (de berører fortsatt). I dette tilfellet vil den tyngre ballen være rull sidelengs av den lettere ballen, og vil gå under den lettere ballen (akselererer raskere).

Prøv å forestille deg dette med millioner av baller som faller gjennom himmelen. Det er ganske logisk for de tyngre å gå under lyset ter ones, ikke det?

(Dette er egentlig ikke et «fysikk» -svar, det er mer bare et enkelt eksempel på det helt grunnleggende konseptet)

Kommentarer

• Begge ballene akselereres i samme hastighet. Hvorfor vil de skille seg?
• Dragkrefter vil redusere den lettere ballen

Trykk i sin enkleste forstand er bare en kraft som virker over et område. Se for deg alle partiklene i luften i bilen. Lufttrykket er virkelig et mål på den gjennomsnittlige kraften som disse partiklene skyver mot hverandre med. Når vi tar inn en heliumballong for å flyte i bilen, skyver luftpartiklene mot heliumpartiklene, og heliumpartiklene skyver tilbake på luftpartiklene.

Å komme inn i litt statisk konstruksjon her; Helium-atomene styrker alle forskjellige retninger, men siden de alle er inneholdt av ballongen og alle skyver med samme styrke, kan vi anta at disse kreftene alle avbryter hverandre, og de eneste kreftene som påvirker ballongen som en helhet er eksterne. På dette tidspunktet uten krefter som virker på den, kunne ballongen skyves fritt i hvilken som helst retning med i det vesentlige ingen kraft. Luften skyver den imidlertid ikke hvor som helst, fordi luften også skyver inn på ballongen fra alle retninger og derfor kansellerer seg også ut.

Nå beregnes kraft som Mass * akselerasjon (akaen bowling mot hodet kommer til å slå deg hardere enn en marmor som beveger seg i samme hastighet fordi den har mer masse og derfor mer kraft). Akselerasjon på molekylært nivå er direkte proporsjonal med temperaturen. Siden temperaturen på alle gassene i bilen er den samme, kan vi fjerne dette, og det eneste som påvirker hvor mye kraft partiklene skyver med, er massen av partiklene.

Å komme tilbake til bilen vår : Tyngdekraften trekker ned på alle partiklene i bilen med samme konstante akselerasjon, 9,8 m / s ^ 2. Luftpartiklene trekkes ned med en styrke lik massen * 9,8m / s ^ 2. Heliumpartiklene trekkes også med samme akselerasjon, men siden massen deres er så mye mindre enn oksygen, nitrogen og andre partikler i luften, er deres kraft som går ned, mye mindre, og de skyves opp igjen av jo mer kraftige luftpartikler. Dette er grunnen til at ballongen flyter.

Deretter begynner bilen å bevege seg. Etter treghetsloven (på gjenstand i hvile har en tendens til å holde seg i ro til den blir påvirket av en ytre kraft), selv om bilen begynner å bevege seg fremover, forblir gasspartiklene på plass. Se for deg en ball som flyter over dashbordet ditt som holder seg på dette absolutte stedet uansett hvordan du beveger deg. Trekk en fot fremover, og nå er den over midtkonsollen. Nok et par føtter og den sitter i baksetet ditt. Dette er nøyaktig hva som skjer med alle gasspartiklene i bilen. Nå har alle partiklene flyttet seg bak på kjøretøyet, og det er mye mindre foran. Siden det nå er flere luftpartikler bak ballongen for å presse mot den enn det er bak den, fjerner ikke kreftene hverandre lenger, og ballongen skyves fremover.

Forhåpentligvis hjelper dette å forklare det tydeligere. . Beklager at dette var ganske ordlyst, gi meg beskjed hvis det er behov for noe forklart bedre!

Kommentarer

• Litt skjelvene fysikk der inne … for eksempel en bowlingkule treffer hardere enn en marmor som beveger seg i samme hastighet fordi den bærer mer fart, og derfor stopper den en større endring i fart, noe som betyr at mer kraft ble brukt hvis stopping av begge skjer i samme tidsintervall. Omtrent halvparten av svaret er greit, og i store trekk er det ‘ mer eller mindre riktig, men det savner flere (viktige) detaljer.
• Det stemmer, det ‘ har vært en stund pluss å prøve å forenkle så mye som mulig. Rediger gjerne etter behov.