Hvordan kan jeg tegne den komplekse grafen på $ x ^ x $ i Mathematica?

Plot[{Re[x^x], Im[x^x]}, {x, -1, 2}] 

Her «er en visning som viser hvordan grafen begynner å spiral for negative $ x $ -verdier, hvis vi tar de komplekse verdiene i betraktning.

ParametricPlot3D[{x, Re[Exp[x*Log[x]]], Im[Exp[x*Log[x]]]}, {x, -4, 2}, PlotRange -> All, ViewVertical -> {0, 1, 0}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}] 

Faktisk, hvis vi skriver $ x ^ x = e ^ {x \ log (x)} $, er dette n genererer normalt at $ x ^ x = e ^ {x \ log (x) + 2i \ pi k} $; hver $ 2i \ pi k $ representerer en annen gren av den komplekse logaritmen. I denne sammenhengen ser vi at denne grafen bare danner en spiral av en familie av spiraler.

x2x[0.0, _] = x2x[0, _] = 1; x2x[x_, k_] := Exp[x (Log[x] + 2 I Pi k)]; Table[points3D[k] = Table[ z = x2x[x, k]; {x, Re[z], Im[z]}, {x, -4, 2, 0.005}], {k, -7, 7}]; Graphics3D[Table[{If[k == 0, Thick, Opacity[0.5]], Line[points3D[k]]}, {k, -4, 4}], Axes -> True, PlotRange -> {{-4, 2}, {-4, 4}, {-4, 4}}, BoxRatios -> {2, 1, 1}, ViewPoint -> {2, 2, 12}, ViewVertical -> {0, 1, 0}] 

I grunnleggende klasser ser du kanskje påstanden om at $ (p / q) ^ {p / q} $ er definert for $ p $ negativ og $ q $ odd og positiv. Dermed, inkludert disse punktene, kan grafen se ut slik:

points = Union[Cases[Table[Chop[points3D[k], 1/10], {k, -7, 7}], {_?Negative, _, 0}, {2}]]; Plot[x^x, {x, 0, 2}, PlotStyle -> Directive[Thick, Black], Epilog -> Point[Most /@ points], PlotRange -> {{-2, 2}, {-2, 4}}] 

Fra det komplekse perspektivet oppstår prikkene som flekker der en av spiraltrådene punkterer $ x $ – $ z $ -planet.

Kommentarer

• Jeg valgte yulinlinyu ' s som svar fordi det svarte på spørsmålet mitt direkte og kortfattet – men Mark Mcclure ' s svaret går utover – og er den virkelige juvelen i denne tråden!

Som yulinyu har påpekt ut, noe som følgende vil gi deg ønsket plot.

Plot[Through[{Re, Im}[x^x]], {x, -2, 2}, Evaluated -> True] 

Du kan også være interessert i dette utmerkede svaret av Simon Woods for å lage en graf over plottet over det komplekse domenet. Ved å bruke funksjonen og evaluere følgende, får du et pent bilde

domainPlot[#^# &] 

Kommentarer

• I et øyeblikk trodde jeg at jeg røykte …. men nei
• Trener du hypno-kreftene dine?

Du kan bruke det nye i M12-funksjoner ReImPlot og ComplexPlot for komplekse visualiseringer av en funksjon . Bruke ReImPlot :

ReImPlot[z^z, {z, -2, 2}] 

og ComplexPlot :

ComplexPlot[z^z, {z, - 3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

Også

ComplexPlot3D[z^z, {z, -3 - 3 I, 3 + 3 I}] 

gjør jobben i versjon 12.0.