Hvordan kan lydhastigheten øke med temperaturøkning?

Lydhastigheten er gitt av:

$$ v = \ sqrt { \ gamma \ frac {P} {\ rho}} \ tag {1} $$

der $ P $ er trykk og $ \ rho $ er gassens tetthet. $ \ gamma $ er en konstant kalt adiabatic index . Denne ligningen ble først utviklet av Newton og deretter modifisert av Laplace ved å introdusere $ \ gamma $ .

Ligningen skulle være intuitiv fornuftig. Tettheten er et mål på hvor tung gassen er, og tunge ting svinger langsommere. Trykket er et mål på hvor stiv gassen er, og stive ting svinger raskere.

La oss nå vurdere effekten av temperaturen. Når du varmer opp gassen, må du bestemme om du kommer til å holde volumet konstant og la trykket stige, eller holde trykket konstant og la volumet stige, eller noe i mellom. La oss se på mulighetene.

Anta at vi holder volumet konstant, i i så fall vil trykket øke når vi varmer opp gassen. Det betyr at i ligning (1) øker $ P $ mens $ \ rho $ holder seg konstant, så hastigheten av lyden går opp. Lydens hastighet øker fordi vi effektivt gjør gassen stivere.

Anta at vi holder trykket konstant og lar gassen utvide seg når den varmes opp. Det betyr at i ligning (1) $ \ rho $ avtar mens $ P $ holder seg konstant og igjen hastigheten av lyd øker. Lydens hastighet øker fordi vi «gjør gassen lettere slik at den pendler raskere.

Og hvis vi tar et midtløp og lar trykket og volumet øke, så $ P $ øker og $ \ rho $ avtar og igjen øker lydens hastighet.

Så hva vi gjør øker temperaturen lydens hastighet, men det gjør det på forskjellige måter, avhengig av hvordan vi lar gassen utvide seg mens den varmes opp.

Akkurat som en fotnote, overholder en ideell gass ligningen av tilstand:

$$ PV = nRT \ tag {2} $$

der $ n $ er antall mol gass. (Molar) tetthet $ \ rho $ er bare antall mol per volumsenhet, $ \ rho = n / V $ , som betyr $ n = \ rho V $ . Hvis vi erstatter $ n $ i ligning (2) får vi:

$$ PV = \ rho VRT $$

som omorganiseres til:

$$ \ frac {P} {\ rho} = RT $$

Bytt ut dette i ligning (1), og vi får:

$$ v = \ sqrt {\ gamma RT} $$

så:

$$ v \ propto \ sqrt {T} $$

som er der vi kom inn. Imidlertid skjuler ligningen det som egentlig skjer, derav din forvirring.

Eksperimentelt er proporsjonalitetskonstanten for ligningen ovenfor ca. . 20.

Kommentarer

• Ville bare gi deg beskjed om at svaret ditt fremdeles hjelper folk 6 år senere … Jeg ‘ har brukt omtrent en time på å finne en intuitiv forklaring på denne formelen, og du ‘ har oppsummert alt veldig bra i noen få setninger 🙂

Flott spørsmål. Det korte svaret er at intuisjonen din (om tette ting som har raskere lydhastigheter) sannsynligvis er påvirket av forskjellige materialer ved samme temperatur og er plettet av faste stoffer, når problemet her egentlig handler om gasser, som er forskjellige.

La oss se på noen data:

Luften er sparsom og har en lav lydhastighet på 760 km / t. De tyngre tingene som kobber er tette og har en raskere lydhastighet.Stål har en lydhastighet på 10.000 mph !

Så intuisjonen din er ikke så ille, ikke sant?

Hva med kald luft kontra varm luft? Den kalde luften er tettere, men har lavere lydhastighet! Her er hvor vi kan se ditt nydelige paradoks.

Det viser seg at frastøt på grunn av eksterne kompresjonsbølger (det du kalte mekaniske bølger) i et fast stoff som et metall er skapt av forskjellige mekanismer enn en komprimerbar gass. En trykkbølge i et fast stoff komprimerer relativt stasjonære ioner i et gitter. Gitteret er veldig sterkt, og atomene beveger seg ikke, men de kan vibrere. Hvis du klemmer litt stål, komprimerer du dette gitteret litt, men den elektriske feltens funksjonelle avhengighet i dette gitteret er ganske kompleks. til spørsmålet her, er et forhåpentligvis åpenbart resultat at avhengigheten av temperatur ikke vil være for sterk, siden kraft (avstand) -funksjonen bestemmer hvor raskt en forstyrrelse beveger seg gjennom gitteret og energien du gir til atomene i gitteret vunnet «t endrer mye gitter-avstand-kraft-kurveforholdet av interesse her.

En gass er et mye annet dyr ved at det bare er en haug med uavhengige partikler som flyr rundt. Her er lydhastigheten , i utgangspunktet, et vektet gjennomsnitt av de raskere gassmolekylene som selvfølgelig beveger seg med kvadratroten til energien / temperaturen.

Sammenlignet med et fast stoff, spørsmålet om hva som er lydhastigheten i en gass er helt trivielt. Les th er eller dette eller for å få et inntrykk av hvor mye mer komplekse faste stoffer er. Hvis jeg ga fysikere bare atomegenskapene (ikke ting som bulkmodulen) til et fast stoff som kobber og også av en gass som O $ _ \ rm 2 $, ville de bare kunne beregne, i det minste med en enkel kalkulator, lydhastigheten i O $ _ \ rm 2 $.

En rask måte å fikse din intuisjon på er å merke lydens hastighet i et fast stoff med absolutt null kontra en gass. Bare sistnevnte er null. Faktisk er det derfor gasser ikke kan eksistere nær absolutt null. Molekylene i en kald nok gass har ikke engang nok energi til å komme vekk fra hverandre, så de må være væske eller faste i stedet.

Forhåpentligvis ser du nå at dine tidligere erfaringer egentlig bare gjaldt. for forskjellige materialer, ikke for individuelle materialer som en funksjon av temperatur.

Lydbølger forplanter seg gjennom et medium som et resultat av kollisjoner mellom molekyler. Ved høyere temperaturer har molekyler større kinetisk energi, og når de beveger seg raskere, oppstår kollisjonene med større frekvens og de fører lydbølger raskere. Større kinetisk energi = mindre treghet = økt hastighet.

Ettersom lydbølger er kompresjonsbølger som beveger seg gjennom et komprimerbart medium, avhenger deres hastighet ikke bare av tregheten til mediet, men også av dets elastisitet.

Generelt, jo nærmere hverandre molekylene er, desto raskere vil de bære lydbølger. Selv om avstanden mellom molekyler har en tendens til å øke når et medium er oppvarmet, er dette relativt mindre viktig for lydhastigheten i et gitt medium enn den raskere bevegelsen av molekylene.

Jo høyere temp. innebærer høyere hastighet for molekylet, så det kolliderer med neste molekyl på en raskere tid, selv om de er langt borte fra hvert. derimot, lavere temp. betyr mindre hastighet og slik at den også kan kollidere med sin nære nabo på lengre tid. merci!

Vi vet at temperatur og kinetisk energi er direkte proporsjonal. Når temperaturen økes, øker den kinetiske energien til luftmolekyler, og molekylene beveger seg raskere. På grunn av hvilken lydutbredelse gjøres raskt, øker hastigheten.