Hvordan lager man “ gode ” matteproblemer?

Siden spørsmålet ditt er veldig bredt, er det et noe bredt svar: Les om problemstilling.

Tre nøkkelstykker er:

Silver, EA (1994). Om matematisk problemstilling. For læring av matematikk, 14 (1), 19-28.

og boka

Brown, SI, & Walter, MI (2005). Kunsten å stille med problemer . Psychology Press.

Sistnevnte er en omtrykk av en bok som først kom ut i 1983. Du kan også finne en relatert bok redigert av Brown og Walter; en sitering for den siste versjonen er:

Brown, SI, & Walter, MI (red. ). (2014). Problemstilling: Refleksjoner og applikasjoner . Psychology Press.

Start med disse tre dokumentene, referanser, og (søker på google scholar) andre artikler og sitater.

For å skissere veldig grovt forslag fra Brown og Walter: Start med et matematisk scenario, list antagelser, varier begrensninger (i deres termer: » Hva-hvis not-ing «), og deretter stille spørsmål. Du kan til og med » sykle » gjennom denne prosessen gjentatte ganger for å produsere problemer med økende kompleksitet.

Selvfølgelig fører problemstilling med seg faren for ikke å vite svaret på det du spør.

For eksempel , ditt startscenario kan bruke Pythagoras teorem:

Finn alle heltalløsninger for $ x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2 $ .

Dette spesifikke eksemplet er utforsket i Brown og Walters bok, men det virker for meg som en rimelig antagelse om at eksponenten overalt er $ 2 $ , og å be om heltalløsninger når eksponenten er $ 3 $ .. .. eller, hvis man føler seg spesielt dristig, å generalisere og be om eksponent $ k \ geq 3 $ .

På et øyeblikk kan dette virke som et rimelig spørsmål; men hvis du er kjent med Fermats siste setning, vil du innse at dette ikke er et passende problem for de fleste studenter.

Du kan finne noen av mine korte kommentarer om problemstilling og kreativitet delvis $ 4b $ her , og et par andre eksempler om problemstilling og intuisjon i konkret eksempel seksjon her .

En siste merknad: Du begynner med å nevne » essensielt » rolle problemet løser for å forbedre vår forståelse av matematikk. Det kan være verdt å merke seg at problemet posering spiller en viktig rolle i løse; vurder Polyas liste over heuristikker og hvor mange av dem er spørsmål: Hva er et problem? Hva er et enklere problem? Hvordan kan jeg generalisere dette problemet? Etc. (historisk, både Silver, i det første stykket sitert ovenfor, og Kilpatrick, på problemformulering , sporer denne observasjonen, dvs. at problemstilling er en integrert del av problemløsing, i det minste tilbake til en oppgave fra 1945 av Karl Duncker.)

Som Cantor (1867) skrev i sin doktoravhandling:

“In re mathematica ars proponendi pluris facienda est quam solvendi ”

(“ I matematikk er kunsten å stille spørsmål mer verdifull enn å løse problemer ”).

Kommentarer

• Mens jeg ‘ en fan av P ó lya ‘ s bok, jeg frykter at den har antagelsen om at du får alle nødvendige data, og bare nødvendige data, for mye innebygd . » Ekte verden » problemer handler i stor grad om å finne ut hva som er relevant og hva som ikke er ‘ t, og samle missin g data.
• @vonbrand I tillegg til å se på noen av Polya ‘ s påfølgende bøker (post- Hvordan løse det ) I ‘ d foreslår, for » virkelige verden » problemer, og undersøker litteraturen om matematisk modellering. Skjæringspunktet mellom matematikkmodellering og matematikkopplæring kan fremdeles kjemmes ganske fullt; start med Pollak ‘ s arbeid (relevant: matheducators.stackexchange.com/a/1344/262 ) og flytt ut til sitatene …

For meg er det kanskje tre hovedtyper av problemer som jeg tilordne:

1. Rutinemessig ferdighetsbygging : enten er modellert på en beregning som jeg har vist lignende problemer løst, eller er et bevisproblem som bare er en naturlig konsekvens av definisjon med lite ekstra teknikk som kreves. For et prøvekurs er mange problemer lite mer enn en invitasjon til å bry seg om hva notasjonen egentlig betyr.
2. Breddeoppdagelse : i hvert kurs er det visse emner som vi ikke har nok tid til foredrag. Det er en veldig givende opplevelse for studenter å bli ledet gjennom en kort modul med problemer der de oppdager de essensielle egenskapene til et emne som ikke blir dekket i dybden av forelesning og annet materiale.
3. Utfordring : her er det ingen skinner, ingen boks, ingen forventning noen i løpet løser det. Noen ganger brukes disse for å vise begrensningene til en nåværende familie av teknikker for å løse problemer, noen ganger involverer de litt uklar intuisjon som styrer et kreativt sprang. / eller tildele passer inn i enten 1 eller 2, men studenter anklager meg ofte for 3. Ærlig talt, en av grunnene til at jeg prøver å surfe mye på MSE er å vurdere hva som er dekket i kursene mine på andre universiteter. Også den internasjonale smaken av MSE hjelper meg å få et tverrsnitt av hva som skjer på skoler over hele verden.
   

   Kommentarer

   • Du utelater hele tiden favoritt-triks-spørsmålet, hvor du må komme med en Rube-Goldbergian vri for å ha noen håper på å løse problemet. Mange her borte blir beskyldt for å begå gåter, ikke eksamener …
   • @vonbrand vel, det vil trolig falle under utfordring. Ofte begynner slike problemer med et svar, noe mørk magi som involverer serier oppstår, og så blir studenten bedt om å se et mønster … ha ha ha … ondskap.

To forslag:

1) Delta på workshops og konferanser og oppsøk problemløsingsøkter eller presentatører som deler sine «favorittproblemer.»Når problemene og løsningene blir diskutert, vises unike metoder og tilnærminger.

2) Bygg et bibliotek og gi deg tid til å lese. Samle bøker, pdfs og kilder. En lærebok som ikke passer for studentene kan være en stor kilde til problemer. (Bruk Amazon og eBay for å få brukte versjoner som er mye billigere.) Endre lærebokversjonen etter behov. Kreativitet i å skape problemer kommer fra å bla gjennom kilder.

Kommentarer

• Sjekk ut matematiske olympiadesider. Se etter forelesningsnotater, (løste) eksamener, lekser, … ‘ nettet vrimler av den typen av ting.

Du spesifiserte ikke et spesifikt nivå, men jeg tror spørsmålet ditt har fortjeneste i alle fall. Jeg tar det på K-8 nivå. Først vil jeg ta opp ditt spesifikke krav:

Med «god» mener jeg tankevekkende, inspirerende problemer med løsninger som kan utvides til andre domener.

Jeg vil tolke «inspirerende» slik at studentene vil ha en motivasjon til å engasjere seg i problemets matematikk. For «tankevekkende» vil jeg anta at du mener at problemene har stor sannsynlighet for at studentene må delta i produktive matematiske resonnementer. Dette er viktige kjennetegn ved gode undersøkelser i en læreplan. Det vil si at en god læreplan burde inneholde aktiviteter og undersøkelser som tilfredsstiller disse.

Jeg spurte en gang den velkjente læreplanutvikleren av høy kvalitet hvordan hun visste at læreplanproblemene sine passet til kravene til « realistisk matematikkopplæring «(som var tilnærmingen som inspirerte hennes læreplan. Hun svarte at de måtte prøve hver aktivitet med ekte studenter mange ganger i forsknings- og utviklingsprosessen. Mens de første utkastene kan ha vært basert på teori, i realiteten ble den ferdige læreplanen testet tungt.

Finn og saml derfor opp problemer utviklet av gode læreplandesignere. Bygg om nødvendig ditt eget bibliotek med slike problemer.

Et siste notat: du foreslo at du ønsket problemer hvis løsninger kunne utvides til andre domener. Jeg foreslår at du er forsiktig med denne typen antagelse når du leter etter problemer. Hva de kommer til å forstå i prosessen med å stille problem og løsning kan hjelpe dem med å danne konn seksjoner mellom sammenhenger. Imidlertid kan det være vanskelig å støtte forestillingen om «domeneoverførbare løsninger» i god matematikkopplæring. Fokuser mer på hva slags matematisk resonnement elevene vil få muligheten og ressursene til å engasjere seg i.