Anta at vi har Hamiltonian på $ \ mathbb {C} ^ 2 $ $$ H = \ hbar (W + \ sqrt2 (A ^ {\ dolk} + A)) $$ Vi vet også $ AA ^ {\ dolk} = A ^ {\ dolk} A-1 $ og $ A ^ 2 = 0 $, la $ W = A ^ {\ dagger} A $
Hvordan kan vi uttrykke $ H $ som $ H = \ hbar \ Big (\ begin {matrix} 0 & \ sqrt2 \ \ \ sqrt2 & 1 \ end {matrix} \ Big) $
Så langt har jeg vist at hvis vi vurderer egenverdiene på $ W $, $ $ W | \ psi \ rangle = w | \ psi \ rangle $$ Det antyder at $ A | \ psi \ rangle $ og $ A ^ {\ dolk} | \ psi \ rangle $ også er egenvektorer på $ W $ med egenverdi $ 1-w $. Ved å bruke $ A ^ 2 = 0 $ finner vi at $ w = 0 $ eller $ 1 $
Jeg er ikke helt sikker på hvordan du går frem for å uttrykke operatører som matriser, som flertallet av kurset mitt har brukt bølgefunksjonsnotasjon, jeg setter stor pris på om noen kunne forklare de neste trinnene her bare slik at jeg kan få en mer grundig forståelse av det.
Kommentarer
- Kan du løse for A, fra de 2 ligningene du skrev? anta generelle komplekse tall a, b, c, d som matriseverdiene til A. Jeg mistenker at dette kan fungere.
Svar
Som @MichaelBrown har påpekt i svaret, for å få matriseelementet, trenger du bare å sandwich operatøren mellom to stater. Så når det gjelder din Hamiltonian $ H $, blir matriseelementene gitt som $$ H_ {ij} = \ langle i | H | j \ rangle $$
Jeg bør påpeke at $ i $ «s du bruker skal være grunnlaget du er i. Hvis du har en tilstand $ \ psi $, så hvis $$ | \ psi \ rangle = \ sum_ {i} c_i | i \ rangle $$ bare enn kan du uttrykke matriseelementene til operatøren din på denne måten. Hvis du klemmer operatøren mellom selve staten, vil du ende opp med forventningen om staten. $$ \ langle H \ rangle = \ langle \ psi | H | \ psi \ rangle $$
Kommentarer
- Takk for at du tok deg tid til å svare, men som jeg sa til MichaelBrown, hvordan kan jeg bruke dette på denne situasjonen? Der alt jeg vet er to egenvektorer og deres tilsvarende egenverdier.
Svar
Matriseelementet $ O_ {ij} $ til en operatør er definert av $ $ O_ {ij} = \ langle i | \ hat {O} | j \ rangle, $$ og det er tradisjonelt at $ i $ indeksen markerer raden og $ j $ merker kolonnen. På denne måten fungerer matrisemultiplikasjon som du forventer: $$ (OP) _ {ij} = \ sum_k O_ {ik} P_ {kj}, $$ som du kan vise ved å sette inn et komplett sett med tilstander.
Kommentarer
- Takk for svaret, men hvordan kan jeg bruke dette på denne situasjonen? Hvor alt jeg vet er to egenvektorer og deres tilsvarende egenverdier.