Hvorfor bruker formlene for planck ' s enheter h i stedet for hbar?

answer.com-siden du nevnte bruker følgende formel: $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {Gh} {2 \ pi c ^ 3}} $$ Vær oppmerksom på at det er $ 2 \ pi $ faktoren i nevneren – så $ h / 2 \ pi $ kan forenkles som vanlig $ \ hbar $. De var sannsynligvis ikke i stand til å skrive dette tegnet, eller ønsket å unngå terminologi og symboler som bare er kjent for fysikere. Men det er ingen tallfeil på svaret.com-siden. I alle fall tilsvarer definisjonen ovenfor $$ L_ {Planck} = \ sqrt {\ frac {G \ hbar} {c ^ 3}} $$ som er den vanlige «ikke-reduserte» Planck-lengden. Se Wikipedia for samme formel:

http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_length

Tallmessig er det $ 1,6 \ ganger 10 ^ {- 35} $ meter. (Oppdatering: Oxford Dictionary of English har feil formel – de utelatt $ 2 \ pi $ og glemte å krysse $ h $ også. Men de betyr tydeligvis samme Planck-lengde.) Noen ganger bruker folk også den «reduserte» Planck. lengde som er mer fancy og «profesjonell» på en måte: $$ L_ {Planck, redusert} = \ sqrt {\ frac {8 \ pi G \ hbar} {c ^ 3}} $$ Vær oppmerksom på at $ 8 \ pi $ i telleren kan også slås sammen med $ \ hbar $ for å få $ 4h $ tilbake – så den reduserte Planck-lengden er to ganger (på grunn av kvadratroten) feil Planck-lengde som du ville fått ved å bruke $ h $ i stedet for $ \ hbar $. Men hva er den virkelige grunnen til at $ 8 \ pi $ ble lagt til der?

Årsaken til at $ 8 \ pi G $ vises i stedet for $ G $ er fordi $ 8 \ pi G $ i noen forstand er mer naturlig en konstant enn $ G $: denne diskusjonen er analog med behandlingen av $ 4 \ pi $ i elektrodynamikk. Den konstante $ 8 \ pi G $ er naturlig fordi Einstein-Hilbert-handlingen er $$ S_ {EH} = \ int d ^ D x \ frac {1} {16 \ pi G} R \ sqrt {-g} $$ The den mest naturlige koeffisienten ville være $ 1/2 $ i stedet for $ 1/16 \ pi G $, noe som gjør det naturlig å sette $ 8 \ pi G = 1 $. Den reduserte Planck-lengden er noe lengre (fem ganger eller så) – mindre ekstremt liten. Enda oftere snakker partikkelfysikere om henholdsvis Planck-energien og den reduserte Planck-energien som er nær $ 10 ^ {19} $ og $ 10 ^ {18} $ GeV.

Konvensjonen for den konstante $ G $ ble opprinnelig valgt av Newton som ønsket å skrive gravitasjonskraften som $ GMm / r ^ 2 $. Vel, det ville være mer naturlig å ha faktoren $ 4 \ pi $ eller $ 8 \ pi $ i nevneren, $ \ Gamma Mm / 8 \ pi r ^ 2 $. Du kan se at $ \ Gamma $ bare er $ \ Gamma = 8 \ pi G $, og det ville være naturlig å sette $ \ Gamma $ lik en.

Jeg håper at jeg ikke har for å forklare hvorfor $ \ hbar $ er mer naturlig enn $ h $ for voksne fysikere. «Laymen» -versjonene av formlene kan være enklere med $ h $ – men de tar for seg bølgelengde osv. Voksne fysikere vet at sinusens bølgelengde er proporsjonal med $ 2 \ pi $. Og de mest grunnleggende ligningene, slik som Schrödingers ligning eller kommutatorene til $ [x, p] $, tar en enklere form når det gjelder $ \ hbar $ enn $ h $, av kurs.

Tilbake til $ G $: folk måtte velge konvensjonen hvordan de skulle normalisere $ G $ i høyere dimensjoner. Den vanlige konvensjonen, som implisitt brukt ovenfor, er at Einstein-Hilbert-handlingen alltid har koeffisienten $ 1/16 \ pi G $. Det innebærer at kraften ikke vil være $ GMm / r ^ {D-2} $ i $ D $ romtimedimensjoner, men den vil ha noen $ D $ -avhengige numeriske koeffisienter.

Best ønsker Lubos

Kommentarer

• Tusen takk Lubos! Jeg forstår at det skal være den reduserte Planck ' s konstant der på en eller annen måte (med hbar eller med h over 2 pi).Imidlertid ser jeg et avvik mellom Wikipedia ' s ligning og Oxford dict ' s ligning, da jeg ' har oppdatert spørsmålet som skal vises.
• Takk for oppdateringen, feil brukernavn. Oxford Dictionary har en feil – de glemte å kutte $ h $, enten på grunn av utilstrekkelige skrifttyper eller inkompetente forfattere haha.