Hvorfor er det tolv notater i en oktav?

Dette spørsmålet på math.se er ganske likt det du spør og svarene gir mange detaljer:

Matematisk forskjell mellom hvite og sorte toner i et piano?

Det som skjer her er et veldig praktisk matematisk tilfeldighet: flere av kreftene til 2 ^ (1/12) er tilfeldigvis gode tilnærminger til forhold på små heltall, og det er nok av disse til å spille vestlig musikk.

Kommentarer

• Jeg tenker mer grunnleggende, (3/2) ^ 12 (129.75) er nær en kraft på to (128). Dermed har femtedeler på en 12-tone like temperert skala et forhold på 1,498: 1 (ideelt ville være 1,5: 1), som er nærmere perfekt enn for noe annet rimelig antall notater.
• Jeg ‘ har lest diskusjoner om 19-TET (19-tone like temperament) der en diatonisk skala vil ha fem » stor » intervaller på 3/19 oktav og to » små » intervaller på 2/19 oktav. En slik skala ville være mottakelig for normal musikknotasjon hvis man f.eks. C # og Db er 1/3 trinn fra hverandre. Den største underligheten ville være at nøkkelunderskrifter med opptil ni skarper eller leiligheter ville være forskjellige (i stedet for å ha C # / Db, F # / Gb og B / Cb som par lyd-like nøkkelunderskrifter).
• Jeg tror dette sitatet ikke gjelder eller forklarer spørsmålet. Det er ikke tilfeldig her. Det er ved konstruksjon.
• @ggcg At n-tonens like tempererte skala består av frekvensforhold på 2 ^ (j / n) for heltallverdier av j er av konstruksjon. At 2 ^ (7/12) og 2 ^ (5/12) er gode tilnærminger til 3/2 og 4/3, og at det ikke er like gode tilnærminger av disse forholdene i 11- eller 13-tone like temperament er en faktum. Og ikke en tilfeldighet – den er relatert til den fortsatte brøkdelen av base-2-logaritmen på 3. At 2 ^ (4/12) er en anstendig tilnærming til 5/4, er imidlertid en tilfeldighet så vidt jeg kan se. Spesielle egenskaper til tallet 12 er det som gjør at 12-tone like temperament fungerer rimelig bra.

To punkter som kanskje ikke er fullstendig besvart.

• Hvorfor er C-dur referanseskalaen for naturlige toner?

  Anglo-saxon-notasjonen tilslører historien litt. Tradisjon fra kirkemusikk førte i Italia (den gang kort tid etter Frankrike og Spania) til å navngi notene til referansens hovedskala etter konvensjonelle stavelser: Ut Re Mi Fa Sol La Si (dette tilsvarer CDEFGAB ) kommer fra latinske tekster fra et veldig kjent stykke av den tiden. Sistnevnte enkeltbokstav -notasjon tar et annet utgangspunkt, men referansekarakteren til C-durskalaen har vedvaret over Occidental-land, selv om du kan finne bevis på notasjoner og tastaturer som bruker andre notater som referanse. En av hovedpåvirkningene har vært konstruksjonen av keyboardinstrumenter (spesielt kirkeorgelet). Det nåværende tastaturoppsettet er et kompromiss mellom den typiske bredden på hendene, mens du spiller Ut (nå mest kalt Do eller C ) hovedskala lett og ha tilgang til alle halvtoner og noen få andre ting. Andre design har ikke vært like vellykkede.

  Du må også vite at teoriseringen og standardiseringen av musikk i det minste fram til 1800-tallet ble gjort under beskyttelsen av kirkene (ortodokse, katolske, reformerte, …) og presset på for enhetlighet. Det nittende århundre har sett en enda større standardisering og internasjonalisering av tuning, musikkundervisning og pianostyring som referanse- og komposisjonsinstrument. De siste tre århundrene har gradvis undertrykt eller glemt de fleste av de forskjellige tradisjonene (når det gjelder skalaer, moduser, innstilling) i Europa.I dag læres folk som lærer om musikk som et bevis på C-durskalaen som grunnlag for musikkteori og mindre skala og hans varianter blir ikke alltid behandlet rettferdig.

• Hvorfor er det er en semitone mellom E & F og B & C og ikke andre steder?

  Det er flere skalaer / moduser utenfor hovedskalaen, med et varierende antall noter, der halvtonene ikke plasseres mellom 3. og 4. tone og mellom 7. og 8. tone. De tre mindre skalaene (harmonisk, stigende, synkende) for eksempel, men også dorian , phrygian , kan du lese en leksikonartikkel om dem.

Kommentarer

• Faktisk er det bare ut gjennom la som kommer direkte fra salmen, som bare spenner fra C til A, men det var greit siden systemet som brukte disse stavelsene, besto av overlappende seks-tone skalaer kalt hexachords; disse stavelsene ble brukt sammen med bokstavnavnene på skalaen på syv notater som ser ut til å ha gått foran dem. Ut ble brukt på F, C eller G. Si ble lagt til senere da hexachord-systemet brøt sammen og stavelsene ble brukt på skalaen med syv notater. Den store skalaen eksisterte egentlig ikke på den tiden, siden det bare var fire autentiske moduser og deres plagale kolleger.

En femtedel er det minste konsonantintervallet som ikke er oktav, med et frekvensforhold på 3: 2. Hvis du begynner å stable rene femtedeler, er det første resultatet som er rimelig nær stablede oktaver (2: 1), 12 femtedeler, noe som viser seg å være 531441: 4096 i motsetning til 128: 1 for 7 oktaver. Det er så nært du kan komme for et rimelig antall toner per oktav. Så hvis du leter etter en tonalitet bygget av stablede oktaver og nesten perfekte femtedeler, vil en tolvtonedeling være omtrent det du kommer til .

Dette tjener tilfeldigvis også noen få andre intervaller (for eksempel store og mindre tredjedeler), men verre enn femtedeler. «middel tone temperament» prøver å få et antall store tredjedeler rene på bekostning av å gjøre flere andre intervaller, så vel som noen tredjedeler høres dårligere ut, og «vel temperert tuning» får flere rene femtedeler og noen fine tredjedeler i bytte mot noen mer usmakelige femtedeler.

Så i løpet av årtusener har tuning endret fokus fra rene tredjedeler til rene femtedeler og til slutt bestemt seg for å gjøre bare oktavene rene og bygge resten av skalaen rundt en like temperert femtedel, noe som resulterer i 12 likeverdige halvtoner.

Kommentarer

• det var en veldig god forklaring. Takk skal du ha. Jeg er fortsatt interessert i å dele oktavene opp i forskjellige antall halvtoner og spille med resultatene. Det får meg til å lure på om 12-semitone-oktaven hørtes bra ut før » musikk slik vi kjenner den » eller om det er noe av en tilegnet smak, i hvilket tilfelle alternative sammenbrudd i oktaven kan tilpasses, som i tilfelle vestlig vs indisk vs østasiatisk musikk.

Når to toner spilles sammen, høres de bare behagelige ut hvis bølgekurvene kommer sammen noen få sykluser. Vi kaller dem harmonisk klingende.

Hvis bølgekurvene aldri kommer sammen, eller ikke gjør det innen noen få sykluser, høres de uoverensstemmende ut.

Bølgekurver vil bare komme sammen hvis de to frekvensene er multipler av hverandre. For eksempel, hvis den ene frekvensen er 200 sykluser per sekund og den andre er 600 sykluser per sekund, vil deres lydkurver falle sammen nøyaktig 3 ganger hvert sekund, og de vil høres harmoniske.

Ved å dele hver oktav i 12 intervaller, maksimerer du antall gledelig lydende par noter. Det er fordi tallet 12 er delbart med flere små tall enn noe annet tall mindre enn 60. Det er delbart med 1,2,3,4 og 6. Nummer 60 vil tillate mer behagelige kombinasjoner (1,2,3, 4, og 5), men det ville være latterlig å dele en oktav i 60 intervaller.

Så i moderne vestlig musikk bruker de 12 intervaller. Det gir maksimalt antall behagelig lydende kombinasjoner for å skape harmoni.

Kommentarer

• Jeg ser ikke ‘ t hvorfor divisorene er viktige her. Fordi for eksempel den like tempererte tritonen har et frekvensforhold 2 ^ (6/12) som er en av de verste tilnærmingene (sammenlignet med bare intonasjon) i skalaen, mens den perfekte fjerde (2 ^ (5/12)) er en av det beste (se lenken i Matthew ‘ s svar). Nok en liten kommentar: Hvis en frekvens er 200Hz og en annen er 600Hz, forutsatt at de ‘ synkroniseres, vil de være i samme fase 200 ganger hvert sekund, dvs. hver 3. syklus av raskere en.
• Frekvensene trenger ikke ‘ ikke å være multipler av hverandre; de trenger å dele en liten vanlig mutiple. Se svaret mitt her .
• 60 halvtoner per oktav! det er et utmerket eksperiment å prøve: D
• @nonpop har rett. Hvis vi deler oktaven i n like intervaller, er det ikke viktig for n å ha mange faktorer. 16et har ingen brukbar tilnærming til en perfekt femtedel. 30et har ingen intervaller bedre enn 15et, hvis beste femte er 18 cent bredt (12et ‘ s er 2 cent smalt). På den annen side har noen like temperament med gode intervaller prime n, for eksempel 19et, 31et og 53et.
• Ja, jeg er enig med @nonpop. Det er noe feil ved dette svaret. Ingen av 12TET-intervallene » stiller opp «, den bare innstillingen gir perfekt justering, men forårsaker andre problemer. 12TET er et kompromiss. Jeg ‘ har kjent mennesker med perfekt tonehøyde som hevder at ALLE 12TET-intervallene høres dissonant ut.

Årsaken er BRAIN. Hjernen liker frekvenser som er enkle proporsjoner. Det tror de går sammen. Du bør først spørre, hvorfor er det oktaver?

Vel, oktaven representerer en dobling / halvering av hertz (sykluser per sekund).

Så, midi-midterste C er 256 hz, og hvis du vet datamaskinnumrene dine, vil du innser at neste oktav C er på 512, 1024, 2048, osv. og de nedre oktavene er på 128, 64, og (pimp din tur) 32.

Jordskjelv, forresten, dukker opp rundt 11 hertz.

Hvert samfunn starter med oktaven. «Cos 1/2. Har du det?

(Jeg foreslår at den 2. Wien-skolen forresten forlater oktaven, og også stiller inn instrumentene. Niether gir noe mening for dem. Den nåværende tilstanden med oktaver og tuning og lignende er ren hykleri. La det gå, gutter! Scorer også. Og spiller offentlig. Ingen kommer uansett.)

Hh HHm …

Hvordan dele opp oktaven?

Hvis vi starter den på C og deler den i 3 (som er en fin hjernevennlig andel) får vi en nydelig skala for 3 notater:

C, E , G #, C

Hva med å dele den inn i fire:

C, Eb, F #, A, C

«DET er fint», sier hjernen, «men den er for SYMMETRISK. Begge disse skalaene ser ut til å fortsette for alltid og alltid, jeg kan ikke fortelle hva som er hva. Jeg vet! Hvorfor blander du ikke og matcher proporsjonene slik at de blir litt mer ujevne? Så kan jeg finne ut bassenoten. «.

Og dermed ble» Proto Major Thingy «født:

C, E, G, C

og «Proto Minor Thingy»:

C, Eb, G, C

«Hang on a bit «, sier hjernen,» du savnet et notat, ikke du? «.

» Hvor? «

» Mellom G og C er jeg ganske sikker på at du hadde noe mellom G og C «.

C, E, G, A, C?

» Thas NICE! Rock and Rollish. Fortsett, hva med den andre? »

C, Eb, G, Bb, C?

«Hei, hva er det med Bb? Vi har aldri hørt det før. Hva slags andel er det? «

» Det er 10/12. «.

» Du mener 5 / 6ths. OK. Spill det igjen «.

C, Eb, G, Bb, C

«Kay, det er bluesy. Greit! Men det var 70 000 år siden, og det er massevis av fattige bastards buggerin rundt landskapet som blir knust og gumlet av sabeltann-tigre og lignende. Lotta begravelser. Mucho tristhet. Som Trump i vår tid, bør du vite det! Trenger variasjon. «

» Permutasjoner? «

» Vis meg. «

C, D, E, G, A, C
C, D, E , G, Bb, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C

«Hva er F-andelen? «

» 4/3 «

» Flott! Jeg liker det. 5 notater. La oss gi det fancy gresk navn. Tørk det litt opp. Penta …? »

«Tonic?».

«Det er fantastisk».

«Jeg tullet. Du vet, for bokstavelig …»

» Nevermind. Det er kjempebra. Vi går med Pentatonic. Mer! Vi trenger mer! Nå er det høvdinger, gjørmehytter, smykker «

» Jeg trenger noen regler «.

» kay. Er .. hold Mindre tredje eller Major tredje og den femte hvor det er det, og bare flytt de andre rundt … Jeg vet, slik: flytt den syvende opp, den sjette ned, den fjerde opp og den andre ned! «

C, D, E, G, A, C
C, D, E, G, Ab, C
C, D, E, G, Bb, C
C, D, E, G, B, C
C, Eb, F, G, Bb, C
C, Eb, F #, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F #, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C, Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Db, E, G, B, C

«Hei, så hvis vi overlapper dem alle, vil vi» «få 12 underavdelinger av oktaven! Strålende!»

C , Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

«Derfor kalte jeg BRAIN, sønn. Å, og du» er velkommen. «

Kommentarer

• Jeg setter pris på humoren (rett opp i smuget), men det kan være litt overdrevet for dette nettstedet. Hva gjør mener du med » dele C i 3? »
• @GeneralNuisance Sannsynligvis betyr det å dele oktaven i tre like deler.
• Faktisk, i like temperament, er midt C 261,63 Hz.
• Jeg tror ikke forutsetningen er god.

For vestlig musikk var grekerne de første til å finne ut matematikken som forekommer naturlig i harmoniske overtoner generert av horn og andre blåseinstrumenter. Grekerne brukte de samme matematiske forholdene (gyldent forhold) på strenger. Pythagoras oppfant den pythagoreiske innstillingen av (3: 2) perfekte femtedeler og oktaver (2: 1) for å matche naturlig forekommende harmoniske overtoner. Senere oppfant grekerne 7 modal skalaer basert på pythagoras tuning. Syv moduser med åtte noter i en skala. Disse skalaene var ioniske, doriske, frygiske, lydiske, mixolydiske, eoliske og locrianiske. Vi bruker fortsatt ionisk (major) og eolisk (mindreårig). Feilen med naturlige harmoniske er at oktavene mellom hver modus var litt av fra hverandre. Aristoxenus i det 4. århundre f.Kr. oppfant de 12 tonene mellom oktaver i et forsøk på å bruke det samme forholdet mellom hver tone. Senere Keys ble oppfunnet for å bruke disse 12 tonene som hjemmebase for hver skala. Problemet var at disse tastene av natur er litt utenfor hverandre. For å løse dette J.S. Bach på begynnelsen av 1700-tallet fremmet bruken av Tempered Scale. Han utlignet det naturlig forekommende gapet mellom hver av de tolv halvtonene. Messinginstrumenter i barokkperioden hadde en pose med forskjellige skurker for å justere for hver nøkkel de spilte i . Stringinstrumenter måtte også stille inn for hver tastendring. Ved å bruke den tempererte skalaen kunne en utøver veksle mellom alle de forskjellige tastene uten å justere.

Kommentarer

• Ok, god historie, men hvorfor bestemte Aristoxenus seg for 12 i stedet for 13 eller 11?
• Aristoxenus ønsket å bruke samme forhold på 3/2 math.uwaterloo.ca/~mrubinst/tuning/12.html forklarer matematikken bak den.
• Du bør forklare det i svaret ditt da.
• Dette svaret har mange feilaktige uttalelser. Det gyldne forholdet vises vanligvis ikke i harmoni. Greske moduser inkluderte ikke ioniske eller eoliske (og greske modus er ikke de samme som de vi lærer i dag med disse navnene; De greske navnene ble brukt på fire av disse modusene i middelalderen, mens eoliske, ioniske og Locrian ble utviklet senere). Det er 7 forskjellige plasser på en skala, ikke 8. Temperament ble oppfunnet lenge før Bach, og temperamentet som Bach favoriserte, var ikke like. Messingskurker har ikke noe med temperament å gjøre, og strenger trengte ikke å stille inn for hver nøkkelendring.

Et enkelt bilde er noen ganger bedre enn en enorm forklaring, så jeg vil også oppfordre til å sjekke grafene i denne lenken, du kan musen over 10edo til 19edo for eksempel for å se forskjellene mellom forskjellige divisjoner: http://www.tonalsoft.com/enc/e/edo-11-odd-limit-error.aspx (se bare på sterkeste konsonanser: 3 – 1/3 **, 5 – 1/5 og 3/5 – 5 / 3, er resten av grafen egentlig ikke viktig i sammenligning.)

I utgangspunktet er det tydelig at 12-toners divisjon er den eneste som gjør forholdene 3/2 og 4/3 (de fleste viktige *** etter oktaven) nesten ren. Og tredjedeler / sjettedeler (forhold med tallet » 5 «, den nest viktigste importøren ***), er heller ikke så ille. Ingen andre delinger med et ganske stort antall sedler, 10 til 19, kan ikke engang nærme seg dette. er matematisk bemerkelsesverdig og grunnen til at vi bruker 12 notater og ikke 13, 11 eller osv.

** (» 1/3 » betyr bare et 4/3 forhold med to oktaverskift, det er akkurat slik de opprinnelig presenterer tallene.)

*** (Det jeg mener er at hvis hjernen din enkelt vil gjenkjenne og huske musikk, trenger du heller et stort knippe femtedeler, fjerde og tredjedeler for å være mer eller mindre i harmoni, i din musikalsk arkitektur, til og med melodisk, ellers er det for det meste dissonante lyder, noe som fører til støy og vanskelig å huske for hjernen …)

Basert på formuleringen av spørsmålet vil jeg si at det er av design. Det er ikke tilfeldig at 12 halve trinn passer inn i en oktav i stedet for 11 eller 13. Selv om detaljene kan endres hvis man antar bare innstilling, vil jeg forklare forutsatt at det er like temperert innstilling. Først bør du vite at det er et kontinuerlig frekvens og derfor tonehøyde mellom to noter. Vi har gått sammen om et bestemt utvalg av tonehøyde-kombinasjoner for den vestlige diatoniske skalaen gjennom århundrer med eksperimentering. Notatene i en skala gjenspeiler det som er behagelig for øret (e) for en bestemt kultur. Over tid standardiserte vesterlendinger halvtrinnet ved å dele oktaven i 12 trinn ved å bruke forholdet

f_octave = 2 * f_tonic

de påla begrensningen at forholdet mellom to påfølgende halvtrinn være samme uansett hvor du starter,

f_1 / 2 = r * f_tonic (dette vil være et mindre sekund)

siden vi tvinger antallet 1/2 trinn fra tonic til oktav for å være 12 får vi forholdet

r ^ 12 = 2 eller r = 2 ^ (1/12)

IMO noen få innlegg her setter vognen før hesten. Du kan ikke demonstrere at oktaven bare har 12 halvtoner ved å bruke definisjonen ovenfor av en halvtone. Snarere spør du hva forholdet må være for å sikre at det er 12 i en oktav.

For det formål er det alle slags alternative kromatismer som prøver å plassere N like trinn i en oktav. Disse resulterer i innstillingsligningen,

r = 2 ^ (1 / N)

Det er en 24 TET som inneholder 24 like kvart trinn i en oktav. Og du kan absolutt bygge en skala med

r = 2 ^ (1/13)

eller en annen rot på 2. Selvfølgelig vil dette IKKE være 1/2 trinn i tradisjonell sans for begrepet. Nå er spørsmålet om hvordan vi kom dit en lengre historie. Før 12TET-innstilling har Just major-skalaen med 8 toner (inkludert oktav) mer enn 5 tilfeldigheter. Du kan google dette og finne Wiki-artikler om emnet, men det var, tror jeg, bare skalaer med hele 17 uavhengige notater i oktaven. Selv om alle påfølgende notater sannsynligvis er litt forskjellige forhold. Derfor egentlig ikke et 1/2 trinn. Hva du kaller et 1/2 trinn, avhenger av hvordan du lærte begrepet.