Hvorfor er geosynkron bane en høyde, snarere enn en hastighet?

Jeg er helt enig i at det ikke er intuitivt. Orbitalmekanikk er imidlertid ofte ikke intuitiv, sannsynligvis fordi vi ikke får oppleve et banemiljø regelmessig (hvis noen gang).

La oss bare anta at vi snakker om sirkulære baner for resten av innlegget mitt, siden du er nybegynner i banemekanikk.

Det er bare en hastighet som en gitt sirkelbane i en viss høyde kan gå. Husk at stabile baner ikke krever noen kraft fra en motor for å fortsette som de har vært. I utgangspunktet, i en sirkelbane, blir den fallende-mot-planeten-bevegelsen nøyaktig matchet med bevegelsen fremover.

Sir Issac Newton fant ut av dette , og eksemplifiserte det med et tankeeksperiment kalt Newtons kanonkule .

Merk at hvis banehastigheten er for sakte for den høyden, kanonkulen krasjet inn i planeten.

Og hvis banehastigheten er for høy for høyden, vil bane være en ellipse, snarere enn sirkulær, ellers kan kanonkulen til og med unnslippe jorden helt!

Til slutt, hvis kanonkulen blir lansert i» riktig «banehastighet for å være i en sirkulær bane i den høyden, vil den verken krasje eller fly bort , men vil forbli stabil og reise rundt jorden med den aktuelle hastigheten.

I forskjellige høyder er denne gullhullshastigheten forskjellig. Hvis bane er nærmere planeten, er tyngdekraftseffekten høyere, så den kretsende gjenstanden må bevege seg raskere for å motvirke fallet. Når baneobjektet er lenger borte, er det mindre fallkraft på grunn av tyngdekraften (fordi gravitasjonskraft er basert på avstand), og objektet trenger derfor ikke å bevege seg så fort for å motvirke fallkraften.

Fra Wikipedias Geocentric Orbit-artikkel vet vi at Low Earth Orbit kan være for eksempel en høyde på 160 km. I denne høyden er gulllokkens hastighet til holder en sirkelbane omtrent 8000 m / s, og tar omtrent 90 minutter.

Hva skjer nå hvis vi ser på en litt høyere høyde? Vel, hastigheten er lavere, og banen banen i bane større (sirkelen er større), så begge disse faktorene gjør at banen tar lengre tid. En litt høyere bane kan ta 100 minutter i stedet for 90.

For en geosynkron bane, må banen ta 24 timer i stedet for 90 minutter, fordi jorden tar 24 timer å spinne. Dette skjer når sirkelen utvides til en høyde på ca 35000 km. The Goldilocks v Elocity i denne høyden er omtrent 3000 m / s.

Dette er alt noe forenklet, men de brede strøkene er alle der. Som Organic Marble påpekte, kunne du prøve å tvinge et fartøy til å bane i en annen høyde i løpet av en 24-timers periode, men det ville ikke være en stabil bane, du ville trenge motorer for å holde det i gang.

Kommentarer

• Vær oppmerksom på – Goldilocks-hastigheter garanterer ikke at skipet ditt forblir for varmt, for kaldt eller bare riktig.(Beklager, jeg ‘ har aldri hørt begrepet Goldilocks hastighet og trengte å lage ordspill.

Enkelt sagt, for en sirkulær bane og et gitt sentralt legeme, er omløpsperioden utelukkende en funksjon av radien. En geosynkron bane er bare baneradien der den tilsvarende perioden er lik jordens rotasjonsperiode.

Du kan fly rundt jorden i løpet av 24 timer i alle høyder, men ikke uten fremdrift.

Se dette spørsmålet for matematikken.

Tenk på det på denne måten. En sirkulær bane er preget av det faktum at den fiktive sentrifugalkraften nøyaktig blir kansellert ut av (sentripetal) tyngdekraften. Hvis det ikke var tilfelle, hvis tyngdekraften var sterkere, ville satellitten begynne å synke. Hvis tyngdekraften var svakere, ville den begynne å stige. I begge tilfeller ville den ikke lenger være i en sirkulær bane.

En geostasjonær bane er preget av sin vinkelhastighet (spesielt $ 2 \ pi $ radianer per dag). Sentrifugalkraften for sirkelbevegelse ved konstant vinkelhastighet er proporsjonal med radiusen. Gravitasjonskraften er proporsjonal med det inverse kvadratet til radius. Så du har en ligning i (generisk) form, $ Ar = B / r ^ 2 $ hvor $ A $ og $ B $ er noen tall. Denne ligningen er ikke gyldig for vilkårlig $ r $, snarere kan du beregne verdien på $ r $ ved å løse ligningen for den.

Når du plugger inn tallene, er dette akkurat det som skjer. Sentrifugalkraften for en masse $ m $ er gitt av $ F_c = mv ^ 2 / r = m \ omega ^ 2r $ hvor $ \ omega $ er vinkelhastigheten. Gravitasjonskraften for en masse $ m $ er $ F_g = GMm / r ^ 2 $ hvor $ G $ er Newtons konstant på tyngdekraften og $ M $ er jorden messe. Når disse to er like, har du $ m \ omega ^ 2 r = GMm / r ^ 2 $ eller $ r = \ sqrt [3] {GM / \ omega ^ 2} $. Når du kobler inn tallene, får du $ r \ simeq 4,23 \ ganger 10 ^ 7 $ meter, eller etter å ha trukket jordens radius, en høyde på omtrent 36.000 km. Dette er den eneste verdien de to kreftene avbryter med en vinkelhastighet på en hel omdreining per dag, så dette er den geostasjonære høyden.

\ begin {align} T & = 24 \ times60 ^ 2 & & = 86400 \, s \\ \ omega & = 2 \ pi f & & = {2 \ pi \ over T} \\ F & = {mv ^ 2 \ over r} & & = m \ omega ^ 2r \\ \ derfor F & = m \ venstre ({ 2 \ pi \ over T} \ høyre) ^ 2r & & = {4 \ pi ^ 2mr \ over T ^ 2} \ \ \ text {And} F & = {GMm \ over r ^ 2} \\ & \ text {For å opprettholde høyden :} \ sum f = 0 \\ {4 \ pi ^ 2mr \ over T ^ 2} & = {Gm \ over r ^ 2} \\ \ derfor r ^ 3 & = {T ^ 2GM \ over4 \ pi ^ 2} \\ \ derfor r & = \ root 3 \ av {T ^ 2GM \ over4 \ pi ^ 2} \\ T & = 86400, G = 6,67 \ times10 ^ {- 11 }, M = 5,97 \ times10 ^ {24} \\ \ derfor r & = \ root 3 \ av {86400 ^ 2 \ times6.67 \ times10 ^ {- 11} \ times5.97 \ times10 ^ {24} \ over4 \ pi ^ 2} \\ r & = 42,226km \; \ text {fra midten av jorden} \\ h & = rR \\ \ derfor h & = 42,226km-6370km = 35856km \ end {align} $ M $ er jordens masse. $ R $ er jordens radius.

Dette er mitt forsøk på å få verdien. Den er av av litt, men dette kan skyldes nøyaktigheten til tallene som brukes og vurderer banen perfekt sirkulær.

I utgangspunktet må den ha samme vinkelhastighet som jorden for at den skal bane riktig. rotere med samme hastighet), som betyr å ha samme frekvens eller tidsperiode for rotasjon som jorden.

Vekten av gjenstanden som kretser må da være lik sentripetalkraften den virker på den pga. den sirkulære bevegelsen. Som andre har sagt hvis disse to kreftene ikke er like, vil den enten krasje i jorden eller fly av.

Fra dette punktet og utover er det bare matematikk å beregne den faktiske verdien, og husk at denne verdien av r gir radius av bane som er avstand fra sentrum av jorden, så du må trekke R for å få høyde over jorden.

Fra dette kan du beregne en hastighet som satellitten kjører med, men i dette området brukes generelt vinkelhastighet mer. De fleste ville heller ikke vite hva de skulle gjøre med denne hastigheten, da det ikke betyr mye og ikke er nyttig.

Kommentarer

• Takk ! Matematikken blir verdsatt og undervurdert i andre svar.

Hva er så spesielt med det magiske tallet 22.000 som gjør det mulig å gjøre en geosynkron bane i den høyden, men ikke i noen vilkårlig høyde?

Løft et objekt til en banehøyde på 1 meter. La det gå. Hva skjer?

Splat

Sentrifugalkraften til en geosynkron bane av 1 meter kan ikke støtte et objekt mot tyngdekraften.

Anta så at Pluto befinner seg i en geosynkron bane … det vil si dvergplaneten trenger å dreie seg rundt jorden på 24 timer. Den hastigheten den trenger det er omtrent lyshastighet. Hva skjer?

WHOOOSH

Pluto vil forsvinne ut i det store, svarte der, fordi jordens tyngdekraft umulig kan inneholde en objekt i en geosynkron bane på 7,5 milliarder kilometer.

Et sted mellom disse to ytterpunktene er høyden der tyngdekraften og sentrifugalkraften til en 24-timers bane er like og balanserer hverandre.

Den spesielle høyden er 22 000 miles.

Beveg deg høyere opp og sentrifugalkraften til en 24-timers bane er for sterk … den vil overvinne tyngdekraften og resultere i en elliptisk bane, eller få objektet til å bryte seg bort fra jorden. Beveg deg lavere, og sentrifugalkraften er for svak til å balansere tyngdekraften, og objektet vil begynne å miste høyde, og igjen resultere i en eksentrisk bane, eller muligens til og med krasje i atmosfæren.

Kommentarer

• » Anta så at Pluto er i en geosynkron bane … det vil si at dvergplaneten trenger å dreie seg rundt jorden på 24 timer. Hastigheten den trenger for det er omtrent lyshastighet. » Hva mener du? I sin nåværende bane er åpenbart Pluto ikke ‘ t som kretser rundt jorden, så spørsmålet er mye. For et objekt i geostasjonær eller geosynkron bane rundt jorden er størrelsen på objektet irrelevant: et støvfett eller en enorm stein, betyr ikke ‘ t, banen er den samme.
• Jeg mente akkurat det jeg skrev – » Anta at … » – i betydningen » Gjør tankeeksperimentet om at Pluto er i en geosynkron bane rundt jorden «. Nei det er selvfølgelig ikke det som skjer i det virkelige liv, men for å undersøke den originale plakaten ‘ antagelse om at hvilken som helst bane kan være geosynkron vi kan leke med ideen – at Pluto er i en geosynkron bane – et øyeblikk og se hva konsekvensene av det er. De er a) på den avstanden har jordens tyngdekraft en nærmest ubetydelig effekt på Pluto og b) Pluto vil trenge å bevege seg i lyshastighet. Dvs. OP ‘ s antagelse er feil.
• For å være klar, er det en viktig, men usagt antagelse her med Pluto-tankeeksperimentet om at Pluto ‘ s orbitale avstand fra jorden ble opprinnelig satt til et visst antall. Siden både jorden og Pluto kretser rundt solen (og i svært forskjellige omløpstider, pluss Pluto ‘ s bane er elliptisk), varierer avstanden mellom jorden og Pluto betydelig. Jeg antar at @MichaelKarnerfors bare valgte en gjennomsnittlig jord-Pluto-avstand, eller noe, for å beregne hastigheten Pluto ville trenge for en 24-timers jord-sentrert bane.

(No-math svar)

Du faller rundt jorden i hvilken som helst høyde i hvilken som helst hastighet. Selv om du kaster en ball, vil den faller rundt jorden. Den har ikke nok hastighet til å hindre å treffe den. Så søtpunktet er for en bane at du reiser langt nok til at krumningen på jorden er lik hvor langt du falt. Jo nærmere du er jo mer tyngdekraft, jo mindre avstand har du å falle før du treffer, desto raskere må du gå for at jorden skal kurve vekk fra / ut av fallet ditt. Jo høyere du er, jo langsommere kan du gå når jorden svinger deg ut av veien – mindre tyngdekraft. På denne måten trenger du ikke å tilsette energi – du bare fortsetter å falle. I en viss høyde samsvarer hastigheten din nøyaktig med jordens rotasjon. Dette er flott fordi vi kan peke parabolantennen på den.Hvis du vil være geosynkronisert i en hvilken som helst annen høyde, kan du være – men du trenger drivstoff / energi og mye av det for å gjøre det, og du vil ikke være vektløs. Du er bare vektløs fordi du faller. Hvis det var et tårn bygget så høyt, du ville stå på det med tyngdekraften akkurat som du ville gjort her nede. Litt mindre tyngdekraft – men fortsatt tyngdekraften. Derfor faller du. Du er vektløs når du faller ned her også. Du er bare for bekymret om å stikke landingen for å legge merke til.

Det er ikke noe magisk tall 22.000.

Hvis du, som du sier, kunne oppnå en geostasjonær bane i hvilken som helst høyde, kan du gå til et hvilket som helst sted på jordens ekvator, holde en gjenstand i armlengde, slippe den og forvente å forbli på plass, i hovedsak sveve i luften. Tross alt reiser du og objektet rundt 1000 miles i timen rundt jordas akse. Vi vet alle at objektet rett og slett ville falle til bakken.

Vi vet også at gjenstander i en bane med lav jord må reise med rundt 17 000 miles i timen for å forbli i bane, og tar omtrent 90 minutter å fullføre en bane. Vi vet også at Månen er i bane rundt jorden (strengt tatt, Earth-Moon barycenter), ligger rundt 240 000 miles unna, og fullfører en bane på rundt 27 dager, og reiser omtrent 2500 miles i timen. Vi vet også at tyngdekraften følger den omvendte firkantede loven, og avtar i forhold til kvadratet på avstanden.

Hva forteller dette oss Om baner generelt? For det første, jo nærmere en gjenstand kroppen er i bane, jo mer må den motsette seg tyngdekraften, noe den bare kan gjøre ved å reise raskere, noe som krever større akselerasjon for å forbli på den lukkede, buede stien vi kaller gitt de to eksemplene på lav jordbane og månen, må det være en uendelig rekkevidde av baneavstander, som hver har tilhørende hastighet og periode. Det må derfor være en bane der perioden sammenfaller med jordens rotasjon, og den vil ha sin egen spesifikke avstand.

Gitt det ovennevnte, vel vitende om jordens gravitasjonsakselerasjon (~ 9,8 m / s / s på overflaten), jordens radius (det punktet hvor tyngdekraften har den verdien), det omvendte kvadratet lov, og formelen for sirkelbevegelse relatert til radius og periode til akselerasjon, kan vi beregne avstanden som en bane vil ha en ønsket periode. Det viser seg at baneavstanden som perioden sammenfaller med jordens rotasjon, forekommer noe 22.000 mil opp.