Hvorfor er jordens ' tyngdekraft sterkere ved polene?

Poenget er at hvis vi tilnærmer jorden med en oblat ellipsoid, så er jordens overflate en ekvipotensiell overflate , $ ^ 1 $ se f.eks. dette Phys.SE-innlegget.

Nå, fordi polarradiusen er mindre enn ekvatorialradiusen, må tettheten av ekvipotensielle overflater ved polene være større enn ved ekvator.

Eller tilsvarende, feltstyrken $ ^ 2 $ $ g $ på polene må være større enn ved ekvator.

–

$ ^ 1 $ Merk at potensialet her refererer til den kombinerte effekten av gravitasjons- og sentrifugalkrefter. Hvis vi heller litt vann på en ekvipotensiell overflate, ville det ikke være en foretrukket strømningsretning.

$ ^ 2 $ Tilsvarende refererer feltstyrken, kjent som lite $ g $ , til kombinert effekt av gravitasjons- og sentrifugalkrefter, selv om $ g $ ofte (tilfeldig og noe misvisende) blir referert til som gravitasjon konstant på jordens overflate.

Kommentarer

• Fungerer argumentet » du nærmere massesenteret «?
• Hyggelig. Selv om svaret aldri bruker begrepet » sentrifugalkraft, er » som ‘ er implisitt i argumentet, fordi ekvipotensialet er en ekvipotensial i den roterende rammen.
• @Floris – Argumentet om at » du er nærmere sentrum av massen » kinda-sort fungerer, der kinda-sorta betyr omtrent 3/2 (i motsetning til en) i dette tilfellet. Omtrent 2/3 av reduksjonen ved ekvator skyldes at ekvator er 21 km lenger fra sentrum av jorden. Den andre 1/3 skyldes sentrifugalkraft (og selvfølgelig at første 2/3 indirekte skyldes sentrifugalkraft).
• @DavidHammen – det antar jeg at i bøkene mine » gravitasjon » er bare tiltrekningen mellom to massive objekter; kraften som en masse opplever på jordens overflate er modulert både avstand og rotasjon, men bare førstnevnte er » tyngdekraften » i mine bøker. Videre siden OP uttalte at han forsto rotasjonsdelen, foreslo jeg virkelig å fokusere på den enkleste måten å oppgi den andre delen på.
• Jeg tror Lubos for lenge siden skrev et svar som forklarer noe hvorfor gravitasjon på grunn av ekvatorialet utbuling er annerledes enn man naivt skulle tro. Jeg ‘ Jeg ser om jeg kan grave opp svaret.

Mange steder angir at jordens tyngdekraft er sterkere ved polene enn ekvator av to grunner:

1. Sentrifugalen kraft avbryter tyngdekraften minimalt, mer ved ekvator enn ved polene.
2. Polene er nærmere sentrum på grunn av ekvatorialbulen, og har dermed et sterkere gravitasjonsfelt.

TL; DR-versjon: Det er tre grunner. I størrelsesorden,

1. Polene er nærmere til midten av jorden på grunn av ekvatorialbulen. Dette styrker tyngdekraften ved polene og svekker den ved ekvator.

2. Ekvatorialbulen modifiserer hvordan jorden graviterer. Dette svekker gravitasjon ved polene og styrker den ved ekvator.

3. Jorden roterer, så en jordbundet observatør ser en sentrifugalkraft. har ingen effekt på polene og svekker gravitasjonen ved ekvator.

La oss se hvordan de to forklaringene i spørsmålet sammenlignes med observasjon.Tabellen nedenfor sammenligner hva en sfærisk tyngdekraftsmodell mindre sentrifugalakselerasjon forutsier for gravitasjonsakselerasjon ved havnivå ved ekvator ($ g _ {\ text {eq}} $) og nordpolen ($ g _ {\ text {p}} $) mot verdiene beregnet ved hjelp av den veletablerte Somigliana tyngdekraftsformelen $ g = g _ {\ text {eq}} (1+ \ kappa \ sin ^ 2 \ lambda) / \ sqrt {1-e ^ 2 \ sin ^ 2 \ lambda } $.

$ \ begin {matrix} \ text {Mengde} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & \ phantom {-} 0.03213 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0,06604 & \ phantom {-} 0,03392 & 0.09995 & 0.05186 & \ phantom {-} 0.04809 \ end {matrix} $

Denne enkle modellen fungerer i en kvalitativ forstand. Det viser at tyngdekraften på nordpolen er høyere enn ved ekvator. Kvantitativt er denne enkle modellen ikke veldig bra. Det overvurderer forskjellen mellom gravitasjon på nordpolen og ekvator betydelig, nesten med en faktor på to.

Problemet er at denne enkle modellen ikke tar hensyn til gravitasjonspåvirkningen til ekvatorialbulen. En enkel måte å tenke på den buen er at den tilfører positiv masse ved ekvator, men legger til negativ masse ved polene, for en null netto endring i masse. Den negative massen ved polen vil redusere tyngdekraften i nærheten av polen, mens den positive massen ved ekvator vil øke ekvatorial tyngdekraft. Det er nøyaktig hva legen har bestilt.

Matematisk sett, hva det å bevege seg rundt massene er å skape et firemannsrom i jordens tyngdefelt. Uten å gå inn i detaljene med sfæriske harmonier, legger dette til et begrep som er lik $ 3 J_2 \ frac {GMa ^ 2} {r ^ 4} \ left (\ frac 3 2 \ cos ^ 2 \ lambda – 1 \ right) $ til gravitasjonskraft, hvor $ \ lambda $ er den geosentriske breddegraden og $ J_2 $ er jordens andre dynamiske form. Å legge til dette firepoletermet i tabellen ovenfor gir følgende:

$ \ begin {matrix} \ text {Mengde} & GM / r ^ 2 & r \ omega ^ 2 & J_2 \, \ text {term} & \ text {Total} & \ text {Somigliana} & \ text {Error} \\ g_ \ text {eq} & 9.79828 & -0.03392 & \ phantom {-} 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \\ g_ \ text {p} & 9.86431 & 0 & – 0,03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 \\ g_ \ text {p} – g_ \ text {eq} & 0.06604 & \ phantom {-} 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 \ end {matrix} $

Dette enkle tillegget av kvadrupolen gir nå en veldig fin kamp.

Tallene jeg brukte ovenfor:

• $ \ mu_E = 398600.0982 \, \ tekst {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $, jordens gravitasjonsparameter minus atmosfærisk bidrag.

• $ R_ \ text {eq} = 6378.13672 \, \ text {km} $, jordens ekvatoriale radius (gjennomsnittlig tidevannsverdi).

• $ 1 / f = 298.25231 $, jordens flatting (gjennomsnittlig tidevann verdi).

• $ \ omega = 7.292115855 \ ganger 10 ^ {- 5} \, \ text {rad} / \ text {s} $, jordens rotasjon rate.

• $ J_2 = 0.0010826359 $, Jordens andre dynamiske formfaktor.

• $ g_ {\ text {eq}} = 9.7803267714 \, \ text {m} / \ text {s} ^ 2 $, gravitasjon ved havnivå ved ekvator.

• $ \ kappa = 0.00193185138639 $, som gjenspeiler den observerte forskjellen mellom gravitasjon ved ekvator kontra polene.

• $ e ^ 2 = 0.00669437999013 $, kvadratet av eksentrisiteten til figuren av jorden.

Disse verdiene er for det meste fra Groten, «Fundamental parameters and current (2004) best estimates of the parameters av felles relevans for astronomi, geodesi og geodynamikk. » Journal of Geodesy , 77: 10-11 724-797 (2004) , med standard gravitasjonsparameter modifisert for å ekskludere atmosfærens masse. Jordens atmosfære har en gravitasjonseffekt på månen og på satellitter, men ikke så mye på mennesker som står på jordens overflate.

Kommentarer

• Re » Polene er nærmere jordens sentrum pga. til ekvatorialbuen. Dette styrker gravitasjonen ved polene og svekker den ved ekvator. » : Dette ville ikke være sant hvis Jorden hadde en jevn massefordeling .
• @PeterMortensen – Det er feil. Selv om jorden hadde en jevn tetthet, ville gravitasjonsakselerasjonen ved polen være større enn den ved ekvator med en faktor på ca $ 1 + \ frac 1 5 f $, hvor $ f $ er flatefaktoren. Se Fordeling av gravitasjonskraft på en ikke-roterende oblat sfæroide .
• Det ‘ er veldig nyttig å ha alt dette på ett sted; Jeg skjønte aldri alvoret på situasjonen før jeg gikk gjennom det hele samtidig.

Her «Et enkelt argument som ikke krever kunnskap om fancy ting som potensial eller roterende referanserammer. Tenk deg at vi gradvis kunne spinne jorden raskere og raskere. Til slutt ville det fly fra hverandre. For øyeblikket da det begynte å fly fra hverandre, ville det som ville skje være at jordens deler ved ekvator ville ha banehastighet. Når du er i bane, opplever du tilsynelatende vektløshet, akkurat som astronautene på romstasjonen.

Så på et punkt på ekvator, den tilsynelatende tyngdeakselerasjonen $ g $ (dvs. det du måler i et laboratorium festet til jordens overflate) går ned til null når jorden spinner raskt nok. Ved interpolasjon forventer vi at effekten av den faktiske sentrifugeringen skal være å redusere $ g $ ved ekvator, i forhold til verdien den ville ha hvis jorden ikke snurret.

Merk at dette argumentet automatisk tar hensyn til forvrengningen av jorden bort fra sfærisitet. Den avlange formen er bare en del av interpolasjonen mellom sfærisitet og oppbrudd.

Den er forskjellig på polene. Uansett hvor fort du snurrer jorden, vil en del av jorden på nordpolen aldri være i bane. Verdien på $ g $ vil endres på grunn av endringen i jordens form, men den effekten må være relativt svak, fordi den aldri kan føre til oppbrudd.

Forskjellen i fri fallakselerasjon mellom poler og ekvator har to medvirkende faktorer. Jeg vil diskutere dem en etter en.

På polene er det målte gravitasjonsakselerasjon er 9,8322 $ m / s ^ 2 $
Ved ekvator er den målte gravitasjonsakselerasjonen 9,7805 $ m / s ^ 2 $

Gitt jordens ekvatorialradius og jordens rotasjonshastighet, kan du beregne hvor mye sentripetal akselerasjon som kreves for å samrotere med jorden når du befinner deg på ekvator. Dette kommer til 0,0339 $ m / s ^ 2 $

Denne nødvendige sentripetale akselerasjonen (ved ekvator) går på bekostning av den sanne gravitasjonsakselerasjonen ved ekvator.

Så vi kan rekonstruere hva ekvatorial gravitasjonsakselerasjon ville være på en himmellegeme med samme størrelse og tetthet og ekvatorial bule som Jorden, men ikke-roterende.

Ekte gravitasjonsakselerasjon: 9.7805 + 0.0339 = 9.8144 $ m / s ^ 2 $

Så det er fortsatt en forskjell på 0,0178 $ m / s ^ 2 $

Den gjenværende forskjellen skyldes jordens flatning: på ekvator er du lenger borte fra jordens tyngdepunkt enn i polene.

Poenget er om all effekt ble tatt i betraktning. Matematikk vil bli oppsummert at effekten av mer masse under føttene fortsatt er mindre enn effekten av avstanden fra massesenteret

Et annet syn er. Ved ekvator er det buer i nærheten av deg. Men fra alle andre sider av jorden er buen langt fra deg. Sammenlign med stangen at all bule er like langt fra deg, som utgjør forskjellen