Hvorfor er kraft en vektor? (Norsk)

Uhm … du begynner med et objekt kl hvile og legge merke til at hvis du skyver på den i forskjellige retninger, beveger den seg i forskjellige retninger? Legg merke til at du kan ordne mer enn to (tre for plane geometrier og fire for full 3D-geometrier) ikke-kolinære krefter for å avbryte hverandre (forhåpentligvis gjorde du en styrketabelløvelse i klassen din og har gjort dette selv). / p>

Demonstrasjonen på et objekt som allerede er i bevegelse er litt mindre opplagt, men du kan ta ideene her og generalisere dem.

På en måte er dette så åpenbart at det er vanskelig å svare på fordi nesten alt du gjør med krefter bruker vektornaturen.

Kommentarer

• Det er bare åpenbart for folk som er vant til vektorer. Etter en stund blir du så vant til at du glemmer at det var forvirrende å lære. Du glemte hva du gjorde og visste ikke ‘ på det tidspunktet. gjør det vanskelig å forklare ting godt for nybegynnere. EG safeshere ‘ s kommentar er riktig. Men noen som lurer på hvorfor kraft er en vektor, vil også lure på hvorfor momentum er. Jeg husker at ng forvirret at kinetisk energi har en åpenbar retning, men det er ikke ‘ t en vektor.
• Kinetisk energi har ikke en retning. Momentet til et objekt har en retning. Et 500 g objekt som beveger seg ved 2 m / s i positiv x-retning, har ikke samme momentum som et 500 g objekt som beveger seg med 2 m / s i negativ x-retning, men de har begge samme kinetiske energi.
• @BillN mmesser314 er klar over det, men det er en vanlig nok misforståelse blant introstudenter (spesielt de mer gjennomtenkte). Han kritiserte forestillingen om at » ser dette har en retning » er et godt nok verktøy for å gi elevene til å skille vektorer fra ikke-vektorer. Jeg er uenig fordi jeg ‘ heller behandler spørsmålet om kinetisk energi enn å prøve å gi introduksjonsstudenter en mer abstrakt definisjon av ‘ vektor ‘, men det er et poeng det er verdt å vurdere.
• @dmckee Ja, jeg vinket meg hånd gjennom Biot-Savart i dag og prøvde å forklare hvorfor strømmen, $ I $, er ikke ‘ tavektor, men $ d \ vec {\ ell} $ er. Jeg kvalt nesten mens jeg mumlet. 🙂 At ‘ fortsatt er en ikke-tilfredsstillende vektor for meg, men jeg holder nesen og går videre.
• @BillN Jeg tror at KE-eksemplet ditt er et godt eksempel på hvorfor dette kan være vanskelig noen få nykommere i fysikk. Jeg synes det ‘ ikke nødvendigvis er åpenbart at KE mangler en retningskomponent før du ‘ har gjort noen få eksperimenter som viser at det er en skalar » energi » det er verdt å være oppmerksom på.

Vektorer er ting som tilføyes som små piler. Pilene gir tips til halen.

Antall bergarter er ikke en vektor. 2 bergarter + 2 bergarter = 4 bergarter.

Forskyvning er en vektor. Hvis du beveger deg 2 meter til venstre og 2 fot igjen, har du flyttet deg 4 fot. To piler 2 fot lange som peker mot venstre og spissen til halen tilsvarer en pil som er 4 fot lang som peker mot venstre.

Hvis du beveger deg 2 fot til venstre og 2 fot til høyre, har du flyttet tilbake til starten. Dette er det samme som ikke beveger seg i det hele tatt. Du kan ikke legge til bergarter på denne måten.

Kraft legger til slik. To små krefter til venstre tilsvarer en stor kraft til venstre. Like krefter til venstre og høyre tilsvarer ingen kraft. Dette er hvorfor kraft er en vektor.

Rediger – Kommentarene løfter et poeng som jeg glanset over. Dette punktet løftes vanligvis ikke når du introduserer vektorer.

Matematikere definerer en vektor som ting som oppfører seg som små piler når de legges sammen og multipliseres med skalarer. Fysikere legger til et annet krav. Vektorer må være uforanderlige under koordinatsystemtransformasjoner.

En liten pil eksisterer uavhengig av hvordan du ser på den. En liten pil endres ikke når du snur, så den vender fremover. Tilsvarende endres ikke små piler hvis du roterer pilen slik at den vender fremover.

Dette er fordi rommet er homogent og isotropt. Det er ingen spesielle steder eller retninger i rommet som vil forandre deg eller en pil hvis de flyttes til et nytt sted eller en ny retning. (Hvis du beveger deg bort fra jorden, er tyngdekraften annerledes. Hvis dette betyr noe, må du flytte jorden også.)

Derimot er en skalar et enkelt tall som ikke endres under koordinatsystemtransformasjoner. Antall bergarter er en skalar.

Koordinatene som beskriver en vektorendring når koordinatsystemet endres. Den venstre komponenten i en vektor er ikke en skalar.

Det er et 1-D matematisk vektorrom parallelt med den venstre koordinaten til en vektor. Hvis du roterer koordinatsystemet, kan det være parallelt med det som har blitt fremoverkomponenten. En fysiker vil ikke si at det er et vektorrom.

Kommentarer

• Det du forklarte, samsvarer også med en signert skalar. Du burde ha inkludert en » frem » eller » opp » bevegelse for å gjøre det tydeligere.
• @RalfKleberhoff – Sant. Du tar opp et godt poeng.
• @RalfKleberhoff Hvordan er en signert skalar ikke en vektor i en enkelt dimensjon? Egentlig. Dette forvirret meg alltid. Det ser ut til å ha mye, mye mer til felles med vektorer enn skalarer.
• @ jpmc26 physics.stackexchange.com/questions/35562/…
• @ jpmc26 – Godt spørsmål. Jeg oppdaterte svaret for å løse det.

En mindre nitpick: kraft er ikke en vektor. Som momentum er det en covector eller enform og en kovariant. Du kan se dette på flere måter:

• fra prinsippet om virtuelt arbeid: kraft er en lineær funksjon som kartlegger uendelige dimensjoner $ \ delta \ mathbf {x} $ (en vektor) til uendelige endringer i energi $ F \ delta \ mathbf {x} $ (en skalar) og dermed en covector per definisjon.
• Newtons andre lov $ F = ma $: akselerasjon er en vektor, som er «indeks senket» av massen for å gi kraft.
• konservative krefter oppstår fra differensialet av potensiell energi, $ F = -dV $, og differensialen til en funksjon er en en-form (kovariant).

Forskjellen mellom en vektor og en covector er kanskje ikke fornuftig hvis du «begynner bare å lære om fysikk, og foreløpig kan det være nok for praktiske beregninger å vite at krefter kan» legges tips til halen «som vektorer. Men det er noe du bør begynne å være oppmerksom på når forståelsen din modnes: som dimensjonsanalyse, kan du nøye holde oversikt over hva dine fysiske objekter er, nyttig både for å bygge dypere forståelse og fange feil.

Kommentarer

• Jeg synes dette er en nyttig kommentar fordi det illustrerer at » dette er den mest naturlige måten å tenke på kraft » er faktisk ikke nødvendigvis sant. Kovektorer er ganske naturlige ting, og du kan forestille deg en læreplan som fungerte like mye med dem som med vektorer. Det er en tradisjon for utdanningssystemet vårt at vi ikke gjør det (i det minste eksplisitt).
• @FrancisDavey Jeg vil heller si at tradisjonen er at vi ikke skiller mellom vektorer og konvektorer før altfor sent , og bare kalle dem alle vektorer. (Jeg lærte ‘ ikke skillet eksplisitt til jeg tok generell relativitet, eller muligens kvantemekanikk med BH og kets. Det skulle ‘ ve vært eksplisitt i det første lineære algebakurset, der de dukket opp som kolonnevektorer og radvektorer, men det var ikke ‘ t eksplisitt.)
• Ikke verdt en nedstemning, men absolutt ikke verdt en oppstemning. Jeg ‘ er ikke begeistret for denne » hvordan ting forvandler » definisjonen av hva som utgjør en » vektor «. Den matematiske definisjonen av en vektor er mye enklere: Vektorer er medlemmer av et vektorrom – et rom utstyrt med to operasjoner som adlyder åtte enkle aksiomer. Etter denne definisjonen er krefter (i Newtonian mekanikk) vektorer.
• @DavidHammen En » vektor » kan bety enten 1) en tangentvektor , dvs. et element i tangentbunten (eller mer generelt, (0,1) -tensorene til en tensoralgebra) eller 2) et element i noe generelt vektorrom. Vanligvis i fysikk når vi sier » vektor » mener vi » (tangent) vektor «: vi ville ikke ‘ ikke kalle skalarer, funksjoner, 2-tensorer, eller faktisk, kovektorer, » vektorer » selv om teknisk sett alle er elementer i et vektorrom. Legg merke til at per definisjon nr. 2, til og med OP ‘ s » tvinger en vektor eller skalar » er et meningsløst spørsmål!
• Alle disse tingene er ekte vektorer. Vi

Akselerasjon transformeres som en 3-vektor under rotasjoner (gruppe O (3)).

Akselerasjon transformeres som en 4-vektor under rotasjoner og boosts (Lorentz gruppe O (3,1)).

Akselerasjon kan godt være en del av en større struktur (f.eks: 2 indeksetensor ) under en større gruppe transformasjoner inkludert rotasjoner, boosts, belastninger og oversettelser.

Poenget mitt er at når du sier akselerasjon (eller kraft) er en 3-vektor (eller noe annet), må du spesifiser for hvilken gruppe transformasjoner. For eksempel «akselerasjon transformeres som en 3-vektor under rotasjoner», og det er derfor vi kaller det en 3-vektor.

Kommentarer

• Dette spørsmålet handlet tydelig om Newtons fysikk, som forfatteren ikke ‘ ikke forstår fullt ut. Du ‘ er på vei inn med bestemmelser fra mye mer kompliserte fysikkområder (som forfatteren kanskje ikke engang trenger). Det ‘ tilsvarer noen som spør om Bernoulli ‘ sin lov og du ber dem om å spesifisere om væsken er tyktflytende. Vennligst forklar vilkårene du bruker, og match teknisk-nivået til spørsmålet.
• @CodyP Slår seg ikke inn i det hele tatt! Vel, kanskje gruppeteori er litt høyere enn nødvendig her, men … Definisjonen av en vektor er nært knyttet til hvordan mengden oppfører seg under rotasjonen av koordinatene. Det faktum at vi forenkler ideen til » størrelse og retning » fjerner ikke ‘ viktigheten av å forstå rotasjon av koordinatsystemer og hva ‘ er uforanderlige og hva ‘ ikke er. Det kan være avansert, men det er ‘ for å svare på OP. På nivået med Kleppner og Kalenkow bør personen bli introdusert for en bredere definisjon av vektorer og koordinere rotasjoner.
• @CodyP-spørsmål på Stack Exchange-nettsteder er ‘ t bare for OP. De er også en holdbar ressurs for senere besøkende. Svar på variert nivå er en ønskelig ting, selv om Gary neppe vil få OP ‘ s aksept.
• Sant, men det ‘ er fortsatt verdifullt for å forstå målgruppen din, og definere termer som boosts, tensor eller til og med » transformasjonsgruppe «. Du kan, for en analogi, snakke om effekter av viskositet i et spørsmål om Bernoulli ‘ s lov, men å gjøre det uten omsorg er mer sannsynlig å høres pedantisk og forvirrende enn nyttig og tydelig.
• @CodyP sant, men kanskje en dag besøker OP sine spørsmål og forstår dette

Det virkelige svaret etter min mening er ikke noen underliggende filosofiske argumenter om hva en kraft er. Det virkelige svaret er at å tenke på kraft som en vektor gir deg en modell som tilfredsstiller det viktigste kriteriet for enhver modell: det er enig med eksperiment. Det er også fint og enkelt, noe som er en ekstra bonus.

Å tenke på krefter som vektorer vil tillate deg å komme med spådommer om hva som skjer når du gjør eksperimenter, spesielt eksperimenter der du bruker flere legg for eksempel en kasse på is og trekk i den med tau med fjærvekter innebygd i dem for å måle størrelsen på all kraft er involvert. Mål og skriv ned alle kreftene og deres retninger, tenk på krefter som vektorer, og beregn resultatnatkraften som virker på kassen, noe som burde gi deg en forutsigelse om akselerasjonen. Mål deretter den faktiske akselerasjonen. De to burde være enige om å være feil.

Folk har gjort eksperimenter som dette, både mer og mindre sofistikerte, i lang tid, og så langt har vi ikke funnet noe som tyder på at tenking av krefter som vektorer gir feil resultat. krefter som vektorer vil mest sannsynlig gi nøyaktige resultater neste gang vi trenger å beregne en prediksjon også.

Så vi lærer å tenke på krefter som vektorer fordi det fungerer. Og så kan filosofer krangle om hvorfor det fungerer, vanligvis ved å sette det i sammenheng med et større bilde, som også har motstått testen av eksperimenter.

Når det er sagt, er det naturlige måter å komme opp med ideen om å til og med vurdere at kraften er en vektor. Spesielt har hver styrke en retning og en styrke. Som påpekt i andre kommentarer, betyr dette ikke nødvendigvis at det må være en vektor (kinetisk energi har tydeligvis en retning og en størrelse, men blir vanligvis ikke sett på som en vektor). Men det er nok å spørre om det muligens kan være en vektor, og å begynne å designe eksperimenter rundt den hypotesen.

Kommentarer

• Endringer i kinetisk energi er skalar. Det er ingen absolutt kinetisk energi; hvis en absolutt kinetisk energi er gitt som en vektor, forstås den å være i forhold til en referanseramme, og indikerer i utgangspunktet mengden energi som ville konverteres hvis det gitte objektet skulle slutte å bevege seg i forhold til den rammen. Det kan ikke behandles bare som en vektor; for eksempel to like masser som beveger seg i motsatte retninger, med samme hastighet i forhold til referanserammen, legger ikke til null kinetisk energi.
• @Kaz Din » ingen absolutt » kommentar gjelder også for momentum, slik at ‘ ikke er en god grunn da momentum har vist seg å være nyttig å tenke omtrent som en vektor. Også, » to like masser som beveger seg i motsatte retninger, med samme hastighet i forhold til referanserammen, legger ikke til null kinetisk energi » Jeg ser ikke ‘ problemet. Den kinetiske energien blir intern energi hvis du betrakter de to objektene som ett system. Problemet vises når du bytter til en bevegelig referanseramme, i hvilket tilfelle summen kinetisk energivektor blir null. Det er ikke en god vektortransformasjonsegenskap.
• (Selvfølgelig blir den ikke-null. I bare trøtt. Det virkelige problemet er at hvilken ikke-null vektor den blir, avhenger av systemets interne egenskaper. Er de to objektene like store og beveger seg med samme hastighet, eller er ett objekt større og langsommere? Dette påvirker den transformerte energien » vektor «.)

Jeg hadde dette spørsmålet tidligere også og brukte gode 5 timer på det. Til slutt er forklaringen på dette bare at forskyvningen fungerer som en vektor. Og akselerasjon som det dobbelte derivatet av det fungerer også som en. Hvorfor fungerer forskyvning som en vektor ?? Vel, det følger reglene for trigonometri og forskyvninger i en retning er uavhengig av forskyvningen vinkelrett på den. Derfor definerer vi vektorkonsepter for å omfatte denne oppførselen. Hvorfor følger forskyvning reglene for trigonometri ?? Vel, dette er mer eller mindre funnet ved å observere i stedet for å utlede. Det mest fundamentale grunnlaget for alt innen matematikk er tross alt også observasjon og logikk.

For å få drellen litt ut av veien: du vet at kraft er en vektor fra definisjonen.

For å demonstrere at det virkelig er, ville du utføre eksperimenter: begynn med å feste tre vårskalaer (som fiskerne bruker for å veie fisk) til hverandre på samme punkt, og trekk de andre endene av skalerer horisontalt i 120 graders vinkler med lik ikke-null kraft F. Konfigurasjonen er i den vakre ascii-grafikken nedenfor, og du kan fortelle at kreftene er like ved å se på målingene på hver skala.

 F / / F ----- o \ \ F 

Du vil også legge merke til at festepunktet i midten holder seg stille, det vil si nettokraften er null.

Hvis F var en skalar, ville det være umulig å legge til eller trekke nøyaktig 3 ikke-null F i hvilken rekkefølge som helst, og få 0 som resultat.

Nå som du vet at kraft ikke er en skalar, du vil da prøve å finne ut en måte å få de tre Fene til å legge seg til null, og du merker at hvis du parer retningen til hver vår til hver F, kan du få akkurat det:

 F-----F if you consider the direction each \ / spring was pulled, you can rearrange \ / the forces so that they form a loop, F that is, they add to zero. 

Du ville deretter utføre ytterligere eksperimenter, i forskjellige oppsett, og finner ut at i hvert tilfelle å behandle kraft som en skalar sammenkoblet med en retning gir det riktige resultatet, på hvilket tidspunkt du ville føle seg berettiget i å si: for beregningsformål har kraft både en størrelse og en retning .

En vektor er derimot ikke mer enn en størrelse parret med en retning, så du har eksperimentelt vist at innenfor målingens grenser kraft er en vektor .

Det avhenger av naturen til din tilnærming, og om din tolkning av ordet «vektor». Konseptuelt er en romlig vektor et matematisk objekt som brukes til å kapsle inn størrelser som har både størrelse og retning. Når du bruker en kraft på noe, avhenger nettoresultatet på objektets bevegelse ikke bare av hvor hardt du skyver det, men også i retningen du skyver det, så det er nødvendig å modellere krefter på en måte som tar retningskomponenten i betraktning. Dette er like sant i tre dimensjoner som det er i en. Det er den enkleste måten å tenke på.

Fra et matematisk perspektiv, som du allerede har nevnt, er det implisitt i definisjonen.

«Vi har fokusert diskusjonen vår på en-dimensjonal bevegelse. Det er naturlig å anta at for tredimensjonal bevegelse oppfører kraft som akselerasjon seg som en vektor. «- (Innledning til Mekanikk) Kleppner og Kolenkow.

Newton selv gjorde kreftens vektoriske natur til den første og andre følge av hans tre bevegelseslover:

Resultat I:
Et legeme med to sammenlagte krefter vil beskrive diagonalen til et parallellogram, samtidig som det vil beskrive sidene, av disse kreftene fra hverandre .

Corollary II:
Og derav forklares sammensetningen av en hvilken som helst direkte styrke AD, av to skråstyrker AC og CD, og tvert imot, oppløsningen til en hvilken som helst direkte styrke AD i to skrå krefter AC og CD: hvilken sammensetning og oppløsning er rikelig bekreftet fra mekanikken.

Kort sagt, krefter er kartesiske vektorer, i matematisk forstand av hva som utgjør en vect eller.

Avledningen av disse resultatene i Principia er ganske mistenkelig. Newtons andre lov adresserer nettokraften på objektet mens Newtons tredje lov adresserer hvordan individuelle krefter kommer i par. Men hvordan relatere de individuelle kreftene til nettokraften? I motsetning til Kleppner og Kolenkow, gjør andre tekster en bedre jobb, og sier at krefter er vektorer er i virkeligheten Newtons fjerde bevegelseslov.

En håndbølgesvar (f.eks. Kleppner og Kolenkow) er å hevde at krefter fungerer åpenbart som vektorer, og går deretter videre. En ikke-håndbølgerespons er å aksiomatisk hevde at krefter er vektorer, og deretter gå videre. Det er subtil, men signifikant forskjell mellom disse to responsene. Håndbølgeresponsen etterlater studentene forvirret. Det aksiomatiske kravet inviterer studentene til å stille spørsmål ved aksiomet. Det neste trinnet er selvfølgelig å teste om aksiomet gjelder i laboratorieinnstillinger.

Egentlig er en fysisk kraft ikke en vektor. Det er en linje i 3D. En linje med en styrke. En fysisk kraft inneholder følgende egenskaper

• Retning, $ \ mathbf {e} $
• Et punkt hvor som helst langs linjen, $ \ mathbf {r} $
• Magnitude, $ F $

For å beskrive en fysisk kraft med en vektor kombinerer du størrelsen og retningen til $ \ mathbf {F} = F \, \ mathbf {e } $ en enkelt vektor. Men dette mangler fortsatt informasjonen som trengs for å beskrive en fysisk kraft.

Du trenger også et sted (applikasjonspunktet eller handlingslinjen som det heter). Her har du valget mellom et faktisk poeng $ \ mathbf {r} $, eller equipollent-øyeblikket om opprinnelsen $ \ mathbf {M} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F} $. Hvis du velger sistnevnte, kan du gjenopprette poenget med $ \ mathbf {r} = \ frac {\ mathbf {F} \ times \ mathbf {M}} {\ | \ mathbf {F} \ | ^ 2} $.

Kraftvektoren du er kjent med brukes ofte fordi den overholder reglene for vektoralgebra

• Tillegg er gjort etter komponent $$ \ mathbf {F} _1 + \ mathbf {F} _2 = \ pmatrix {{Fx} _1 + {Fx} _2 \\ {Fy} _1 + {Fy} _2 \\ {Fz} _1 + {Fz} _2} $$
• Skalering gjøres av komponent $$ \ lambda \, \ mathbf {F} = \ pmatrix {\ lambda \, {Fx} \\ \ lambda \, {Fy} \\ \ lambda \ , {Fz}} $$
• Men plasseringene av to fokuser blir ikke som vetorer.

For å representere fysiske krefter med vektorer trenger du 6 komponentmengder kalt skruer $$ \ hat {f} = \ left [\ matrix {\ mathbf {F} \\ \ mathbf {r} \ times \ mathbf {F}} \ right] $$ som følger reglene for lineær algebra og bærer posisjonsinformasjonen inne i dem, og gir de riktige geometriske og algebraiske resultatene.

Kommentarer

• Er dette den niende definisjonen av en kraft » vektor «?
• Les dette innlegget til definisjonen av en skruvektor.

La oss tenke på hva som ville skje hvis kraften var ikke en vektor.

Vær først oppmerksom på at:

Fysikkens lover er uforanderlige i rommet. Et objekt oppfører seg på samme måte når det blir handlet av en styrke enten det er i Paris eller i Beijing.

Videre bemerker vi:

Fysikkens lover er uforanderlige under romlig rotasjon. Å sparke en fotball vil få den til å forsvinne fra deg uansett om du er vendt mot vest eller øst.

Tenk deg at vi brukte en kraft på en ball som hvilte på et bord. La oss si at vi observerer at:

Ballen begynner å rulle østover med en hastighet på 1 m / s.

Vent. Hvor kom «øst» fra? Hvorfor ruller ikke ballen vest ? Dermed konkluderer vi naturlig:

Det må være noe tilleggsinformasjon i kraften vi påførte ballen.

At tilleggsinformasjonen er retning .

I følge Newtons 2. bevegelseslov er kraften som virker på en kropp proporsjonal med hastigheten på endring av momentum og er i den retningen kraften blir brukt. Nå fra uttalelsen kan du se at kraften har en størrelse og en retning. Derfor er det en vektor. Du kan til og med se det som prikkproduktet av masse (skalar) og akselerasjon (vektor) som vil gi deg en vektor.