Jeg har ofte lest at metaller som er Fermi-væsker, skal ha en resistivitet som varierer med temperatur som $ \ rho (T) = \ rho (0) + a T ^ 2 $.
Jeg antar at $ T ^ 2 $ -delen er motstanden på grunn av elektron-elektron-interaksjoner, og den konstante termen skyldes spredning av urenhet.
Er det et enkelt argument for å vise dette? Eller kanskje du kan peke meg på en fin referanse?
Det ser også ut til at for elektron-elektron-interaksjoner å introdusere en endelig resistivitet, er det nødvendig med noen umklapp-spredning (for å bryte galilensk og translationell invarians). Er dette riktig? Hvilke av disse symmetriene (galileiske eller translasjonelle) må brytes?
Kommentarer
- Jeg leter etter et bedre svar, men min enkle forståelse er som følger: $ \ rho \ sim \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 \ sim T ^ 2 $. Og $ \ Im \ Sigma \ sim \ omega ^ 2 $ er det som definerer Fermis flytende oppførsel.
- $ T ^ 2 $ skalering trenger både Umklapp og elektron-elektron spredning. Effektivt deltar en $ O (kT) $ -nærhet av Fermi-overflaten for kvasipartikler i interaksjonene som innebærer skalering arxiv.org/abs/1204.3591 .
- @EverettYou: At ‘ er det jeg tenkte også, men hvor kommer umklappen inn?
- Har noen noen gode referanser om beregningen av umklapp-effekten i Fermi-væsketeorien?
- Det er noen enkle » faseplass » argumenter å motivere $ T ^ 2 $ avhengighet; har du kommet over dem, @jjj?
Svar
Hvordan elektron-elektron-interaksjon fører til en $ T ^ {2} $ -avhengighet kan forklares ved å forstå begrensningene som ligger i elektron-elektron-spredning ved bevaring av momentum og eksklusjonsprinsippet.
Vurder fermi-overflaten til en elektrongass i 3D. Fermi-overflaten er en sfære med radius $ k_ {f} $. Ved endelige temperaturer okkuperer elektroner stater utenfor Fermi-overflaten styrt av Fermi Dirac-ligningen, karakterisert av et skall utenfor Fermi-sfæren med en radius som er proporsjonal med temperaturen. Det er derfor tomme tilstander innenfor Fermi-sfæren innenfor et skall av samme radius.
Hvis vi slår på elektron-elektron-interaksjoner, med små interaksjonsstyrker, kan vi betrakte det som spredning av elektroner mellom disse tilstandene i det ikke-samhandlende bildet ovenfor. Elektroner, som Fermions, kan bare okkupere stater som allerede ikke er okkupert, sammen med tilfredsstillende bevaring av momentum. Dermed må vi velge to elektroner, som begge er på skallene med radius proporsjonal med T, på hver side av overflaten av radius $ k_ {f} $, slik at man kan spre seg i en tom tilstand utenfor $ k_ {f} $ overflate og den andre i en tom tilstand i skallet inne i $ k_ {f} $ overflaten. Dermed er sannsynligheten for å plukke to slike elektroner proporsjonal med $ T ^ 2 $.
Siden bidraget til resistivitet er proporsjonalt med sannsynligheten for disse spredningshendelsene, fører disse interaksjonene til $ T ^ 2 $ avhengighet i motstand.
Det er strengere argumenter, men jeg tror dette gir et intuitivt bilde, gyldig i sammenheng med svake interaksjoner og lav temperatur.
Svar
Eller kanskje du kan peke meg på en fin referanse?
Detaljene bak følgende svar finner du i følgende arXiv-papir (og referanser der) arXiv: 1109.3050v1 .
Er det et enkelt argument for å vise dette?
Det ser ikke ut, men jeg kan si følgende. ledningsevne på grunn av elektron-elektronkollisjoner er vanligvis gitt av: $$ \ sigma = \ frac {n \ e ^ {2} \ \ tau_ {coll} } {m} \ tag {0} $$ hvor $ \ sigma $ er den elektriske ledningsevnen, $ n $ er elektronantettheten, $ e $ er grunnleggende ladning , $ m $ er elektronmasse , og $ \ tau_ {coll} $ er den gjennomsnittlige kollisjonstidsskalaen (eller avslapningshastigheten). Merk at resistivitet , $ \ eta $, bare er det motsatte av ledningsevnen i den skalære tilnærmingen.
For en Landau-Fermi-væske , kan den gjennomsnittlige avslapningshastigheten for elektroner på en Fermi-overflate vises: $$ \ tau_ {coll} ^ {- 1} = \ frac {\ alpha \ \ left (m * \ right) ^ {3} \ \ left (k_ {B} \ T \ right) ^ {2}} {12 \ \ pi \ \ hbar ^ {6}} \ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ right)}} \ rangle \ tag {1} $$ hvor $ \ alpha $ er effektiviteten av momentumoverføring til det ioniske gitteret som en dimensjonsløs mengde som tilfredsstiller $ \ alpha $ < 1, $ k_ {B} $ er Boltzmann-konstant , $ \ hbar $ er Planck-konstant , $ W \ left (\ theta, \ phi \ right) $ er sannsynligheten for overgang for uelastisk spredning.
Sitering fra det refererte arXiv-papiret ovenfor:
Imidlertid er det faktum at et solid ikke har full oversettelsessymmetri har viktige konsekvenser. Allerede i 1937 demonstrerte Baber en mekanisme for endelig motstand i en tobåndsmodell der $ s $ elektroner er spredt fra tyngre $ d $ hull ved en skjermet Coulomb-interaksjon … enkeltbånds Umklapp-prosesser tillater momentumoverføring til krystallkoordinatsystem …
der Umklapp-prosesser refererer til elektron- fonon og / eller fonon-fononspredning i et gitter. Forfatterne viser også at begrepet i vinkelparentene kan integreres i følgende: $$ \ langle \ frac {W \ left (\ theta, \ phi \ right)} {\ cos {\ left (\ theta / 2 \ høyre)}} \ rangle = 12 \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ left (\ pi \ \ hbar \ right) ^ {5}} {\ left (m * \ right) ^ {3} \ \ epsilon_ {F} *} \ tag {2} $$ der $ \ lambda _ {\ tau} $ er en dimensjonsløs parameter som beskriver samhandlingen effektiv i polaron -polaron-spredning og $ \ epsilon_ {F} * $ er Fermi-energien til polaronene. Etter litt algebra kan vi vise at: $$ \ frac {\ hbar} {\ tau_ {coll}} = \ alpha \ \ lambda _ {\ tau} ^ {2} \ frac {\ pi} {\ epsilon_ {F } *} \ left (\ pi \ k_ {B} \ T \ right) ^ {2} \ tag {3} $$
Dermed er resistiviteten proporsjonal med $ \ eta \ propto T ^ {2} $.