Svar
Hvis hastigheten er en funksjon av tiden, er den totale avstanden bare integralen med hensyn til tid. For eksempel er avstanden reist $ D $ for et objekt som beveger seg med en hastighet $ v (t) $ over et tidsintervall $ t_0 $ til $ t_f $, er
$ D = \ int_ {t_0} ^ {t_f} v (t) dt $
Dette er elementær beregning. Hvis du ikke visste dette allerede, vet du nesten ikke kalkulator, og dette er ikke stedet å prøve å lære deg et kurs i kalkulator. Uansett – du vil bare trenge kalkulator for å løse dette problemet.
Kommentarer
- Ja … jeg gjorde ikke ' t se dette svaret av en eller annen grunn. +1. Godt poeng om å trenge å kjenne kalkulator allerede.
Svar
Vel, du kan alltid legge et målebånd mellom sluttposisjonen og utgangsposisjonen og se hva den leser 😉
Men seriøst skjønt: Jeg gjetter at alt du vet er hastigheten som en funksjon av tiden, ikke sant? du må gjøre en integral. Hastighet er definert som tidsavledet av posisjon,
$$ \ mathbf {v} (t) = \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {x} (t)} {\ mathrm {d } t} $$
og hvis du inverterer formelen (teknisk: løser differensiallikningen) for å løse for posisjonsendringen, får du
$$ \ mathbf {x} (t) = \ int_ {t_i} ^ {t_f} \ mathbf {v} (t) \ mathrm {d} t $$
Svar
Du bruker integrert kalkulator. Den tilbakelagte avstanden er integralen av hastigheten over tid.
Hvis hastigheten var konstant, ville den tilbakelagte avstanden være hastigheten multiplisert med tiden.
Hvis hastigheten endres, vi vet ikke hvilken hastighet vi skal bruke. Løsningen er å dele tiden opp i små biter – si et minutt. Hvor raskt reiste du i det første minuttet? Multipliser hastigheten med ett minutt for å få den tilbakelagte avstanden i det første bare minutt. Hvor raskt reiste du i det andre minuttet? Multipliser det med ett minutt for å få den tilbakelagte avstanden i det andre minuttet. Legg til disse to for å få total distanse i de to første minuttene, og gjenta for hele turen . Nå har du et estimat for den totale avstanden.
Hvis hastigheten endres betydelig i løpet av ett minutt, mislykkes denne metoden igjen. Ikke noe problem, bare del opp tiden i intervaller på ett sekund. Finn hastigheten i hver sekund, multipliser med ett sekund, og legg dem sammen. Hvis hastigheten endres betydelig på ett sekund, bruk intervaller på .01 sekunder osv.
Vanligvis, når du bruker mindre og mindre tidsintervaller og beregner total avstand, vil du oppdage at den totale avstanden du beregner konvergerer til et hvilket som helst tall. For eksempel kan du finne en avstand på 10,45 m hvis du beregner i 1-minutters biter, 10,87 m i ett sekund biter, 10,88 m i .01s biter og 10,88 m i .0001s biter. Da vet du at den faktiske tilbakelagte avstanden er 10,88m.
Denne prosessen kalles «å ta en integral». Noen ganger er det mulig å finne integralen nøyaktig uten å dele ting opp i biter. For eksempel, hvis hastigheten endres med en konstant hastighet, så hastighet = akselerasjon * tid for noe nummer «akselerasjon», er den tilbakelagte avstanden nøyaktig 1/2 * akselerasjon * tid ^ 2. For mer informasjon, les hvilken som helst bok om integral calculus. For å lære hvordan du programmerer disse algoritmene effektivt, se etter teknikker for numerisk integrering.
Svar
Det kommer an på om du mener å finn den endelige forskyvningen , $$ \ mathbf {D} = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ mathbf {v} \: dt, $$ eller bokstavelig talt tilbakelagt avstand . Tenk på forskjellen mellom de to på denne måten: Hvis du reiser fra New York til London og tilbake igjen, vurderer du lengden på begge beina på reisen, eller bare forskjellen mellom din opprinnelige og endelige destinasjon? Med ord, reiste du (omtrent) 11.000 km, dit og tilbake, eller (omtrent) 0 km siden du avviklet der du startet? Førstnevnte er avstanden du har reist, sistnevnte er størrelsen på forskyvningen din.
Hvis det er total tilbakelagt avstand du vil ha, er formelen $$ S = \ int_ {t_0} ^ { t_1} v \: dt, $$ hvor $ v $ er størrelsen på hastighetsvektorvektoren din $ \ mathbf {v} $. Merk at dette generelt er forskjellig fra størrelsen på forskyvningen $ D = | \ mathbf {D} | $, med mindre bevegelsen alltid er i en retning.
Hvis du kjenner hastigheten som en funksjon av tiden, er du ferdig. Men hvis du har gitt banen, men ikke hastigheten, blir det litt vanskeligere.Tenk på Pythagoras teorem eller avstandsformel: $$ \ Delta s ^ 2 = \ Delta x ^ 2 + \ Delta y ^ 2. $$ Det er også riktig i tre dimensjoner for uendelige dimensjoner: $$ ds ^ 2 = dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2. $$ Derfor: $$ \ left (\ frac {ds} {dt} \ right) ^ 2 = \ frac {dx ^ 2 + dy ^ 2 + dz ^ 2} {dt ^ 2} = v ^ 2. $$ Eller: $$ S = \ int_ {t_0} ^ {t_1} \ sqrt {\ left (\ frac {dx} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac { dy} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {dz} {dt} \ right) ^ 2} \: dt. $$ Du kan også finne lengder på kurver som ikke er gitt i form av tid, men ved en annen parameter, til og med en av koordinatene (bare erstatt $ t $ med den parameteren ovenfor, for eksempel hvis du har en kurve som en funksjon på $ x $, erstatt deretter hver $ dt $ med $ dx $, og vær oppmerksom på $ dx / dx = 1 $).
Svar
I prinsippet, som de andre sier, må du beregne integralen av hastigheten over tid for å bestemme den tilbakelagte avstanden.
Men en ikke-konstant hastighet betyr ikke nødvendigvis at funksjonen som beskriver hastigheten er komplisert. For eksempel kan du kanskje vite gjennomsnittshastigheten ved å bare analysere hastighetsfunksjonen.
Si at hastigheten øker lineært med tiden: konstant akselerasjon. Deretter kjenner du starthastigheten (ved A ) og slutthastigheten (ved B ), og du kan enkelt beregne gjennomsnittet:
$ $ v_ {avg} = \ frac {v_ {B} – v_ {A}} {t_B – t_A} $$
Svar
Du kan bruke en enkel måte å inkludere kalkulator på. Finn først den maksimale verdien av s (avstand / forskyvning). Ved å bruke differensieringsformelen: ds / dt.Tilfør deretter tidsverdien (t) til s-ligningen.
EXAMPLE:Lets say t=2 then apply the vale to the s equation say : s=20t-5t^2 =20(2)-5(2)^2 =40-20=20 So the max value of s=20 then multiply with 2 and voila you got your total distance(s=40m). Håper dette hjelper.
Svar
Integrering av hastighet er OK, men vanligvis gjør jeg enklere ting for å vite svaret.
Det kommer an på konteksten. Reiste du sa?
En kilometerteller er det ideelle instrumentet. Biler, sykkel, fotgjengere kan bruke en.
Jeg kan bruke en GPS i biler, bykes, fotgjenger, fly og havskilpadder osv., supplert med Google Maps. Lastebiler har en oversikt over øyeblikkelig hastighet for revisjonsformål (tror jeg), denne måten er mer komplisert fordi du må integrere.
En filmkamera er noen ganger nyttig for å registrere og holde oversikt over den gjennomkjørte plassen. Den brukes i sport og dansere og til å studere kroppsbevegelsen. I fotballkamper på TV gir de oss noen ganger avstanden som hver spiller krysset. De må kjenne vinkelen på spillfeltet med opptakskameraet, identifisere spilleren .. og SUM til tidligere data. En oppsummering er mer brukt i den virkelige verden enn integrering fordi vi tar tiltak med tidsintervaller og akkumulerer til tidligere data. En integral antar at vi har en kontinuerlig strøm av data.
Hvis objektet er raskt sammenlignet med lyshastighet, må data relativistisk korrigeres som det samme hvis du later til å måle det rommet du har krysset når du går en rulletrapp i forhold til gulvet på rulletrappene eller den ytre bygningen.
Hvor interessant at våre sinn har et automatisk komplisert svar .
Svar «Hvis du vil vite det gjennomkjørte rommet må du ha å kjenne hastigheten» glemmer det å vite hastigheten er vanskeligere (trenger å vite mer: plassen og tiden som brukes i hvert øyeblikk)