Layman ' s forklaring og forståelse av Einstein ' s feltligninger

Einsteins ligninger kan løst oppsummeres som hovedforholdet mellom materie og romtidens geometri . Jeg vil prøve å gi en kvalitativ beskrivelse hva hvert begrep i ligningen betyr. Jeg må imidlertid advare potensielle lesere om at dette ikke vil være et kort svar. Videre vil jeg avstå fra å prøve å utlede ligningene på » elementær » måte, da jeg absolutt ikke vet om noen.

Matter

På høyre side av equa det viktigste er utseendet til energimomentstensor $ T _ {\ mu \ nu} $ . Den koder nøyaktig hvordan materien – forstått i vid forstand, dvs. hvilken som helst energi (eller masse eller momentum eller trykk) som bærer medium — distribueres i universet. For å forstå hvordan du tolker abonnementsindeksene til $ T $ , se min forklaring på metrisk tensor nedenfor.

Den multipliseres med noen grunnleggende naturkonstanter $ \ Big ($ faktoren $ \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} \ Big ) $ men dette er ikke av avgjørende betydning: Man kan se på dem som bokføringsverktøy som holder oversikt over enhetene av mengdene som er relatert til ligningen. Faktisk tar profesjonelle fysikere vanligvis friheten å omdefinere våre måleenheter for å forenkle utseendet på uttrykkene våre ved å kvitte seg med irriterende konstanter som dette. Et spesielt alternativ ville være å velge » reduserte Planck-enheter «, der $ 8 \ pi G = 1 $ og $ c = 1 $ , slik at faktoren blir $ 1 $ .

Differensial g eometri

På venstre side av Einsteins ligninger finner vi noen få forskjellige begreper, som sammen beskriver geometrien i romtiden. Generell relativitetsteori er en teori som bruker det matematiske rammeverket kjent som (semi-) Riemannian geometry . I denne grenen av matematikk studerer man mellomrom som i en viss forstand er glatt , og som er utstyrt med en beregning . La oss først prøve å forstå hva disse to tingene betyr.

Glatthetsegenskapen kan illustreres med det intuitive (og historisk viktige!) Eksempel på en glatt (todimensjonal) overflate i vanlig tredimensjonalt rom . Tenk deg for eksempel overflaten til en idealisert fotball, dvs. en 2-sfære. Nå, hvis man retter oppmerksomheten mot en veldig liten overflate (hold ballen opp til ansiktet), virker det som om ballen er ganske flat. Imidlertid er det åpenbart ikke globalt flat. Uten hilsen til matematisk strenghet kan vi si at mellomrom som har denne egenskapen til å vises lokalt flate, er glatte i noen forstand. Matematisk kaller man dem mangfoldige. Selvfølgelig er en globalt flat overflate som et uendelig papir det enkleste eksemplet på et slikt rom.

I Riemannian geometri (og differensial geometri mer generelt) studerer man slike glatte rom (manifolder) av vilkårlig dimensjon. En viktig ting å innse er at de kan studeres uten å forestille seg at de er innebygd i et høyere dimensjonalt rom, dvs. uten visualiseringen vi kunne bruke med fotballen, eller noen annen referanse til hva kan være eller ikke være » utenfor » selve plassen.En sier at man kan studere dem, og geometrien deres, iboende .

Metrikken

Når det gjelder å studere geometrien til manifolder, er den viktigste objektet for studien er metrisk (tensor). Fysikere betegner det vanligvis med $ g _ {\ mu \ nu} $ . På en eller annen måte gir det oss en forestilling om avstand på manifolden. Vurder et todimensjonalt manifold med metrisk, og sett et » koordinatgitter » på det, dvs. tildel til hvert punkt et sett med to tall, $ (x, y) $ . Deretter kan beregningen sees på som en $ 2 \ ganger 2 $ matrise med $ 2 ^ 2 = 4 $ innganger. Disse oppføringene er merket med abonnementene $ \ mu, \ nu $ , som hver kan plukkes til å være like $ x $ eller $ y $ . Målingen kan da forstås som en rekke tall:

$$ \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} $$

Vi bør også si at beregningen er definert slik at $ g _ {\ mu \ nu} = g _ {\ nu \ mu} $ , dvs. at den er symmetrisk med hensyn til indeksene. Dette antyder at i vårt eksempel $ g_ {xy} = g_ {yx} $ . Vurder nå to punkter som er i nærheten, slik at forskjellen i koordinatene mellom de to er $ (\ mathrm {d} x, \ mathrm {d} y) \;. $ Vi kan betegne dette med kort beskrivelse som $ \ mathrm {d} l ^ \ mu $ der $ \ mu $ er enten $ x $ eller $ y \;, $ og $ \ mathrm {d} l ^ x = \ mathrm {d} x $ og $ \ mathrm {d} l ^ y = \ mathrm {d} y \;. $ Deretter definerer vi kvadratet til avstanden mellom de to punktene, kalt $ \ mathrm {d} s \;, $ som

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {yy} \ mathrm { d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $$

For å få en ide om hvordan dette fungerer i praksis, la oss se på en uendelig to- dimensjonalt flatt rom (dvs. ovennevnte ark papir), med to » standard » plankoordinater $ x, y $ definert på den av et firkantet rutenett. Så vet vi alle fra Pythagoras «teorem at

$$ \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm { d} y ^ 2 = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu $ $

Dette viser at i dette tilfellet er den naturlige beregningen på flatt todimensjonalt rom gitt av

$ $ g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {yy} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end { pmatrix} $$

Nå som vi visste hvordan vi » måler » avstander mellom punkter i nærheten , kan vi bruke en typisk teknikk fra grunnleggende fysikk og integrere små segmenter for å oppnå avstanden mellom punkter som fjernes ytterligere:

$ $ L = \ int \ mathrm {d} s = \ int \ sqrt {\ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x, y \}} g _ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} l ^ \ mu \ mathrm {d} l ^ \ nu} $$

Ge neralisering til høyere dimensjoner er grei.

Krumningstensorer

Som jeg prøvde å hevde i det ovennevnte, definerer den metriske tensoren geometrien til manifolden vår (eller romtid, i det fysiske tilfellet) . Spesielt skal vi kunne trekke ut all relevant informasjon om krumningen til manifolden fra den. Dette gjøres ved å konstruere Riemann (krumning) tensor $ R ^ {\ mu} _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} $ , som er et veldig komplisert objekt som, analogt med matrisevisualiseringen av beregningen, kan betraktes som et firedimensjonalt array, hvor hver indeks kan ta $ N $ verdier hvis det er $ N $ koordinater $ \ { x ^ 1, \ prikker x ^ N \} $ på manifolden (dvs. hvis vi har å gjøre med et $ N $ -dimensjonalt rom). Det er definert rent med hensyn til beregningen på en komplisert måte som ikke er så viktig for nå. Denne tensoren inneholder stort sett all informasjon om krumningen til manifolden — og mye mer enn oss fysikere vanligvis er interessert i. Noen ganger er det imidlertid nyttig å ta en titt på Riemann-tensoren hvis man virkelig vil vite hva som skjer.For eksempel garanterer en overalt forsvinnende Riemann-tensor ( $ R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ rho \ sigma} = 0 $ ) garanterer at romtiden er flat. Et kjent tilfelle der noe slikt er nyttig, er i Schwarzschild-metrikk som beskriver et svart hull, som ser ut til å være entall i Schwarzschild-radiusen $ r = r_s \ neq 0 $ . Ved inspeksjon av Riemann-tensoren blir det tydelig at krumningen faktisk er endelig her, så man har å gjøre med en koordinat singularitet i stedet for en » ekte » gravitasjons singularitet.

Ved å ta visse » deler av » Riemann-tensoren, kan vi forkaste noe av informasjonen den inneholder til gjengjeld for å bare måtte håndtere et enklere objekt, Ricci-tensoren:

$$ R_ { \ nu \ sigma}: = \ sum _ {\ mu \ in \ {x ^ 1, \ prikker x ^ N \}} R ^ \ mu _ {\ \ \ \ nu \ mu \ sigma} $$

Dette er en av tensorene som vises i Einstein-feltligningene. den andre termen av ligningene inneholder Ricci skalar $ R $ , som er definert av nok en gang kontrahering ( et fancy ord for » som summerer over alle mulige indeksverdier for noen indekser «) Ricci-tensoren, denne gangen med inversen metrisk $ g ^ {\ mu \ nu} $ som kan konstrueres fra den vanlige beregningen ved hjelp av ligningen

$$ \ sum _ {\ nu \ i \ {x ^ 1, \ prikker, x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ rho} = 1 \ \ tekst {if} \ mu = \ rho \ \ text {og} 0 \ \ text {ellers} $$

Som lovet er Ricci-skalaren sammentrekningen av Ricci-tensoren og den inverse beregning:

$$ R: = \ sum _ {\ mu, \ nu \ in \ {x ^ 1, \ dots x ^ N \}} g ^ {\ mu \ nu} R _ {\ mu \ nu} $$

Selvfølgelig inneholder Ricci-skalaren nok en gang mindre informasjon enn Ricci-tensoren, men den er enda enklere å håndtere Bare multipliser det med $ g _ {\ mu \ nu} $ resulterer igjen i en todimensjonal matrise, akkurat som $ R _ {\ mu \ nu} $ og $ T _ {\ mu \ nu} $ er. Den spesielle kombinasjonen av krumningstensorer som vises i Einstein-feltligningene, er kjent som Einstein-tensor

$$ G _ {\ mu \ nu}: = R _ {\ mu \ nu} – \ frac {1} {2} R g _ {\ mu \ nu} $$

Den kosmologiske konstanten

Det er ett begrep vi har utelatt så langt: Den kosmologiske konstante termen $ \ Lambda g _ {\ mu \ nu} $ . Som navnet antyder, er $ \ Lambda $ ganske enkelt en konstant som multipliserer beregningen. Dette begrepet blir noen ganger satt på den andre siden av ligningen, da $ \ Lambda $ kan sees på som en slags » energiinnhold » i universet, som kan være mer hensiktsmessig gruppert med resten av saken som er kodifisert av $ T _ {\ mu \ nu} $ .

Den kosmologiske konstanten er hovedsakelig av interesse fordi den gir en mulig forklaring på den (i) berømte mørke energien som ser ut til å stå for visse viktige kosmologiske observasjoner. Hvorvidt den kosmologiske konstanten egentlig ikke er null i vårt univers, er et åpent spørsmål, som forklarer verdiobservasjonene antyder for det (det såkalte kosmologiske konstante problemet aka » den verste spådommen om teoretisk fysikk noensinne har gjort «, en av mine personlige interesser).

---

PS. Som påpekt i kommentarene, hvis du likte dette, kan du også like å lese dette spørsmålet og svarene på det, som adresserer den andre viktig ligning av generell relativitet, som beskriver bevegelsen til » testpartikler » i buede romtider.

Einsteins ligning knytter materieinnholdet (høyre side av ligningen) til geometrien (venstre side) av systemet. Det kan oppsummeres med «masse skaper geometri, og geometri fungerer som masse».

For mer detalj, la oss vurdere hva en tensor er. En to-indeks tensor (som er det vi har i Einsteins ligning), kan betraktes som et kart som tar en vektor inn i en annen vektor. For eksempel tar stress-energi tensoren en posisjonsvektor og returnerer en momentvektor (matematisk, $ p _ {\ nu} = T _ {\ nu \ mu} x ^ {\ mu} $, og jeg blander sammen vektorer og medvektorer overalt for å forenkle diskusjonen). Tolkningen er at høyre side av Einsteins ligning forteller oss fremdriften som passerer gjennom en overflate definert av posisjonsvektoren.

Venstre side kan også tolkes på denne måten. Ricci-krumningen $ R _ {\ mu \ nu} $ tar en posisjonsvektor og returnerer en vektor som forteller oss hvor mye krumningen endrer seg gjennom overflaten definert av $ \ vec {x} $. Andre og tredje termer, som begge har faktorer for metrisk $ g _ {\ mu \ nu} $, forteller oss hvor mye avstandsmålinger som endres når vi reiser langs vektoren. Det er to bidrag til denne endringen i avstand – den skalære krumningen $ R $ og $ \ Lambda $. Hvis $ R _ {\ mu \ nu} $ er «krumning i en enkelt retning», er $ R $ «total krumning». $ \ Lambda $ er en konstant som forteller oss hvor mye medfødt energi tomt rom har, slik at alle avstander blir større for $ \ Lambda > 0 $.

Så , å lese ligningen fra høyre mot venstre, «Einsteins ligning forteller oss at momentum (bevegelig masse) forårsaker både krumning og en endring i hvordan avstander måles.» Lesing fra venstre mot høyre, «Einsteins ligning forteller oss at krumning og endring avstand fungerer akkurat som bevegelig masse. «

Kommentarer

• Wow – flott forenklet forklaring.
• @levitopher Hvorfor det ‘ kalles » stress » i stress-energi?
• Det var dette OK: en.wikipedia.org/wiki/Stress_(mechanics)

Steg til trinn-avledning av Einstein feltligninger (EFE) på bloggen min: http://www.thespectrumofriemannium.com/2013/05/24/log105-einsteins-equations/

Betydningen av EFE (av Wheeler): «Romtid forteller materie hvordan man beveger seg, materieenergi forteller romtid hvordan man kurver»

Enkle ord for EFE: «Geometry» = «Krumning» (ingen torsjon i generell relativitet innebærer at energimomentumet er symmetrisk, da det viser seg å være tilfelle av metriske, Ricci tensor og Einstein tensor).

En mer seriøs betydning er følgende:

-Vensterhånds side: Einstein tensor er laget av to (tre hvis du teller det kosmologiske begrepet) stykker. De måler krumningen forårsaket av at en lokal romtidsmåling ikke er konstant (Minkowski-metrisk er flat romtid, tyngdekraften er slått på innebærer at målingen er et felt, dvs. avhengig av de lokale romtidskoordinatene), og det innebærer en lokal krumning målt av krumningskalæren og Ricci-tensoren, som kombineres på den måten Einstein (og Hilbert) gjorde, gir en divergenceløs strøm (dvs. bevaring av energimomentum ved å tilsvare høyre side).

-Høyrehendt side: energimoment av felt, noe som forårsaker vridning av romtid / kurve / bøy. Du kan legge til det kosmologiske begrepet på denne siden, og deretter kalle mørk energi … Det gir at mørk energi på en eller annen måte (med litt forsiktighet) er energien til vakuum romtid. Og vi tror det ikke bare er null, men den viktigste kosmiske ingrediensen som gjør materienergien for øyeblikket (omtrent 70%, WMAP + PLANCK-satellitter ser ut til å være enige i dette …).