Hva er den mest generelle formen for bølgligningen? Er det $ \ frac {\ partial ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = 0 $?
Kan for eksempel $ \ frac {\ delvis ^ 2 \ Psi} {\ partial t ^ 2} -v ^ 2 \ nabla ^ 2 \ Psi = cte $ være en bølgeligning? Hvis ja, hva er løsningen i så fall.
Svar
Jeg er ikke sikker på hva du mener med $ cte $ , men jeg antar at det er konstant, men jeg tolker feil
Vi snakker ofte om to klasser av differensialligning, homogen og inhomogen. Dette skillet er roten til spørsmålet ditt, \ begynn {ligning } \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec {r}, t) = 0 \ end {ligning} er den homogene formen for bølgelikningen, mens \ begin {ligning} \ frac {1} {v ^ 2} (\ partial_t) ^ 2 f (\ vec {r}, t) – \ nabla ^ 2 f (\ vec { r}, t) = u (\ vec {r}, t) \ end {ligning} er den inhomogene bølgelikningen ($ u (\ vec {r}, t) $ kan også være konstant hvis vi vil). Dette oppstår over alt. Et eksempel er at elektromagnetisk stråling i nærvær av ladninger og strømmer styres av den inhomogene bølgelikningen, den homogene formen er bare gyldig når $ \ rho = 0 $ og $ \ vec {J} = 0 $. Avhengig av hvem du spør, tror jeg de fleste fortsatt vil si det inhom ogeneous wave equation is a wave equation, but that «s up to taste as its s solutions can end up with a very different character to the homogeneous.
Generelt er det ikke mye jeg kan si om disse løsningene siden de «avhenger sterkt av formen på $ u $, selv om jeg er sikker på at noen googling vil gi deg mange eksempler.
Kommentarer
- Perfekt. Og hva med dempet bølgeligning? Hva er formen?
Svar
Mason håndterte skillet mellom inhomogene og homogene differensiallikninger, men hvis en snakker om den mest generelle mulige formen for bølgelikningen, det er,
$$ \ square \ phi ^ {i_1 \ dots i_m} _ {j_1 \ dots j_n} (x) = f ^ { i_1 \ prikker i_m} _ {j_1 \ prikker j_n} (x) $$
der begge feltene er rangert $ (m, n) $ tensorer, handlet av Laplace-Beltrami-operatøren $ \ square = \ nabla ^ a \ nabla_a $ hvis innvirkning på tensorene avhenger av både beregningen og rang. For et skalarfelt med metrisk $ \ eta _ {\ mu \ nu} $ reduseres det til den mest kjente formen for bølgelikningen, $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $. (Ovennevnte kan også omarbeides på språket til differensialformer.)
På en måte dekker dette imidlertid ikke alle mulighetene. For eksempel, for generell relativitet, for en forstyrrelse $ h_ {ab} $ av beregningen, er den første ordensendringen i krumningen,
$$ \ delta R_ {ab} \ propto \ Delta_L h_ { ab} = \ kvadrat h_ {ab} -2 \ nabla _ {(a} \ nabla ^ c \ bar {h} _ {b) c} -2 R_ {d (a} h ^ d_ {b)} +2 R_ {acbd} h ^ {cd} $$
som forstås som den kurvede «bølgeoperatøren» i litteraturen fordi den absolutt tillater bølgeløsninger, men er tydeligvis ikke ekvivalent med bølgelikningen ovenfor som den andre begreper som involverer krumningstensorer. Dermed er den «mest generelle formen» for bølgligningen ikke noe vi virkelig kan skrive ned, med mindre ideen din om det er strengt $ (\ partial ^ 2_t – \ nabla ^ 2) \ phi = f $.
