Dette er lav nøyaktighet – men likevel enkelt – svar

Det lar deg bare beregne radial justeringskonfigurasjon av planetene.

Hvis du ønsker en tilnærming, la oss si, du tilnærmer planetenes plassering som hender i en klokke, kan du regne ut matematikken med noe som dette.

Anta $ \ theta_i $ er den opprinnelige vinkelen for planeten $ i $ på tiden $ t_0 $ – målt fra en vilkårlig, men fast posisjon, og $ l_i $ er lengden på året – i dager – for planeten $ i $.

Så fortsetter det å løse dette ligningssystemet:

$$ x \ equiv \ theta_i \ left (\ mod \ l_i \ right) $$

Herfra vil du bare bruke Kinesisk restsetning .

Å finne minimum x, vil gi deg vinkelen som planeten som på $ t_0 $ hadde vinkel $ \ theta_i = 0 $ ville ha reist til en justering -konfigurasjon ble nådd. EN Når du summerer, velger du Jorden som den nevnte planeten, og deler deretter vinkelen med en fullstendig revolusjon ($ 360 ^ {o} $), så får du antall år for at konfigurasjonen skal nås – fra $ t_0 $ -konfigurasjonen.

De forskjellige $ \ theta_i $ i grader for alle planetene 1. januar 2014 – du kan bruke dette som $ t_0 $:

\ begin {align} Mercury & \ quad 285.55 \\ Venus & \ quad 94.13 \\ Earth & \ quad 100.46 \\ Mars & \ quad 155.60 \\ Jupiter & \ quad 104.92 \\ Saturn & \ quad 226.71 \ \ Uranus & \ quad 11.93 \\ Neptune & \ quad 334.90 \ end {align}

Kilde

De forskjellige $ l_i $ i dager for alle planetene:

\ begin {align} Mercury & \ quad 88 \\ Venus & \ quad 224.7 \\ Earth & \ quad 365.26 \\ Mars & \ quad 687 \\ Jupiter & \ quad 4332.6 \\ Saturn & \ quad 10759.2 \\ Uranus & \ quad 30685.4 \\ Neptune & \ quad 60189 \ end {align}

Til slutt under et heltall verdsetter tilnærming og bruker dette online-løser for ligningssystemet er svaret $ x = 4.0384877779832565 \ ganger 10 ^ {26} $ som delt på $ 360 ^ {o} $ gir deg omtrent $$ 1.1218 \ ganger 10 ^ {24} \ quad \ text { år} $$

Rediger 1

Fant nettopp dette nettstedet du kanskje vil leke med. Det er et interaktivt flashapplikasjon med nøyaktig plassering av planetene.

Jeg vet også at all informasjonen kan fås fra denne NASA-siden og det er så nøyaktig du kan få, men det er bare uforståelig for meg nå. Jeg vil prøve å revidere det senere når jeg finner tid.

Også denne boka av Jean Meeus kalt Astronomical Algorithms dekker alle grunnleggende euqasjoner og formler – det har imidlertid ingenting med programmeringsalgoritmer å gjøre.

Edit 2

Seeing at du er en programmerer, kan det være verdt for deg å sjekke ut NASA-nettstedet jeg nevnte ovenfor, dataene til alle planetene kan til og med nås via $ \ tt {telnet} $.Eller dette Sourceforge-nettstedet hvor de har implementeringer for mange av ligningene som er beskrevet i boka også nevnt ovenfor.

Kommentarer

• $ x \ equiv \ theta_i (\ mod l_i) $ fungerer det samme i kommentarer. Jeg tror, din tilnærming er den beste du kan gjøre uten overdreven simulering. Alt du trenger å gjøre er å sette inn de faktiske dataene; det har vært den delen som fikk meg til å nøle med å gi et svar.
• @Gerald oh jeg trodde at ligninger markering ikke fungerte ‘ i kommentarer. Ja, jeg ‘ mangler dataene, spesielt $ \ theta_i $. Jeg vil legge til de forskjellige $ l_i $ -informasjonene.
• Hvordan kunne solarsystemskopet vise planetens nøyaktige relative posisjoner når deres avstand fra solen ikke er riktig? Det kan vise hver planetenes posisjon i forhold til solen korrekt isolert og dermed være bra for dette spørsmålet, men ikke for å finne sammenhenger.
• @LocalFluff Det stemmer. Dette gir bare svar på radial justeringskonfigurasjoner. Redigert.
• Det er flere feil i dette svaret. Først, ved å bruke alle sifrene i tabellene dine (som innebærer konvertering til centidgrees og helligdager) får jeg faktisk $ x \ approx1.698 \ times10 ^ {42} $ (fra det samme onlineverktøyet), som utgjør $ 1,29 \ times10 ^ {33 } $ år Jeg vet ikke ‘ hvordan du oppnådde den lavere verdien, men jeg mistenker sterkt at du har utelatt noen sifre. For det andre viser dette at når du legger til flere sifre, har løsningen en tendens til uendelig: det riktige svaret er: radiell justering forekommer aldri . Til slutt antar vi at planetene ‘ baner følger denne enkle bevegelsen, bare er feil .

Det riktige svaret er « aldri «, i flere grunner. Første , som påpekt i Florins kommentar, er planetens baner ikke plan og kan derfor umulig justere , selv om hver planet kunne plasseres vilkårlig i sitt baneplan. Andre , til og med ren radial justering skjer aldri fordi planetens perioder er uoverensstemmelige – deres forhold er ikke rasjonelle tall. Endelig , planetene «baner utvikler seg over tidsskalaer på millioner av år, hovedsakelig på grunn av deres gjensidige tyngdekraft dra. Denne evolusjonen er (svakt) kaotisk og dermed uforutsigbar i veldig lange tider.

feil svar fra harogaston tilnærmer i det vesentlige omløpstidene av nærmeste verdifulle tall, noe som gir veldig lang tid (selv om han gjorde det galt med en faktor på bare $ 10 ^ {16} $).

Et mye mer interessant spørsmål (og kanskje det du faktisk var interessert i ) er hvor ofte de 8 planetene nesten justerer seg radielt . Her kan « nesten » ganske enkelt bety « innen $ 10 ^ \ circ $ sett fra solen «. Ved en slik anledning vil planetenes gjensidige tyngdekraft trekke seg sammen og dermed resultere i sterkere orbitale endringer enn gjennomsnittet.

Ethvert estimat av den vanlige perioden på mer enn to planeter (dvs. etter hvor lang tid justerer de seg omtrent i heliosentrisk lengdegrad igjen?) avhenger veldig sterkt av hvor mye avvik fra perfekt justering er akseptabelt.

Hvis perioden til planeten $ i $ er $ P_i $, og hvis akseptabelt avvik i tid er $ b $ (i de samme enhetene som $ P_i $), så vil den kombinerte perioden $ P $ på alle $ n $ planetene er omtrent $$ P \ approx \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$, så å redusere akseptabelt avvik med en faktor 10 betyr å øke den vanlige perioden med en faktor på $ 10 ^ {n-1} $, som for 8 planeter er en faktor på 10.000.000. Så det er meningsløst å sitere en vanlig periode hvis du ikke også spesifiserer hvor mye avvik som var akseptabelt. Når akseptabelt avvik avtar til 0 (for å oppnå «perfekt justering»), så øker den vanlige perioden til uendelig. Dette tilsvarer flere kommentatorer «uttaler at det ikke er noen vanlig periode fordi periodene ikke er forholdsmessige.

For planetene» perioder oppført av harogaston, $ \ prod_i P_i \ ca. 1,35 \ ganger10 ^ 6 $ når $ P_i $ blir målt i julianske år på 365,25 dager hver, så den vanlige perioden i år er omtrent $$ P \ approx \ frac {1,35 \ times10 ^ 6} {b ^ 7} $$ hvis $ b $ også måles i år. Hvis periodene er tilnærmet til nærmeste dag, vil $ b \ ca. 0,00274 $ år og $ P \ ca. 1,2 \ times10 ^ {24} $ år. Hvis periodene tilnærmes til nærmeste 0,01 dag, så $ b \ ca. 2,74 \ times10 ^ {- 5} $ og $ P \ ca. 1,2 \ times10 ^ {38} $ år.

Avledningen av formelen ovenfor er som følger:

Omtrentlig planetenes «perioder med multipler av en basisenhet $ b $: $ P_i \ approx p_i b $ hvor $ p_i $ er et helt tall. Da er den vanlige perioden maksimalt lik produktet til alle $ p_i $. Produktet måles fortsatt i enheter på $ b $; vi må multiplisere med $ b $ for å gå tilbake til de opprinnelige enhetene. Så , er den vanlige perioden omtrent $$ P \ approx b \ prod_i p_i \ approx b \ prod_i \ frac {P_i} {b} = b \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ n} = \ frac {\ prod_i P_i} {b ^ {n-1}} $$

Ovennevnte avledning tar ikke hensyn til at $ p_i $ kan ha vanlige faktorer slik at justeringen skjer raskere enn $ \ prod_i p_i $ antyder. Hvorvidt to $ p_i $ har felles faktorer eller ikke, avhenger imidlertid sterkt av den valgte basisperioden $ b $, så det er effektivt en tilfeldig variabel og påvirker ikke den globale avhengigheten av $ P $ på $ b $.

Hvis du uttrykker akseptabelt avvik i form av vinkel i stedet for tid , så forventer jeg at du får svar som avhenger av størrelsen på akseptabelt avvik som sterkt som for ovennevnte formel.

Se http://aa.quae.nl/en/reken/periode.html for en graf på $ P $ som en funksjon av $ b $ for alle planeter inkludert Pluto.

EDIT:

Her er et estimat med akseptabelt avvik i form av vinkel . Vi vil at alle planeter skal være innenfor et breddeområde av bredden $ δ $ sentrert på lengden til den første planeten; lengdegraden til den første planeten er fri. Vi antar at alle planeter beveger seg i samme retning i sirkulære bane rundt sola.

Fordi planetene » perioder er ikke like, alle kombinasjoner av planetenes lengdegrader forekommer med samme sannsynlighet. Sannsynligheten $ q_i $ for at et bestemt tidspunkt er lengden på planeten $ i > 1 $ innenfor segmentet for bredden $ δ $ sentrert på lengden på planeten 1 er lik til $$ q_i = \ frac {δ} {360 °} $$

Sannsynligheten $ q $ for at planetene 2 til og med $ n $ ligger innenfor samme segment av lengdegrad sentrert på planeten 1 er da $ $ q = \ prod_ {i = 2} ^ n q_i = \ left (\ frac {δ} {360 °} \ right) ^ {n-1} $$

For å oversette sannsynligheten til en gjennomsnittlig periode, må vi estimere hvor lang tid alle planetene er justert (til innenfor $ δ $) hver gang de er justert.

De to første planetene som mister sin gjensidige innretting, er de raskeste og tregeste av planetene. Hvis deres synodiske periode er $ P _ * $, vil de være i justering i et intervall $$ A = P_ * \ frac {δ} {360 °} $$ og deretter være ute av justering en stund før de kommer i justering igjen Så hver innretting av alle planeter varer omtrent et intervall $ A $, og alle disse oppstillingene til sammen dekker en brøkdel $ q $ av all tid. Hvis den gjennomsnittlige perioden etter at en annen innretting av alle planeter oppstår er $ P $, så vi må ha $ qP = A $, så $$ P = \ frac {A} {q} = P_ * \ left (\ frac {360 °} {δ} \ right) ^ {n-2} $$

Hvis det bare er to planeter, så er $ P = P _ * $ uavhengig av $ δ $, som er som forventet.

Hvis det er mange planeter, er den raskeste planeten mye raskere enn den tregeste, så da er $ P _ * $ nesten lik omløpsperioden til den raskeste planeten.

Også her er estimatet for gjennomsnittlig tid mellom påfølgende justeringer veldig følsom overfor den valgte avviksgrensen (hvis det er mer enn to planeter involvert), så det er meningsløst å sitere en slik kombinert periode hvis du ikke også nevner hvilket avvik som var tillatt.

Det er også viktig å huske at (hvis det er mer enn to planeter), opptrer disse (nesten-) linjene ikke intervaller.

La oss nå plugge inn noen tall. Hvis du vil at alle de 8 planetene skal være innrettet innen 1 lengdegrad, er gjennomsnittstiden mellom to slike justeringer omtrent lik $ P = 360 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ {15} $ baner til den raskeste planeten. For solsystemet er kvikksølv den raskeste planeten, med en periode på ca. 0,241 år, så da er gjennomsnittstiden mellom to linjeringer av alle 8 planetene innen 1 lengdegrad omtrent $ 5 × 10 ^ {14} $ år.

Hvis du allerede er fornøyd med en justering innen 10 lengdegrad, er gjennomsnittsperioden mellom to slike justeringer omtrent lik $ P = 36 ^ 6 = 2,2 × 10 ^ 9 $ baner av kvikksølv, 500 millioner år.

Hva er den beste tilpasningen vi kan forvente i løpet av de neste 1000 årene? 1000 år er ca 4150 baner av kvikksølv, så $ (360 ° / δ) ^ 6 \ ca 4150 $, så $ δ \ ca 90 ° $. I et intervall på 1000 år valgt tilfeldig, er det i gjennomsnitt en innretting av alle 8 planetene innenfor et segment på 90 °.

Teknisk sett er den sanne måten å finne perioden mellom innretting av alle de 8 planetene, å finne LCM for alle 8 av deres årslengder.

LCM (88, 225, 365, 687, 4333, 10759, 30685, 60189) = 814252949520007202031000. Jeg forstår at dette er et grovt estimat siden disse er avrundet til nærmeste heltall, men det gir en god ide av antall dager det vil ta.

814252949520007202031000/365 = 2230829998684951238441. Det er hvor mange år.

Kommentarer

• Dette ser ut til å være den samme metoden som beskrevet i Caters ‘ s answe r .