QM-spinnoperatøren kan uttrykkes i form av gammamatriser og jeg prøver å gjøre en øvelse der jeg viser identitet som bruker $ \ gamma ^ 5 $ og $ {\ mathbf {\ alpha}} $:
$$ \ mathbf {S} = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ mathbf {\ alpha} $$
I mitt første forsøk gjorde jeg dette direkte i Dirac-representasjonen, men øvelsen sier at jeg ikke kan gjøre dette, kan noen gi råd? Er det noen identitet eller triks som gjør at jeg kan gjøre dette?
For å avklare er $ \ alpha $ følgende matrise der elementene som ikke er null er Pauli-matriser:
$ \ alpha ^ i = \ left [{\ begin {array} {cc} 0 & {\ sigma ^ i} \\ {\ sigma ^ i} & 0 \\ \ end {array}} \ right] $
$ \ textbf {S} = \ frac {1} {2} \ Sigma $
hvor
$ \ Sigma = \ left [{\ begin {array} {cc} {\ sigma ^ i} & 0 \\ 0 & {\ sigma ^ i} \\ \ end {array}} \ right] = – i \ alpha_ {1} \ alpha_ {2} \ alpha_ {3} \ mathbf {\ alpha } $
Kommentarer
- Hva er $ \ alpha $ og $ {\ bf S} $ eksplisitt?
- Alpha er matrisen hvis oppføringer ikke er i den ledende diagonalen, er Pauli-matriser, men ikke sikker på hvordan det hjelper.
- Hvordan forventer du at vi hjelper deg med å bevise en identitet uten en klar definisjon av alle involverte symboler?
- @Hollis Sikkert kan du i det minste si hva $ \ alpha $ skal bety. Det ' er ikke en standardnotasjon som gammamatrisene er.
- $ \ mathbf {\ alpha} $ er like standard som $ \ gamma $ matriser. De fleste vanlige fysikkbøker introduserer $ \ mathbf {\ alpha} $ selv før $ \ gamma $ -matriser.
Svar
Jeg følger konvensjonene på Wikipedia med følgende definisjoner $$ \ Sigma ^ {\ mu \ nu} = \ frac {i} {4} [\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu], \ qquad S ^ i = \ frac {1} {2} \ epsilon ^ {ijk} \ Sigma ^ {jk}, \ qquad \ alpha ^ i = \ gamma ^ 0 \ gamma ^ i, \ qquad \ gamma ^ 5 = i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3. $$ $$ hvor $$ \ {\ gamma ^ \ mu, \ gamma ^ \ nu \} = 2 \ eta ^ {\ mu \ nu}, \ qquad \ eta ^ {\ mu \ nu} = \ text {diag} (1, -1, -1, -1). $$ Når det er sagt, bemerker vi nå $$ S ^ i = \ frac {i} { 4} \ epsilon ^ {ijk} \ gamma ^ j \ gamma ^ k $$ Eksplisitt, $$ S ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3, \ qquad S ^ 2 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 1, \ qquad S ^ 3 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 $$ Deretter $$ \ frac {1} { 2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 1 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 = \ frac {i} {2} \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 = S ^ 1, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ 2 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 2 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 3 = S ^ 2, \\ \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alfa ^ 3 = \ frac {1} {2} i \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 \ gamma ^ 3 \ gamma ^ 0 \ gamma ^ 3 = – \ frac {i} {2} \ gamma ^ 1 \ gamma ^ 2 = S ^ 3, \\ $$ Dermed $$ S ^ i = \ frac {1} {2} \ gamma ^ 5 \ alpha ^ i. $$