Vet noen hva som ville være $ tr (t ^ at ^ bt ^ ct ^ d) $, hvor $ t ^ a $ etc er Gell-Mann matriser? Dette skjedde ved analyse av fargefaktoren for compton-effekten for QCD. Så må være ganske vanlig, men jeg kunne ikke finne en ordentlig referanse. Generelt er det noen referanse for spor av vilkårlig antall Gell Mann-matriser?
Svar
Jeg tar SU (N) generatorer i den grunnleggende representasjonen normaliserte slik at $$ \ text {Tr} \ left [T ^ a T ^ b \ right] = \ frac {1} {2} \ delta ^ {ab} $$
Kommutatoren til to generatorer definerer strukturkonstantene $ f ^ {abc} $
$$ \ left [T ^ a, T ^ b \ right] = if ^ {abc} T ^ c $$
Forstyrreren til to generatorer er
$$ \ left \ {T ^ a, T ^ b \ right \} = \ frac {1} {N} \ delta ^ { ab} 1 + d ^ {abc} T ^ c $$
hvor jeg med $ 1 $ mener identitetsmatrisen og $ d ^ {abc} $ er «d-symbolet» definert som
$$ d ^ {abc} = 2 \ tekst {Tr} \ venstre [\ venstre \ {T ^ a, T ^ b \ høyre \} T ^ c \ høyre] $$
Deretter er det en nyttig identitet
$$ \ text {Tr} \ left [T ^ aT ^ bT ^ cT ^ d \ right] = \ frac {1} {4N} \ delta ^ { ab} \ delta ^ {cd} + \ frac {1} {8} \ left (d ^ {abe} d ^ {cde} – f ^ {abe} f ^ {cde} + if ^ {abe} d ^ { cde} + hvis ^ {cde} d ^ {abe} \ right) $$
Jeg foreslår at du refererer til http://scipp.ucsc.edu/~haber/ph218/sunid17.pdf der forskjellige sporidentiteter samles. For din sak, se på ligning 75 i vedlegg B, side 9.
Kontroller normaliseringen av generatorene før du bruker denne identiteten.
Kommentarer
- Som regel er bare svarene aktivt motet, for hvis lenken blir død, er svaret ubrukelig. Bruk Mathjax til å redigere de aktuelle ligningene slik at svaret kan stå alene.
- @Angela hvis dette svarer på spørsmålet ditt, bør du merke det som besvart.