Tommelfingerregel for filterordre (Norsk)

Min favoritt " Tommelfingerregel " for rekkefølgen på et lavpass FIR-filter er " Fred Harris tommelfingerregel ":

$$ N = \ frac {f_s} {\ Delta f} \ cdot \ frac {\ rm atten_ {dB}} {22} $$

hvor

• $ \ Delta f $ er overgangsbåndet, i samme enheter av $ f_s $
• $ f_s $ er samplingsfrekvensen til filteret
• $ \ rm atten_ {dB} $ er målavvisning i dB

Hvis du for eksempel har et overgangsbånd på 100 Hz i et system som er samplet ved 1 kHz, og avvisningskravet ditt er 50 dB i stoppbåndet, rekkefølgen kan tilnærmes av:

$$ N = \ frac {1 \ \ rm kHz} {100 \ \ rm Hz} \ cdot \ frac {50} {22} = 23 \ \ rm taps \ tag {runding opp} $$

Takk Fred Harris!

Legg merke til en annen mer detaljert formel som tar hensyn til passbånd ripple er Kaisers formel takket være James Kaiser fra Bell Labs, som jeg inkluderte i grafikken min nedenfor.

For de fleste applikasjoner jeg har gjort, har Fred Harris-tilnærmingen vært helt fin, som gitt en viss avvisning. , de resulterende filtrene ved bruk av tradisjonelle filterdesignalgoritmer som Parks-McClellan og Remez har overskredet kravene mine for passbåndsvipp når de oppfyller avvisningskravet. (Det jeg vanligvis gjør er å estimere rekkefølgen, designe filteret med den rekkefølgen, inspisere resultatet og øke eller redusere ordren derfra for å finjustere). Resultatene fra estimatene er bare det: estimater, og kan variere mye avhengig av generelle designparametere og ikke for å bli antatt å være en nøyaktig løsning.

For de som er kjent med filterdesign ved hjelp av vindusinngang, kan du se gjennom rutevognen eller det rektangulære vinduet (som er enkel avkorting) avslører hvorfor det tar $ f_s / \ Delta f $ kraner (som er det samme som $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ hvis enhetene for normalisert frekvens er radianer / prøve som ofte gjøres) for å fullføre overgangsbåndet. Se bildene nedenfor som hjelper til med å forklare dette.

Det øverste bildet nedenfor viser forventet sink i frekvens for et rektangulært vindu i tide, i dette tilfellet som en ikke-kausal rektangulær puls sentrert på $ t = 0 $ . Dette gjentas i diskrete former som en kausal bølgeform som starter ved $ t = 0 $ , begge med Discrete Time Fourier Transform (DTFT) og Discrete Fourier Transform (DFT) hvor forskjellen er prøvene i tid strekker seg til $ \ pm \ infty $ for DTFT, noe som resulterer i en kontinuerlig bølgeform i frekvensdomenet. I begge tilfeller er resultatet en alias Sinc-funksjon som er periodisk over intervallet $ f = [0, f_s) $ , med nøkkelpunktet for $ N $ prøver i tid for den rektangulære funksjonen, vil frekvensresponsen ha sin første null ved $ f = 1 / N $ (Hvor $ f $ er den normaliserte frekvensen med 1 som samplingsfrekvens).

Dette neste bildet nedenfor viser den rektangulære vinduet tilnærming til filterdesign (som jeg aldri vil anbefale, men er informativ). Det første plottet i øvre venstre hjørne viser målfrekvensresponsen for filteret vårt som et ideelt " murvegg " svar. Ikke bland det med " rutevognvinduet " (eller " rektangulært vindu ") som også er en rektangulær form – vinduet er i tidsdomenet!

For å realisere et slikt filter, vil vi bruke impulsresponsen til ønsket frekvensrespons som koeffisienter i vårt FIR-filter (koeffisientene til filteret er impulsresponsen — sette en impuls i og ut kommer alle koeffisientene!). Impulsresponsen for en rektangulær frekvensrespons (brickwall) er den inverse FT som er en Sinc-funksjon, i tidsdomenet, vist i nedre venstre hjørne som " Nødvendig impulsrespons ". En Sink-funksjon strekker seg til pluss og minus uendelig, så for å virkelig realisere et slikt filter, trenger vi et uendelig langt filter, og det vil ha uendelig lang forsinkelse. Tydeligvis kan vi ikke gjøre det, så vi avkorter koeffisientene til noe som er realiserbart. Jo lenger filteret er, jo nærmere tilnærmer vi den ideelle murveggresponsen, men også jo lenger forsinkelsen vil være (og jo flere ressurser vi trenger når det gjelder filterkonstruksjonen; flere trykk).

Avkorting av impulsresponsen i tidsdomenet er matematisk identisk med å multiplisere med et rektangulært vindu i tidsdomenet. (Merk at impulsresponsen også er forsinket med halve varigheten av vinduet for at systemet skal være kausalt). Multiplisering i tidsdomenet tilsvarer konvolusjon i frekvensdomenet. Frekvensdomenet (FT) av impulsresponsen før avkuttingen er vårt opprinnelige ønskede murveggsfrekvensrespons. respons for det rektangulære vinduet er en Sinc-funksjon i frekvensdomenet.

Så når vi avkorter ønsket impulsrespons (multipliser i tid med et rektangulært vindu), konvolverer vi ønsket frekvensrespons e med en sinkfunksjon, noe som resulterer i en tilnærming av vårt målfrekvensrespons som vist i øvre høyre hjørne av bildet nedenfor.

En viktig take-away for Sinc-funksjoner generelt er den første null er $ 1 / T $ der $ T $ er varigheten av den rektangulære funksjonen. For et samplet system ville den første null være på $ 2 \ pi / N $ der $ N $ representerer antall prøver for varigheten av den rektangulære funksjonen. På bildene brukes en normalisert radianfrekvens for frekvensaksen- (hvis det forvirrer, vet du bare at $ 2 \ pi $ er radianfrekvensen for samplingsfrekvensen). Så i prosessen med konvolusjonen sprer den skarpe murveggovergangen seg ut og i dette tilfellet går til 0 (vår $ \ Delta \ omega $ ) over en frekvens på $ 2 \ pi / N $ ! Så her $$ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $$ og selvfølgelig er filteret dårlig med sidelober osv. Merk deg dette: Denne overgangen fra Sink-funksjonen er det skarpeste tilgjengelig for et gitt antall kraner; den har den beste oppløsningen i frekvens, men det dårligste dynamiske området (avvisning). Andre vindustypologier (Blackman, Blackman-harris, Kaiser (min favoritt) osv.) Vil forbedre dynamisk rekkevidde betydelig, men alltid på bekostning av overgangen.

Så fra ovenstående ser vi opprinnelsen til $ 2 \ pi / \ Delta \ omega $ som brukes i tilnærmelsesformlene, og vi ser også hvorfor det er en ekstra multiplikasjonsfaktor som øker antall kraner over dette for typiske filterdesigner; det rektangulære vinduet ville gi oss best mulig overgang med $ N $ kraner der $ N = 2 \ pi / \ Delta \ omega $ men har veldig dårlig avvisning. Flere kraner brukes til å glatte tidsovergangen lenger enn den skarpe overgangen til det rektangulære vinduet, noe som gir større avvisning på bekostning av overgangsbåndbredden.

Kommentarer

• Bare for å unngå forvirring, formelen du kaller " Kaiser ' s formel " er faktisk formelen for Parks McClellan optimale filtre (faktisk funnet av Kaiser), men ikke for Kaiser-vinduemetoden. Sistnevnte har ikke ' t to forskjellige $ \ delta $ verdier, men bare en.
• Faktisk god avklaring Matt siden det er en Kaiser vindu metode. Denne formelen er imidlertid referert til og kjent som " Kaiser ' s Formel " i litteratur, bare slik at leserne ikke ' ikke tror det var min egen bruk av det ordet. engold.ui.ac.ir/~sabahi/Advanced%20digital%20communication/…
• Kjempebra!Ser ut som det kom fra side 48 i Fred Harris ' bok: " Multirate Signal Processing for Communication Systems "?
• Tommelfingerregelen eller bildene? Bildene er mine for en klasse jeg gjør. Jeg har ikke ' t fred ' s bok, men jeg er en stor fan og ble introdusert for hans " tommelfingerregel " av ham på en DSP World-presentasjon han gjorde tilbake rundt 1996. (Merk at han insisterer på at navnet hans skal staves med små bokstaver).
• @DanBoschen Er formelen for Parks McClellan også gyldig når du designer FIR-filtre for båndpass? Hvis ikke, er det en annen " tommelfingerregel " som kan brukes?