Dette spørsmålet kan være litt lat, men kan noen gi meg et bevis på Hill-sfæreformelen? I følge wikipedia er formelen for radiusen $ r $
$$ r \ approx a (1-e) \ venstre (\ frac {m} {3M} \ høyre) ^ {1/3} $$
hvor en kropp med masse $ m $ kretser rundt en mye mer massiv kropp med masse $ M $ med en semi-hovedakse $ a $ og eksentrisk $ e $.
Kommentarer
- Se på introduksjonen i denne artikkelen .
- Plasser en testmasse mellom to masser, anta at opprinnelsen er i den større massen og beregne hvor størrelsene til begge kreftene er like?
- @Dave at ‘ er ganske kult papir (jeg ‘ planla å få gjort noe i dag, men nå …), og Jeg er sikker på at den ‘ er der inne; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ og » Lengdenheten skaleres med faktoren µ $ {} ^ { 1/3} $ » men jeg ser ikke ‘ t hvordan du får tak i (1- e ) foran så lett.
- Fordi en (1-e) er periastron?
- Det ser ut til at de ‘ faktisk har lagt til en avledning til wikipedia-siden – interessant nok noe som ikke er nevnt på wikipedia-siden er at denne overflaten ikke er sfærisk, det refererer til når en partikkel på aksen går tapt (i det minste i løpet av en enkelt hendelse – flere ikke-resonante hendelser striper til slutt alt materiale utenfor av Hill-radiusen som etterlater en kule)
Svar
Hill-kule er definert litt annerledes enn Roche-lappen , men radiusen er tilnærmet med avstanden til Lagrange-punkter L 1 og L 2 .
For sirkulær bevegelse med vinkelhastighet $ \ omega $ rundt opprinnelsen har vi:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
Akselerasjonen på grunn av tyngdekraften fra en punktmasse på en annen masse i posisjon $ \ mathbf {r} $ er gitt av den vanlige omvendte firkantede loven:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Vurder nå et to-kroppssystem med masser $ m_1 $ og $ m_2 $ , atskilt med en avstand $ r $ kretser rundt deres felles massesenter (com) på avstander $ r_1 $ og $ r_2 $ henholdsvis.
sub > 1 < / sub >
Dette er et endimensjonalt system, slik at vi kan bytte fra vektorer til skalarer. Fra definisjonen av massesenteret har vi:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
For banen til $ m_2 $ rundt massesenteret, som tilsvarer gravitasjonsakselerasjonen med den nødvendige akselerasjonen for sirkelbevegelse, gir:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
Og deretter uttrykke $ r_2 $ når det gjelder $ r_1 $ gir Kepler tredje lov:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Neste finner vi avstand til L 1 punktet, hvor gravitasjonskreftene til primær og sekundær kombineres for å gi den nødvendige akselerasjonen for sirkelbevegelse.Å ligne akselerasjonen for sirkulær bevegelse med gravitasjonskreftene gir:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
Og erstatter $ \ omega $ resulterer i:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ høyre)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ venstre (r – h \ høyre) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Skriv deretter om dette når det gjelder masseforholdet $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ og den relative avstanden $ z = \ frac {h} {r} $ , noe som gir:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Dette resulterer i en kvintisk ligning for $ z $ , som må løses numerisk ettersom generelle quintics ikke har algebraiske løsninger (Jeg er nei t skal late som å forstå beviset på dette ).
Forutsatt at vi er i en situasjon der $ m_1 \ gg m_2 $ , som er en god tilnærming for solsystemets planeter, kan vi gjøre tilnærminger for å unngå å løse kvintikken. I dette tilfellet er Hill-sfæren mye mindre enn skillet mellom de to objektene, noe som betyr at vi kan tilnærme oss:
$$ \ begin {aligned 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ approx 1 + 2z \ end {align} $$
Der den andre linjen er binomial tilnærming . Dette gir:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Omorganisere å løse for $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
Og deretter bruke definisjonene $ z $ og $ q $ dette blir
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Hvilken er den vanlige formelen for størrelsen på Hill-sfæren.
For L 2 , Lagrange-punktet ligger utenfor det sekundære, slik at ligningen av gravitasjonskraft og sirkelbevegelse blir:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h «\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h» \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h «^ 2} $$
Hvor $ h «$ er avstanden fra sekundær til L 2 -punktet.
Erstatning i $ \ o mega $ og omskriving i form av $ q $ og $ z «= \ frac {h»} { r} $ gir:
$$ 1 + z «\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z» \ right ) ^ {- 2} + qz «^ {- 2} $$
Dette igjen gir en kvintisk ligning for $ z» $ , men vi kan gjøre omtrentlige tilnærminger til saken for L 1 :
$$ \ begin {align} 1 + q & \ approx 1 \\ \ left (1 + z «\ right) ^ {- 2} & \ approx 1 – 2z «\ end {align} $$
Dette gir:
$$ 1 + z» \ approx 1 – 2z » + qz «^ {- 2} $$
Forenkling og erstatning av variablene igjen:
$$ h» \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Dette fungerer for sirkulære baner. For eksentriske baner er den vanlige tilnærmingen å bare erstatte avstanden $ r $ med midtstrekningsavstanden $ a \ left (1 – e \ right) $ der $ a $ er den største aksen. En strengere tilnærming ville være å bruke vinkelhastigheten i sentrum og utlede derfra, men jeg lar den være som en øvelse for den interesserte leseren 🙂
Kommentarer
-
+1Don ‘ t glem quod erat demonstrandum !
Svar
Hill sfære er oppkalt etter John William Hill (1812–1879) og dens enkle logikk følger av tilstedeværelsen av tre kropper (la oss anta at solen er den største massen med jorden som sekundærmasse og en satellitt med ubetydelig masse som kretser rundt jorden som den tredje massen), hvor radiusen til Hill-sfæren vil være den største radius der en satellitt kan bane den sekundære massen (jorden i dette tilfellet). Hvis bane overstiger Hills-radiusen, vil den falle til den første kroppens (solens) tyngdepåvirkning og vil derfor ikke lenger være en satellitt for den sekundære kroppen.
Man kan skrive Newtons ligninger ved å bruke ideen om at satellitten har samme vinkelhastighet som det sekundære objektet.Dette er at vinkelhastigheten til jorden rundt solen tilsvarer vinkelhastigheten til satellitten rundt solen. En demonstrasjon om avledningen er gitt i følgende lenke så vel som i Roche-grensen: