Så i $ {\ bf R} ^ {n \ ganger p} $ har vi Frobenius indre produkt gitt av $$ \ langle A, B \ rangle = \ text {tr} (A ^ TB) $$
som kan tolkes som det euklidiske indre produktet på $ {\ bf R} ^ {np } $. Min forståelse er at alle indre produkter på $ {\ bf R} ^ {np} $ kan skrives som $$ a ^ TPb $$ for $ P $ positive-definitive. Det beste jeg kunne gjøre for å forsøke å utvide Frobenius indre produkt på $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $, er noe av formen $$ \ langle A, B \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ N \ text {tr} ((X_iAY_i) ^ T (X_iBY_i)) $$ for $ X_i \ i {\ bf R} ^ {m_i \ ganger n} $ og $ Y_i \ i {\ bf R} ^ {p \ ganger q_i} $ all full rangering. Imidlertid vil jeg vite om dette dekker alle indre produkter på $ {\ bf R} ^ {np} $, eller om det kanskje er mer komplisert enn nødvendig på grunn av permitteringer.
Jeg finner tilsvarende $ P $ -matrise for ethvert spesifikt matriseprodukt ved å ta standardgrunnlaget for $ {\ bf R} ^ {n \ times p} $ og danne matrisen
\ begin {bmatrix} \ langle E_1 , E_1 \ rangle & \ langle E_1, E_2 \ rangle & \ prikker & \ langle E_1, E_ {np} \ rangle \\ \ langle E_2, E_1 \ rangle & \ langle E_2, E_2 \ rangle & & \ vdots \\ \ vdots & & \ ddots \\ \ langle E_ {np }, E_1 \ rangle & \ dots & \ dots & \ langle E_ {np }, E_ {np} \ rangle \ end {bmatrix}
men jeg vet ikke om den generelle formen for et matrisens indre produkt jeg ga ovenfor dekker alle positivt bestemte matriser $ P $.
Oppdatering:
nyere versjon av dette spørsmålet på MathOverflow: https://mathoverflow.net/questions/229675/extending-the-trace-inner-product-to-all-matrix-real-inner-products
Kommentarer
- Velkommen til SciComp.SE! Dette er et interessant spørsmål, men virker mye mer passende for math.stackexchange.com . (Med mindre det ' er en forbindelse til et beregningsvitenskapelig problem, mangler jeg ', i så fall mangler det ' det ville være bra hvis du kunne legge til det.)
- @ChristianClason, det ' er relatert til optimalisering på matriseforgreninger med Riemannian-beregninger siden Riemannian beregninger er indre produkter på det tangente rommet. Det ' er nesten helt sikkert for avansert for Math.SE, det eneste andre passende stedet vil være MathOverflow. Jeg har faktisk funnet det jeg tror er en løsning som jeg kan legge ut som svar når jeg gjør det rotete arbeidet med å bevise at det er en løsning, men hvis du ' vil migrere dette til MathOverflow I ' m ok med det. Jeg ' Jeg legger til optimaliseringskonteksten når jeg får en sjanse.
- Matrisen $ P $ må også være symmetrisk, ikke bare positiv.
- @WolfgangBangerth, positivt-definitivt forstås å innebære symmetrisk.
- Ikke for alle forfattere innebærer positiv-definitet symmetri.
Svar
Du kan se et indre produkt som en operasjon $ f (a, b) = \ left < a, b \ right > $, dvs. det er en bilineær funksjon som (i) returnerer et ikke-negativt tall, (ii) tilfredsstiller forholdet $ f (a, b) = f (b, a) $.
For vektorer $ a, b \ i \ mathbb R ^ n $, kan alle bilineære funksjoner som tilfredsstiller disse egenskapene skrives som $$ f (a, b) = \ sum_ {i, j = 1 } ^ n a_i P_ {ij} b_j $$ der $ P $ er symmetrisk og positiv bestemt. For matriser $ a, b \ i \ mathbb R ^ {n \ ganger p} $, kan alle slike funksjoner skrives som $$ f (a, b) = \ sum_ {i, k = 1} ^ n \ sum_ { j, l = 1} ^ p a_ {ij} P_ {ijkl} b_ {kl} $$ hvor nå $ P $ er en tensor av rang 4 som er symmetrisk i den forstand at $ P_ {ijkl} = P_ {klij} $ og positivt bestemt i den forstand at $ f (a, a) > 0 $ for alle $ a \ neq 0 $.
Spørsmålet ditt koker ned til om hver $ P $ som oppfyller slike betingelser, kan skrives et skjema som er resultatet av vektorene $ X_i, Y_i $. Jeg tror svaret på dette er nei. Dette er rett og slett slik at (for enkelhets skyld antar $ n = p $) symmetrisk $ P $ har (asymptotisk) $ n ^ 4/2 $ frihetsgrader, mens $ n $ vektorene $ X_i, Y_i $ bare har $ 2n ^ 2 $ frihetsgrader. Med andre ord tror jeg ikke at tilnærmingen din har tilstrekkelig mange grader av frihet for tilstrekkelig store $ n $.
Kommentarer
- I tror faktisk svaret er ja, jeg ' kommer til å legge om dette spørsmålet på matematikkoverløp med mine oppdaterte resultater.
- Ja argumentet ditt om at antall parametere vokser kvartalt i vektorens indre produktrom mens det bare er kvadratisk i matrisen, er det indre produktområdet overbevisende, men siden rommet til slutt er endelig, bør vi kunne overvinne dette ved å øke $ N $ riktig.
- Jeg beklager at jeg la ut en nyere versjon av dette spørsmålet på MathOverflow, men det ' er tilstrekkelig oppdatert. Jeg syntes det var passende, her er lenken i tilfelle du vil for å overføre svaret dit eller oppdatere svaret basert på den nyere versjonen. mathoverflow.net/questions/229675/…
- @Thoth Merk at @ ChristianClason rådet du legger ut spørsmålet ditt på math.stackexchange.com, ikke på mathoverflow.net. Det er to forskjellige nettsteder med forskjellige formål og målgrupper.
- @FedericoPoloni ja jeg vet det, og hvis du leser det jeg skrev, sa jeg til ham at jeg syntes det var for avansert for Math.SE og ville sannsynligvis ikke få et svar der.