Ik moet het aantal fotonen berekenen in een lichtbundel met kracht $ P $ . Ik weet dat het een constant vermogen heeft $ P $ over het golflengtebereik $ [\ lambda_1, \ lambda_2] $ . Dus om dit te berekenen, heb ik een formule gebruikt die in een andere SE-vraag werd gegeven:
$$ N = \ frac {1} {h} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {\ nu} \ frac {dE} {d \ nu} d \ nu $$
Het is allemaal goed , en daarmee kwam ik op de proppen met $ N = ln (\ nu_2 / \ nu_1) $ . Maar ik “ben niet helemaal overtuigd van die formule, omdat ik” niet kan afleiden uit $ E = N (\ nu) h \ nu $ .
Het antwoord dat ik krijg van de formule lijkt juist, maar ik heb daarvoor bewijs nodig.
Bron voor de vergelijking: Aantal fotonen
Reacties
- Dus wat is de uitdrukking voor $ dE / d \ nu $ die je gebruikte om je integraal te evalueren?
- Nou, het vermogen is gelijkmatig verdeeld over het interval, dus ik zei $ E = h \ nu $, dus $ dE / d \ nu = h $
- Waarom niet $ E = 2h \ nu $ ? Er zijn veel mogelijkheden. Waarom kiest u voor één specifieke? De vergelijking $ E = h \ nu $ heeft betrekking op de energie van een enkel foton. Wat als u geen enkele fotonbron heeft? Zelfs als uw bron een enkel foton is. Deze dingen produceren gewoonlijk vele duizenden pulsen van één foton per seconde, dus nogmaals, uw keuze voor $ E $ lijkt vreemd.
- Het ' is niet zo vreemd . Ik ' m bereken het totale aantal fotonen uitgezonden door de bron, en ze zijn gelijkmatig verdeeld. Hiermee bedoel ik dat het vermogen hetzelfde is voor elke frequentie in het bereik. Dus $ E = h \ nu $ zou de functie moeten zijn die ik wil. Indien dit niet het geval is, corrigeer me dan.
Antwoord
Vermogen is de hoeveelheid energie die per seconde wordt overgebracht, dus je hebt gewonnen ” ik kan het aantal fotonen niet berekenen. In plaats daarvan berekent u het aantal fotonen per seconde. Ik neem $ P $ om het totale straalvermogen binnen de frequentie aan te duiden bereik van $ \ nu_1 $ tot $ \ nu_2 $ .
Het aantal fotonen per seconde in een klein spectraal interval $ \ delta \ nu $ zal afhangen van de verhouding tussen het bundelvermogen in dat spectrale interval en de energie per foton in het spectraal interval.
Het vermogen van de straal is gelijk aan het aantal fotonen per seconde, gedeeld door de energie per foton. De fotonen hebben een frequentiebereik, $ \ nu_1 $ tot en met $ \ nu_2 $ . Het probleem stelt dat het vermogen hetzelfde is voor elke frequentie cy binnen dat bereik.
Laat N het totale aantal fotonen per seconde zijn dat door de straal wordt getransporteerd. Laten we een klein frequentiebereik kiezen van $ \ nu_i $ tot $ \ nu_i + \ delta \ nu $ . We kunnen net doen alsof alle fotonen in dat kleine bereik dezelfde frequentie hebben, $ \ nu_i $ . Het aantal fotonen per seconde in dat bereik is dus $ \ delta \ nu \ frac {dP / d \ nu} {h \ nu_i} $ . Maar $ dP / d \ nu $ is een constante: $$ dP / d \ nu = P / (\ nu_2- \ nu_1) $$
Om te zoeken het totale aantal fotonen per seconde in het hele bereik, we moeten alle bijdragen van alle kleine bereiken bij elkaar optellen:
$$ N (totaal aantal fotonen / sec) = \ frac {P} {\ nu_2- \ nu_1} \ sum (\ delta \ nu \ frac {1} {h \ nu_i}) $$
over alles $ \ nu_i $ in het bereik. Dat “is gewoon de integraal
$$ N = \ frac { P} {\ nu_2- \ nu_1} \ int _ {\ nu_1} ^ {\ nu_2} \ frac {1} {h \ nu} d \ nu $$
waarbij $ N $ het aantal fotonen per seconde is binnen het bereik van $ \ nu_1 $ tot $ \ nu_2 $ .
(Hopelijk heb ik geen fouten gemaakt in de wiskunde. Ik ben erg onhandig met MathJax.)
Reacties
- Dat is prima, maar wat ik wilde weten is de afleiding voor de formule. Ik bedoel , hoe kom je daar vanaf $ E = Nh \ nu $?
- $ N $ in de formule die ik gaf is een aantal fotonen per seconde . $ N $ in $ E = Nh \ nu $ is een aantal fotonen, niet een aantal fotonen per seconde.
- Goed, zeg dan $ P = Nh \ nu $ waar $ N $ het aantal fotonen per seconde is. leid je de formule voor $ N $ af als $ \ nu $ een interval is?
- Ah dus: je moet beter begrijpen wat de integraal betekent. Ik zal mijn antwoord bewerken om dat op te nemen.
- De bewerking maakte het zoveel duidelijker! Maar er is nog een laatste ding dat me stoort …Als je het aantal fotonen per seconde schrijft in het kleine frequentiebereik, hoe krijg je dat dan? Ik kan ' mijn hoofd niet om dit idee heen draaien. Het is de enige twijfel die ik echt had. Vanaf het begin weet ik dat ik een of andere functie boven $ \ nu $ zou moeten integreren, maar ik kon er niet komen. Deze cruciale stap zit me echt dwars, het klinkt heel eenvoudig, maar ik heb het gevoel dat ik ' een stap mis.