In dit antwoord schrijft Jim Clay:
… gebruik het feit dat $ \ mathcal F \ {\ cos (x) \} = \ frac {\ delta (w – 1) + \ delta (w + 1)} {2} $ …
De bovenstaande uitdrukking verschilt niet veel van $ \ mathcal F \ {{ \ cos (2 \ pi f_0t) \} = \ frac {1} {2} (\ delta (f-f_0) + \ delta (f + f_0))} $.
Ik heb geprobeerd om de latere expressie te verkrijgen met behulp van de standaarddefinitie van de Fourier-transformatie $ X (f) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} x (t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt $ maar alle Ik eindig met een uitdrukking die zo verschilt van wat blijkbaar het antwoord is.
Hier is mijn werk:
\ begin {align} x (t) & = \ cos (2 \ pi f_0t) \\ \ Longrightarrow \ mathcal F \ left \ {x (t) \ right \} & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ cos (2 \ pi f_0t) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ frac 12 \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} + e ^ {j 2 \ pi f_0t} \ right) e ^ {- j2 \ pi ft} dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ { + \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} + e ^ {j2 \ pi f_0t} e ^ {- j2 \ pi ft} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t \ left (f_0 + f \ right)} + e ^ {- j2 \ pi t \ left (f-f_0 \ right)} \ right) dt \\ & = \ frac {1} {2} \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f_0 + f)} \ right) dt + \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ left (e ^ {- j2 \ pi t (f-f_0)} \ right) \ right) dt \ end {align}
Hier zit ik vast.
Answer
Je werk is OK, behalve het probleem dat de Fourier-transformatie van $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ niet bestaat in de gebruikelijke betekenis van een functie van $ f $, en we moeten het begrip uitbreiden met zogenaamde distributies, of impulsen, of Dirac-deltas, of (zoals wij ingenieurs gewoonlijk doen, de walging van wiskundigen) delta functies. Lees over de voorwaarden waaraan moet worden voldaan om voor de Fourier-transformatie $ X (f) $ van het signaal $ x (t) $ om te bestaan (in de gebruikelijke zin) en je zult zien dat $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ geen Fourier-transformatie heeft in de gewoon gevoel.
Wat betreft uw specifieke vraag, als u eenmaal begrijpt dat impulsen alleen worden gedefinieerd in termen van hoe ze zich gedragen als integranden in een integraal, dat wil zeggen, voor $ a < x_0 < b $, $$ \ int_ {a} ^ {b} \ delta (x-x_0) g (x) \, \ mathrm dx = g ( x_0) $$ op voorwaarde dat $ g (x) $ continu is op $ x_0 $, dan is het gemakkelijker om af te leiden de Fourier-transformatie van $$ \ cos (2 \ pi f_0 t) = \ left . \ left. \ frac {1} {2} \ right [e ^ {j2 \ pi f_0 t} + e ^ {- j2 \ pi f_0 t} \ right] $$ door te mijmeren over het feit dat $$ \ int_ {- \ infty} ^ \ infty \ delta (f-f_0) e ^ {j2 \ pi ft} \, \ mathrm df = e ^ {j2 \ pi f_0t} $$ en dus moet het $ \ cos (2 \ pi f_0 t) $ is de inverse Fourier-transformatie van $ \ displaystyle \ left. \ left. \ frac {1} {2} \ right [\ delta (f-f_0) + \ delta ( f + f_0) \ right] $.
Antwoord
Dan gebruik gewoon een tabel met Fourier-transformatieparen om te zien dat $ \ delta (t) \ leftrightarrow 1 $, en variabele substitutie ($ f_1 = f + f_0 $ en $ f_2 = f-f_0 $), om te krijgen wat je nodig hebt.
Reacties
- Wat natuurlijk de vraag oproept hoe de persoon die schreef de tabel op en kwam met het antwoord dat in de tabel staat.
- @DilipSarwate 🙂 Nu ' stel je een veel, veel moeilijkere vraag. 🙂
- Zie mijn antwoord voor een versie van het antwoord op de veel moeilijkere vraag die op deze stackexchange zou kunnen komen, zo niet op math.SE!
- @DilipSarwate: jij ' ik heb mijn +1 al. Bedankt, mooi antwoord. Akkoord met de wiskunde.SE-dudes zouden geschokt zijn. Dat is oké, we ' zijn opnieuw ingenieurs. 🙂
- dsp.stackexchange.com/questions/14990/…