Ik wil de afleiding van de frequentievoorstelling van een impulstrein doorlopen.
De definitie van de impulstreinfunctie met periode $ T $ en de frequentierepresentatie met bemonsteringsfrequentie $ \ Omega_s = 2 \ pi / T $ die ik zou willen afleiden is:
\ begin {align *} s ( t) & = \ sum \ limieten_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t – nT) \\ S (j \ Omega) & = \ frac {2 \ pi} {T} \ sum \ limits_ {k = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ Omega – k \ Omega_s) \\ \ end { align *}
Het gebruik van de exponentiële Fourier-reeksweergave van de impulsfunctie en het toepassen van de Fourier-transformatie van daaruit resulteert in:
\ begin {align *} s (t) & = \ frac {1} {T} \ sum \ limit_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} \\ S (j \ Omega ) & = \ int _ {- \ infty} ^ \ infty s (t) e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ int _ {- \ i nfty} ^ \ infty \ frac {1} {T} \ sum \ limieten_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- jn \ Omega_s t} e ^ {- j \ Omega t} dt \\ S (j \ Omega) & = \ frac {1} {T} \ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ sum \ limieten_ {k = – \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- j (k \ Omega_s + \ Omega) t} dt \\ \ end {align *}
Om van daar naar het eindresultaat te komen, lijkt het erop dat de integratie moet over een periode van $ 2 \ pi $ zijn. Waar $ \ Omega = -k \ Omega_s $, zou de exponent $ e ^ 0 $ zijn en integreren met $ 2 \ pi $ en voor andere waarden van $ \ Omega $, zou er een volledige sinusgolf zijn die zou integreren tot nul. De grenzen van integratie zijn echter negatief oneindig tot positief oneindig. Kan iemand dit uitleggen? Bedankt!
Antwoord
Je hebt correct ontdekt dat de voorkomende integralen niet convergeren in de conventionele zin. De gemakkelijkste (en absoluut niet-rigoureuze) manier om het resultaat te zien, is door de Fourier-transformatierelatie op te merken.
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega) $$
Door de verschuiving / modulatie-eigenschap die we hebben
$$ e ^ {j \ Omega_0t} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (\ Omega- \ Omega_0) $$
Dus elke term $ e ^ { jn \ Omega_s t} $ in de Fourier-serie verandert in $ 2 \ pi \ delta (\ Omega-n \ Omega_s) $, en het resultaat volgt.
Opmerkingen
- Dit is perfect en veel gemakkelijker dan ik had bedacht. Heel erg bedankt !!!
- Het andere antwoord was ook correct. Ik veranderde het geaccepteerde antwoord.
Answer
@MattL stelde een mooie, eenvoudige manier voor om het bovenstaande resultaat te zien.
Maar als u wilt het resultaat zien in de normale analysevergelijkingen die u noemde, dan kunt u het onderstaande doen.
Stel dat S (t) een periodieke reeks impulsen is, dus S (t) kan worden geschreven als
$$ \ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty } ^ {\ infty} \ delta (t-nT) $$
Als je nu de fourier-reeks van S (t) neemt, kun je S (t) schrijven als
$$ S (t) = \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} C_ke ^ {jnw_ot} $$
Waar $ C_n $ exponentiële fourierreekscoëfficiënten zijn en $ w_o $ de fundamentele frequentie.
Dus uit exponentiële fourier-reeksen weten we dat
$$ C_n = (1 / T) \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} S ( t) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Vervang nu in de bovenstaande uitdrukking de waarde van S (t) uit de eerste uitdrukking.
Dus $$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} \ delta (t-nT) e ^ {- jnw_ot} dt $$
Nu moet je een observatie maken, als je de integraal observeert, het is van -T / 2 tot + T / 2. Let er tijdens deze integrale periode op dat er slechts één enkele impuls $ \ delta (t) $ bestaat. Alle andere impulsfuncties in de sommatie vinden plaats na T / 2 of voor -T / 2. Dus in totaal kan de bovenstaande vergelijking voor $ C_n $ worden geschreven als
$$ C_n = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t) e ^ {- jnw_ot} $$
Vanuit het selecteren van eigenschap kunnen we het bovenstaande schrijven als
$$ C_n = (1 / T) e ^ {- jw_on (0)} = ( 1 / T) $$
Zet nu deze waarde van $ C_n $ in de eerste S (t) -vergelijking
$$ S (t) = (1 / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} e ^ {jnw_ot} $$
Zoek nu de fourier-transformatie van bovenstaande vergelijking
$$ 1 \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w) $$
$$ e ^ {jw_ot} \ Longleftrightarrow 2 \ pi \ delta (w-w_o) $$
Dus de fourier-transformatie is $$ S (jw ) = (2 \ pi / T) \ sum_ {n = – \ infty} ^ {\ infty} \ delta (w-nw_o) $$
Dit zou moeten helpen.