Betekenis van Fock-ruimte

Stel dat u een systeem heeft dat wordt beschreven door een Hilbert-spatie $ H $ , bijvoorbeeld een enkel deeltje. De Hilbert-ruimte van twee niet-interacterende deeltjes van hetzelfde type als beschreven door $ H $ is gewoon het tensorproduct

$$ H ^ 2: = H \ otimes H $$

Meer in het algemeen, voor een systeem van $ N $ deeltjes zoals hierboven, de Hilbertruimte is

$$ H ^ N: = \ underbrace {H \ otimes \ cdots \ otimes H} _ {N \ text {times}}, $$

met $ H ^ 0 $ gedefinieerd als $ \ mathbb C $ (dwz het onderliggende veld $ H $ ).

In QFT zijn er operators die met elkaar verweven de verschillende $ H ^ N $ s, dat wil zeggen, deeltjes creëren en vernietigen. Typische voorbeelden zijn de aanmaak- en annihilatieoperatoren $ a ^ * $ en $ a $ . In plaats van ze te definiëren in termen van hun actie op elk paar $ H ^ N $ en $ H ^ M $ , mag men een " uitgebreide " definitie geven op de grotere Hilbertruimte gedefinieerd door de directe som van alle multi te nemen -partikelruimten, nl.

$$ \ Gamma (H): = \ mathbb C \ oplus H \ oplus H ^ 2 \ oplus \ cdots \ oplus H ^ N \ oplus \ cdots, $$

bekend als de Fock Hilbert-ruimte van $ H $ en soms ook aangeduid als $ e ^ H $ .

Fysiek gezien is de bovenstaande algemene definitie van Fock-ruimte niet van belang. Van identieke deeltjes is bekend dat ze een duidelijke (para) statistiek waarnemen die de werkelijke Hilbertruimte verkleint (door symmetrisatie / antisymmetrisatie voor het bosonische / fermionische geval enz …).

Opmerkingen

• Fantastisch antwoord! Ik zou willen dat ze de QFT-leerboeken op deze manier schreven.

Geweldige antwoorden, maar voor de volledigheid misschien zal illustratief zijn om een voorbeeld te hebben.

Stel dat uw $ H ^ 1 $ enkele partikeltoestanden bevat $ | a \ rangle $, $ | b \ rangle $, enz. De Fock-ruimte heft de beperking op op zijnde een enkel deeltje, en is samengesteld uit $ H ^ 0 $ (wat 1-dimensionaal is), $ H ^ 1 $, $ H ^ 2 = H \ otimes H $, etc. Dit staat toestanden als

• de vacuümtoestand toe, laten we het de lege ket $ | \ rangle $ noemen,
• alle toestanden van een enkel deeltje, $ | a \ rangle, | b \ rangle, \ ldots $,
• alle twee-deeltjestoestanden, $ | aa \ rangle, | ab \ rangle, | ba \ rangle, \ ldots $ (NB: deze constructie acht ze te onderscheiden),

maar vooral

• elke superpositie van de bovenstaande , zoals $ \ frac {e ^ {i \ pi / 4 }} {\ sqrt2} | \ rangle + \ frac12 | a \ rangle – \ frac12 | aab \ rangle \ otimes \ left (\ frac1 {\ sqrt2} | a \ rangle + \ frac i {\ sqrt2} | b \ rangle \ right) $.

Deze ruimte is inherent oneindig dimensionaal, zelfs als je begint met iets kleins, zoals een qubit. Als u zich het resultaat wilt voorstellen met behulp van een basis, voegt u eenvoudig de lijsten met de basistoestanden van alle componenten samen:

$$ \ {| \ rangle, | 0 \ rangle, | 1 \ rangle, | 00 \ rangle, | 01 \ rangle, | 10 \ rangle, | 11 \ rangle, | 000 \ rangle, | 001 \ rangle, \ ldots \} $$

In de meest triviale instelling: het enkele deeltje heeft niet echt verschillende toestanden, dus $ H ^ 1 $ is 1-dimensionaal. Het is nog steeds logisch om een vaste staat $ | {} \ circ {} \ rangle \ in H ^ 1 $ te kiezen en de Fock-ruimte te construeren met basis

$$ \ {| \ rangle =: | 0 \ rangle, | {} \ circ {} \ rangle =: | 1 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 2 \ rangle, | {} \ circ {} \ circ {} \ circ {} \ rangle =: | 3 \ rangle, \ ldots \}, $$

een voorbeeld van een staat zou bijvoorbeeld een coherente staat kunnen zijn

$$ | \ alpha \ rangle = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} \ frac {\ alpha ^ n} {\ sqrt {e ^ {| \ alpha | ^ 2} n!}} | n \ rangle $$

en je hebt een mooi voorbeeld van waarom mensen kunnen spreken van excitaties als van “fononen” in een harmonische oscillator, ook al oscilleert er maar een enkel deeltje!

Ja, dat klopt. Je bouwt een “grote” Hilbertruimte uit de “kleine”, als je wilt.