In de afbeelding van Heisenberg (met natuurlijke dimensies): $$ O_H = e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}. \ tag {1} $$ Als de Hamiltoniaan onafhankelijk is van de tijd, kunnen we een gedeeltelijke afgeleide van beide kanten nemen met betrekking tot tijd: $$ \ partiële_t {O_H} = iHe ^ {iHt} O_se ^ {- iHt} + e ^ {iHt} \ partiële_tO_se ^ {- iHt} -e ^ {iHt} O_siHe ^ {- iHt}. \ tag {2} $$ Daarom, $$ \ partiële_t {O_H} = i [H, O_H] + (\ partiële_tO_s) _H \, \ tag {3} $$ maar dit is niet gelijk aan wat veel studieboeken vermelden als de bewegingsvergelijking van Heisenberg. In plaats daarvan stellen ze dat $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ gedeeltelijke_tO_s) _H. \ tag {4} $$ Waarom is dit in het algemeen waar en niet de eerdere bewering? Ben ik gewoon pedant met mijn gebruik van gedeeltelijke en totale afgeleiden?
Opmerkingen
- Waarom heb je een gedeeltelijke afgeleide toegepast? In het Heisenberg-formalisme zijn de staatskets vast in de tijd en variëren operators in de tijd. Dus je kunt de totale tijd-afgeleide nemen van de operator op de LHS.
- Sorry, ik kan ‘ je logica daar niet begrijpen. Hier mag $ O_s $ variëren met de tijd en $ O_H $ ook, maar het is heel duidelijk dat er op de LHS een totale tijd afgeleide is van $ O_H $, en er verschijnt een gedeeltelijke tijd afgeleide op de RHS. Waarom zijn het ‘ niet beide partiële afgeleiden in de tijd?
- @ I.E.P. In Eq. (2), aan de linkerkant, waarom is niet ‘ t het $ \ frac {d \, O_H} {dt} $?
- @IEP, Aan de linkerkant gebruik je $ \ frac {d \, O_H} {dt} $, en de totale afgeleide kan worden uitgedrukt als de som van partiële afgeleiden.
- @IEP Ik denk dat wat je mist, het wiskundige verschil is tussen totale afgeleide en gedeeltelijke afgeleide. Links $ O_H $ als functie van $ t $, vandaar de totale afgeleide, rechts $ O_H $ als samengestelde functie via de relatie (1), vandaar de partiële afgeleide voor elke componentfunctie.
Answer
Met enkele definities om tijdafhankelijkheden expliciet te maken, kan je vergelijking (4) logisch worden gemaakt. Laten we het volgende nemen:
Laat $ O_s $ een operator zijn, afhankelijk van de tijd en andere parameters $ O_s: \ mathbb {R} \ times S \ rightarrow \ mathrm {Op} $, waarbij $ S $ is de ruimte van de andere parameters en $ \ mathrm {Op} $ is de ruimte van operatoren op de Hilbertruimte. Laat $ \ phi: \ mathbb {R} \ times \ mathrm {Op} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ duidt de tijdsevolutie van operators in de Heisenberg-afbeelding aan, gegeven door $ \ phi_t (O) = e ^ {iHt} Oe ^ {- iHt} $.
Merk op dat $ (\ Partial_t \ phi) _t (O) = i [H, \ phi_t (O)] $ en $ \ partiële_O \ phi = \ phi $ (omdat $ \ phi $ lineair is in $ O $). Geef nu een parameter $ p \ in S $ we kunnen de functie van tijd definiëren: $ O_H: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathrm {Op} $ met $ O_H (t) = \ phi_t (O_s (t, p)) $. Onze functie $ O_H $ is een één parameter één, dus het heeft alleen zin om de totale afgeleide te nemen: \ begin {align} \ frac {dO_H} {dt} (t) = & (\ partiële_t \ phi ) _t (O_s (t, p)) + (\ gedeeltelijke_O \ phi) _t \ left [(\ partiële_tO_s) (t, p) \ right] \\ = & i [ H, \ phi_t (O_s (t, p))] + \ phi_t \ left [(\ gedeeltelijke_tO_s) (t, p ) \ right] \\ = & i [H, O_H (t)] + e ^ {iHt} (\ gedeeltelijke_tO_s) (t, p) e ^ {- iHt}, \ end {align}
waar ik in de eerste stap de kettingregel heb toegepast en in de andere de gelijkheden die we al hadden.
Antwoord
Nee, je bent niet “gewoon” pedant met je misbruik van partiële afgeleiden: je vergelijkingen (2) en (3) zijn ronduit fout. Je paste de definities gewoon niet goed toe, zoals @WeinEld heeft opgemerkt. (Je zou jezelf verdriet hebben kunnen besparen als je je vraag had geïllustreerd voor een eenvoudig systeem, zoals de SHO.)
$$ O_H \ equiv e ^ {iHt} O_se ^ {- iHt}, $$ dus voor $$ O_S = f (x, p; t) \ qquad \ Longrightarrow \ qquad O_H = f (x (t), p (t); t), $$ waarbij $ x (t) = e ^ {iHt } xe ^ {- iHt} $ en evenzo voor p .
De tijdsafgeleide van $ O_H $ bestaat uit de partiële afgeleide wrt t na de puntkomma, plus de convectieve afgeleide vanwege de stroom van x en p in de Heisenberg-afbeelding, $$ \ frac {\ gedeeltelijke O_H} {\ gedeeltelijke x (t)} \ punt {x} + \ frac {\ gedeeltelijke O_H} {\ gedeeltelijke p (t)} \ punt {p} = i [H, O_H] = e ^ {iHt} (i [H, O_S]) e ^ {- iHt}. $$ (Bewijs dit! Tenzij je het deed, is de discussie allemaal dampvormig.)
De partiële afgeleide is $$ \ frac {\ partiële O_H} {\ partiële t} = e ^ {iHt} \ frac {\ partiële O_S} {\ partiële t} e ^ {- iHt} = \ left (\ frac {\ partiële O_S} {\ partiële t} \ right) _H. $$ (Sommigen drukken dit uit als $ \ frac {\ partiële O_H} {\ partiële t} $, in het vertrouwen dat de lezer de duidelijke differentiatie van alleen het argument na de puntkomma goed zou begrijpen, maar juist deze vraag kan ervoor zorgen dat ze denk twee keer na . Nu, om zeker te zijn, aangezien $ O_S $ een verdwijnende convectieve afgeleide heeft, $ dO_S / dt = \ gedeeltelijke O_S / \ gedeeltelijke t $, zoals naar voren gebracht in een opmerking, dus dit is een non-issue.)
In elk geval levert het samenvoegen van de twee stukken de conventionele $$ \ frac {d} {dt} {O_H} = i [H, O_H] + (\ gedeeltelijke_tO_s) _H op. $$
Bewaak het duidelijke gedrag van een eenvoudig waarneembaar object zoals $ O_S = tx $ in de SHO, $ H = (p ^ 2 + x ^ 2) / 2 $, de beroemde rigide klassiek-achtige rotatie in faseruimte, $ x (t) = x \ cos t + p \ sin t $, $ p (t) = p \ cos t – x \ sin t $; dus $ O_H = tx (t) $. Vandaar $ dO_H / dt = t p (t) + x (t) $: waardeer nu de efficiëntie en verschillen van de respectievelijke afbeeldingen. (Zoals $$ dO_H / dt = \ exp (itH) (it [p ^ 2/2, x] + x) \ exp (-itH) = e ^ {it ~ [(x ^ 2 + p ^ 2) / 2,} ~ (tp + x) ~, $$ met de natuurkundigen “gebruikelijke vermijding van de advertentie kaartnotatie van de wiskundige.)
U kunt uw oriëntatie vinden door denkend aan de S-foto als de Euleriaanse lijst en de H-foto als de Lagrangiaanse, bewegende lijst.