Reacties
- Het is niet echt nodig om dat te doen, hoewel je dat wel verwacht. Het ' is eigenlijk een veel meer basale identiteit dan alles waarvoor een integraal vereist is. Je hoeft de operatoren alleen heen en weer te schudden van de bra-ket-uitdrukking, gebruikmakend van de definitie van de hermitische conjugaat.
Answer
Zoals leftaroundabout al schreef, is integratie in delen niet zinvol. Je hebt geen uitdrukkingen voor operatoren, dus er is geen reden voor. Maar je kunt het volgende gebruiken: \ begin {align} \ langle \ Psi_ {1} | (\ hat {A} \ hat {B}) ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle & = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | c \ rangle ^ {*} \ langle c | \ hat {B} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*} \\ & = \ sum_ {c} \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \\ & = \ sum_ {c} \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} | c \ rangle \ langle c | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle \\ & = \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {B} ^ {+} \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle, \ end {align} waar ik de definitie gebruikte van Hermitian conjugate, $$ \ langle \ Psi_ {1} | \ hat {A} ^ {+} | \ Psi_ {2} \ rangle = \ langle \ Psi_ {2} | \ hat {A} | \ Psi_ {1} \ rangle ^ {*}, $$ en basis $ | c \ rangle $ van eigenvectoren van een operator in een Hilbertruimte, $ \ langle c | c \ rangle = 1 $; $ \ sum_c | c \ rangle \ langle c | = \ mathbb 1 $
Antwoord
Je hoeft eigenlijk geen basis te kiezen zoals aangegeven in Het antwoord van Andrew McAdams.
Dit is het gemakkelijkst te bewijzen in wiskundige notatie (in tegenstelling tot de Dirac-notatie) waar $ (\ cdot, \ cdot) $ het inproduct is, dan is voor alle vectoren $ \ phi $ en $ \ psi $ in de Hilbert-ruimte, en voor operators $ A $ en $ B $ hebben we \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align} terwijl aan de andere kant \ begin {align} (\ phi, AB \ psi) = ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi) \ end {align} hetgeen $ B ^ \ dagger A ^ \ dagger = (AB) ^ \ dagger $ impliceert zoals gewenst.
Opmerkingen
- en hier als een enkele regel, voor de lol: $ ((AB) ^ \ dagger \ phi, \ psi ) = (\ phi, AB \ psi) = (A ^ \ dagger \ phi, B \ psi) = (B ^ \ dagger A ^ \ dagger \ phi, \ psi) \; \ forall \ phi, \ psi \ Leftrightarrow (AB) ^ \ dagger = B ^ \ dagger A ^ \ dagger $