Deze vraag is misschien een beetje lui, maar kan iemand mij een bewijs geven van de Hill Sphere-formule? Volgens wikipedia is de formule voor de straal, $ r $,
$$ r \ approx a (1-e) \ left (\ frac {m} {3M} \ right) ^ {1/3} $$
waar een massa $ m $ in een baan om een veel zwaardere massa $ M $ draait met een semi-hoofdas $ a $ en excentriek $ e $.
Reacties
- Kijk naar de introductie in dit artikel .
- Plaats een testmassa tussen twee massas, neem aan dat de oorsprong in de grotere massa ligt en bereken waar de magnitudes van beide krachten gelijk zijn?
- @Dave dat ‘ een best gaaf papier is (ik ‘ was van plan om vandaag iets gedaan te krijgen, maar nu …), en Ik ben er zeker van dat het ‘ erin zit; $ R_H = 3 ^ {- 1/3} $ en ” lengte-eenheid wordt geschaald met de factor µ $ {} ^ { 1/3} $ ” maar ik kan ‘ niet zien hoe ik de (1- e ) zo gemakkelijk vooraan.
- Omdat a (1-e) periastron is?
- Het lijkt erop dat ‘ daadwerkelijk een afleiding hebben toegevoegd naar de wikipedia-pagina – interessant genoeg is iets dat niet wordt vermeld op de wikipedia-pagina dat dit oppervlak niet bolvormig is, het verwijst naar wanneer een deeltje op de as verloren gaat (tenminste tijdens een enkele gebeurtenis – meerdere niet-resonerende gebeurtenissen verwijderen uiteindelijk al het materiaal naar buiten van de Hill-straal die een bol achterlaat)
Answer
De Hill-bol wordt iets anders gedefinieerd dan de Roche-lob , maar de straal wordt benaderd door de afstand tot de Lagrange-punten L 1 en L 2 .
Voor cirkelvormige bewegingen met hoeksnelheid $ \ omega $ rond de oorsprong, hebben we:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ omega ^ 2 \ mathbf {r} $$
De versnelling als gevolg van de zwaartekracht vanaf een puntmassa op een andere massa op positie $ \ mathbf {r} $ wordt gegeven door de gebruikelijke inverse kwadratenwet:
$$ \ ddot {\ mathbf {r}} = – \ frac {Gm} { \ left \ | \ mathbf {r} \ right \ | ^ 2} \ hat {\ mathbf {r}} $$
Overweeg nu een systeem met twee lichamen met massas $ m_1 $ en $ m_2 $ , gescheiden door een afstand $ r $ in een baan om hun gemeenschappelijke zwaartepunt (com) op afstanden $ r_1 $ en $ r_2 $ .
sub > 1 < / sub >
Dit is een eendimensionaal systeem, dus we kunnen overschakelen van vectoren naar scalairen. Uit de definitie van het zwaartepunt hebben we:
$$ r_1 = \ left (\ frac {m_2} {m_1 + m_2} \ right ) r $$ $$ r_2 = \ left (\ frac {m_1} {m_1 + m_2} \ right) r $$
Voor de baan van $ m_2 $ rond het massamiddelpunt geeft het gelijkstellen van de zwaartekrachtversnelling aan de vereiste versnelling voor cirkelvormige beweging:
$$ \ omega ^ 2 r_2 = \ frac {G m_1} {r ^ 2} $$
En vervolgens $ r_2 $ in termen van $ r_1 $ geeft Kepler “s derde wet:
$$ \ omega ^ 2 = \ frac {G \ left (m_1 + m_2 \ right)} {r ^ 3} $$
Vervolgens vinden we de afstand tot het L 1 -punt, waar de zwaartekrachten van het primaire en secundaire punt worden gecombineerd om de vereiste versnelling voor cirkelvormige bewegingen te bieden.Door de versnelling voor cirkelvormige beweging gelijk te stellen aan de zwaartekracht, geeft dit:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 – h \ right) = \ frac {G m_1 } {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {G m_2} {h ^ 2} $$
En vervangt $ \ omega $ resulteert in:
$$ \ frac {\ left (m_1 + m_2 \ right) \ left (r_2 – h \ right)} {r ^ 3} = \ frac {m_1} {\ left (r – h \ right) ^ 2} – \ frac {m_2} {h ^ 2} $$
Herschrijf dit vervolgens in termen van de massaverhouding $ q = \ frac {m_2} {m_1} $ en de relatieve afstand $ z = \ frac {h} {r} $ , waardoor:
$$ 1 – z \ left (1 + q \ right) = \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} – qz ^ {- 2} $$
Dit resulteert in een quintic-vergelijking voor $ z $ , die numeriek moet worden opgelost aangezien algemene quintics geen algebraïsche oplossingen hebben (ik ben nee ik ga doen alsof ik het bewijs hiervan ) begrijpt.
Op voorwaarde dat we ons in een situatie bevinden waarin $ m_1 \ gg m_2 $ , wat een goede benadering is voor de planeten van het zonnestelsel, kunnen we benaderingen maken om te voorkomen dat we de kwintiek oplossen. In dit geval is de Hill-bol veel kleiner dan de scheiding tussen de twee objecten, wat betekent dat we bij benadering kunnen aangeven:
$$ \ begin {align} 1 + q & \ circa 1 \\ \ left (1 – z \ right) ^ {- 2} & \ circa 1 + 2z \ end {align} $$
Waarbij de tweede regel de binominale benadering is. Dit geeft:
$$ 1 – z \ approx 1 + 2z – qz ^ {- 2} $$
Herschikken oplossen voor $ z $ :
$$ z ^ 3 \ approx \ frac {q} {3} $$
En vervolgens de definities van $ z $ en gebruiken $ q $ dit wordt
$$ h \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3 m_1} \ right) ^ {1 / 3} $$
Dit is de gebruikelijke formule voor de grootte van de Hill-bol.
Voor L 2 , het Lagrange-punt bevindt zich voorbij het secundaire, dus de vergelijking van zwaartekracht en cirkelbeweging wordt:
$$ \ omega ^ 2 \ left (r_2 + h “\ right) = \ frac {G m_1} {\ left (r + h” \ right) ^ 2} + \ frac {G m_2} {h “^ 2} $$
Waarbij $ h “$ de afstand is van het secundaire punt tot het L 2 -punt.
Vervangen in $ \ o mega $ en herschrijven in termen van $ q $ en $ z “= \ frac {h”} { r} $ geeft:
$$ 1 + z “\ left (1 + q \ right) = \ left (1 + z” \ right ) ^ {- 2} + qz “^ {- 2} $$
Dit geeft weer een kwintische vergelijking voor $ z” $ , maar we kunnen vergelijkbare benaderingen maken als het geval voor L 1 :
$$ \ begin {align} 1 + q & \ circa 1 \\ \ left (1 + z “\ right) ^ {- 2} & \ circa 1 – 2z “\ end {align} $$
Dit geeft:
$$ 1 + z” \ approx 1 – 2z ” + qz “^ {- 2} $$
De variabelen vereenvoudigen en weer vervangen:
$$ h” \ approx r \ left (\ frac {m_2} {3m_1} \ right) ^ {1/3} $$
Dit werkt voor cirkelvormige banen. Voor excentrische banen is de gebruikelijke benadering om eenvoudig de afstand $ r $ te vervangen door de pericentrische afstand $ a \ left (1 – e \ right) $ waarbij $ a $ de halve lange as is. Een meer rigoureuze benadering zou zijn om de hoeksnelheid op pericentra te gebruiken en daaruit af te leiden, maar ik laat dat over als een oefening voor de geïnteresseerde lezer 🙂
Opmerkingen
-
+1Don ‘ vergeet het quod erat demonstrandum !
Answer
Hill Sphere is vernoemd naar John William Hill (1812-1879) en zijn eenvoudige logica volgt uit de aanwezigheid van drie lichamen (laten we aannemen dat de zon de grootste massa is met de aarde als de secundaire massa en een satelliet met een verwaarloosbare massa in een baan om de aarde als de derde massa), waar de straal van de heuvelbol zal zijn de grootste straal waarop een satelliet in een baan om de secundaire massa zou kunnen draaien (in dit geval de aarde). Als zijn baan groter is dan de Hills-straal, zal hij vallen onder de invloed van de zwaartekracht van het eerste lichaam (de zon) en dus niet langer een satelliet van het secundaire lichaam zijn.
Je zou de vergelijkingen van Newton kunnen schrijven met het idee dat de satelliet dezelfde hoeksnelheid heeft als het secundaire object.Dit is dat de hoeksnelheid van de aarde rond de zon gelijk is aan de hoeksnelheid van de satelliet rond de zon. Een demonstratie van de afleiding wordt gegeven in de volgende link, evenals die van de Roche-limiet: