De beste manier om trigometrie te leren

De contouren van Schaum zijn over het algemeen erg praktisch en goedkoop. Zeer geschikt voor een oudere leerling. antwoorden zijn direct na de problemen versus aan het einde. En je krijgt alle antwoorden, niet de oneven / even zigeuner. Dus geschikt voor zelfstudie.

Ik vind deze leuk, over het algemeen en bezit hem: https://www.amazon.com/gp/product/0070026505/ref=dbs_a_def_rwt_hsch_vapi_taft_p1_i10

Het is uit 1960, dus de taal is niet archaïsch, maar het is niet “nieuw”. Ik weet niet zeker welk ander voordeel dan taal u van nieuwere versies wilt, maar als u een nieuwere wilt, hebben ze een recente 4e editie College Math die u in plaats daarvan kunt krijgen.

Let op, dit is een algemene voorcalculatie boek (en waarschijnlijk wat je nodig hebt). Maar als je alleen een trig-primer wilt, dan heeft Schaum dat ook. Het is duidelijk dat er meer trig-problemen in het trig-boek staan dan in het precalc-boek (waarin alle normale middelbare schoolcursussen worden behandeld).

Ps. het zou gemakkelijker zijn om u te adviseren als u ons had verteld welke boeken u in de steek hadden gelaten. Zoals heb ik tevergeefs een lang antwoord geschreven?

Pss Ik weet niet zeker waarom trig zo een hindernis is voor mensen. Maar ik raad wel aan om eerst na te denken over de sin en cos en dergelijke in de context van de eenheidscirkel, niet over de verhoudingen van zijden van driehoeken. Het is gewoon een iets eenvoudiger concept en zonder een ratio om bij te houden.

https://www.khanacademy.org/math/algebra2/x2ec2f6f830c9fb89:trig/x2ec2f6f830c9fb89:unit-circle/v/unit-circle-definition-of-trig-functions-1 (Kahn maakt het hier een beetje ingewikkelder door over verhoudingen te praten. Maar toen ik het leerde, was het grote voordeel een allereerste introductie zonder verhoudingen … alleen de x- en y-assen van de eenheidscirkel.

Reacties

• Bedankt voor het antwoord! En je ‘ hebt gelijk, ik had moeten vermelden welke boeken. De 3 boeken are Trigonometry, 5e editie door Lial, Miller, Hornsby, 1993., Trigonometry Workbook for Dummies door Mary Sterling, en College Trigonometry door Stitz en Zeager, 2013. I ‘ zal precalc starten op de universiteit als de zomer voorbij is, en ik ‘ weet zeker dat ik ‘ snel genoeg vertrouwd zal raken met triggers. Ik hoop alleen genoeg te leren in Ondertussen maak ik dus mijn eerste cursus af zonder al te veel hobbels op de weg.
• Zorg ervoor dat u veel problemen oplost. Misschien heb je het gevoel dat ” ik ‘ m het niet ” snap. Maar als je grote hoeveelheden problemen werkt, zal het gewoon in je hoofd gegroefd worden. En problemen werken betekent het antwoord bedekken, het probleem helemaal oplossen. Je antwoord controleren. Herhaling (volledig) van alle gemiste problemen vanaf nul (zelfs voor dwaze tekenfouten). Behandel het als een fysieke training voor een sport of het leren van een muziekinstrument. Wees ijverig.
• @RustyCore Voor alle duidelijkheid: ik ‘ ben over van een plaatselijke universiteit. Wat ik op de universiteit afstudeerde, had niets met wiskunde te maken en had heel weinig wiskundige vereisten, vandaar dat mijn eerste wiskundeles aan de universiteit precalc was.
• @guest, ik begrijp het. Maar ik denk dat Rusty aanmatigend en onbeschoft was. Ik ‘ ben me er volledig van bewust dat het behalen van deze graad waarschijnlijk de meest uitdagende en stressvolle tijd van mijn leven zal zijn, maar ik wil niet ‘ om mezelf ervan af te sluiten alleen omdat ik ‘ het moeilijk heb met één onderwerp. De meeste mensen stoppen en zeggen dat ze ‘ gewoon geen wiskundigen zijn wanneer ze voor een wegversperring komen te staan en zich onmiddellijk afsluiten voor verdere wiskunde of de basis die ze nodig hebben om op te frissen. Ik ‘ m probeer dat te vermijden, omdat ik dat vorige jaren precies deed.
• @Lex_i, je klinkt als een volwassen student, en ik heb veel studenten gehad zoals jij die uitblinkt. Ik hoop dat je avonturen in wiskunde je vreugde schenken.

Misschien kan een visuele benadering je studie aanvullen? Er zijn veel van dergelijke bronnen beschikbaar op internet, niet in leerboeken. Bijv. Intuïtief triggeren :

---

         
          ^{Opmerking: de labels geven aan waar elk item “naartoe gaat . ”}

---

Nog een: Interactive Unit Circle . Nog een: Inverse trigger-functies .

Reacties

• it ‘ is een handig diagram. Ik zou een disclaimer willen toevoegen dat het concept van soortgelijke driehoeken wordt gebruikt, om verwarring te voorkomen.
• Ik denk dat het diagram nuttiger zou zijn als het de hoek zou laten zien en waar alle functies een functie van zijn . Het lijkt erop dat het ‘ is ontworpen om te onthouden wat je al weet, niet om triggers vanaf nul te leren.
• @JessicaB: ten eerste, het is niet mijn diagram: -). Ten tweede is er een verhaal dat erbij hoort; het is niet bedoeld om op zichzelf te staan. Ten derde vind ik het nuttig om te zien dat bijvoorbeeld $ \ sin \ le \ tan $ en $ \ sec \ ge \ tan $ en $ \ tan $ onbegrensd kunnen zijn, enz.
• @ JessicaB: PS. De hoek is de hoek in het midden van de cirkel, welke cirkel helaas bijna onzichtbaar is in mijn snapshot.
• @JosephO ‘ Rourke Ik weet dat je ‘ om het te tekenen. En ik weet nu dat de hoek die in het midden is, want ik ken trig. Maar toen ik het voor het eerst tegenkwam, raakte ik erg in de war omdat ik de relatie met de invalshoek niet ‘ had opgepikt.

Persoonlijk heb ik liever een tekstboekaanbeveling die ik kan downloaden of ophalen die [bij voorkeur] niet oud is en wel maak trigonometrie niet intimiderend om te benaderen (vooral een die de nadruk legt op het begrijpen van bewijzen achter eigenschappen / stellingen).

Ik heb geen studieboeken om aan te bevelen, maar ik kan een benadering aanbevelen voor het doen van trigonometrie die wiskundig begrip ervan vergemakkelijkt door de logisch fundament van trigonometrische uitdrukkingen en algebraïsche structuur van trigonometrische uitdrukkingen. Er zijn twee “niveaus” hiervoor, afhankelijk van of u direct naar compl. wilt gaan ex-getallen of blijf binnen echte trigonometrie. In beide gevallen ligt de focus op het identificeren van de intrinsieke kern van trigonometrie en het terugbrengen van al het andere tot dat.

---

Echte trigonometrie

De belangrijkste grootheden zijn $ \ cos (t) $ en $ \ sin (t) $ , dit zijn de $ x $ en $ y $ coördinaten van het punt $ P_t $ op de eenheidscirkel die een boog van lengte onderspant $ t $ linksom vanaf de $ x $ -as, zoals weergegeven in de afbeelding van wikipedia :

Hier wordt de booglengte gemeten langs de eenheidscirkel, en $ π $ is gedefinieerd als de booglengte van de halve cirkel, dus $ 2π $ is $ 360 ° $ . (Deze manier om hoeken te meten wordt vaak het meten van hoeken genoemd in ” radialen “, maar persoonlijk denk ik dat het een overbodige term is.) dat $ P_t = P_ {t + 2πk} $ voor elk geheel getal $ k $ , omdat $ 2πk $ zou een geheel veelvoud van volledige rondes zijn. Merk ook op dat het verhogen van $ t $ $ P_t $ tegen de klok in beweegt, terwijl $ t $ verplaatst $ P_t $ met de klok mee. Daaraan gerelateerd is $ P _ {- t} $ de weerspiegeling van $ P_t $ over de $ x $ -axis.

Merk op dat de tekens van $ \ cos (t) $ en $ \ sin (t) $ komen exact overeen met de tekens van $ x $ en $ y $ coördinaten van het punt op de cirkel. (Luister niet naar mensen die je vertellen iets uit je hoofd te leren om te bepalen welke van hen positief is in welk kwadrant.)

En alleen per definitie $ \ cos ( t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2 = 1 $ voor elke echte $ t $ . Dit is het eerste sleutel algebraïsche feit .

Vervolgens $ \ tan (t) $ is gedefinieerd als $ \ sin (t) / \ cos (t) $ . (Historisch gezien hebben we ook $ \ sec (t): = 1 / \ cos (t) $ en $ \ csc (t): = 1 / \ sin (t) $ en $ \ cot (t): = 1 / \ tan (t) $ , maar eerlijk gezegd heeft het weinig voordelen om er zoveel te hebben als $ \ cos, \ sin $ alleen voldoende is.) Telkens wanneer u een trigonometrische uitdrukking met $ \ cos, \ sin, \ tan, \ sec, \ csc, \ cot $ , moet u waarschijnlijk de standaard wiskundige techniek van uitvoeren herschrijven in canonieke vorm , wat in dit geval betekent herschrijven in termen van $ \ cos, \ sin $ alleen, terwijl let op waar de originele uitdrukking niet is gedefinieerd (bijvoorbeeld $ 1 / \ csc (t) = \ sin (t) $ voor elke echte $ t $ alleen als $ t $ geen veelvoud is van $ π $ ).

De andere belangrijke algebraïsche feiten ontstaan door het beschouwen van rotatiematrices die op vectoren worden toegepast. (Als u niet bekend bent met matrices als operatoren op vectoren, lees dan eerst dit . Voor een inleiding tot vectoren in de euclidische ruimte, zie hier .) Laat $ R $ een rotatie zijn rond de oorsprong in het vlak. Dan voldoet $ R $ aan drie eigenschappen:

1. $ R (u + v) = R (u) + R (v) $ voor alle vectoren $ u, v $ (dwz twee vectoren optellen en het resultaat roteren geeft hetzelfde als roteren de twee vectoren eerst voordat ze worden opgeteld).
2. Als $ R, S $ rotaties van hoeken zijn $ t, u $ , dan is $ R∘S $ een rotatie tegen de klok in van de hoek $ t + u $ .
3. Als $ R $ een hoekverdraaiing tegen de klok in is $ t $ , dan:
   a. $ R (⟨x, 0⟩) = ⟨x · \ cos (t), x · \ sin (t)⟩ $ voor elke echte $ x $ .
   b. $ R (⟨0, y⟩) = ⟨-y · \ sin (t), y · \ cos (t)⟩ $ voor elke echte $ y $ .

We kunnen deze eigenschappen beschouwen als axiomas (aanname) over rotaties. Immers, als $ R $ niet aan hen voldoet, dan zouden we $ R $ geen rotatie noemen naar begin met. Om te zien waarom, legt eigenschap (1) de intuïtie vast dat het roteren van twee verbonden staven beide staven met de rotatiehoek zal draaien terwijl ze behouden blijven waar ze op elkaar aansluiten. Eigenschap (2) is alleen nodig in combinatie met eigenschap (3). Eigenschap (3a) volgt uit de definitie van $ \ cos, \ sin $ , en eigenschap (3b) volgt uit dezelfde definitie geroteerd $ 90 ° $ linksom.

Eigenschappen (1) en (3) leveren de matrixvorm op van een 2d-rotatie:

Als $ R $ een rotatie linksom is van de hoek $ t $ , dan $ R = \ small \ pmatrix {\ cos (t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} $ .

En dan met behulp van eigenschap (2) get:

$ \ small \ pmatrix {\ cos (t + u) & – \ sin (t + u) \\ \ sin (t + u) & \ cos (t + u)} = \ pmatrix {\ cos ( t) & – \ sin (t) \\ \ sin (t) & \ cos (t)} \ pmatrix {\ cos (u) & – \ sin (u) \\ \ sin (u) & \ cos (u)} $ voor alle reële getallen $ t, u $ .

Vermenigvuldiging van het matrixproduct aan de rechterkant en vergelijking met de matrix aan de linkerkant geeft onmiddellijk de hoek- som identiteiten:

$ \ cos (t + u) = \ cos (t) · \ cos ( u) – \ sin (t) · \ sin (u) $ voor alle reals $ t, u $ .

$ \ sin (t + u) = \ cos (t) · \ sin (u) + \ sin (t) · \ cos (u) $ voor alle reële getallen $ t, u $ .

Wanneer u uitdrukkingen met trigonometrische functies wilt vereenvoudigen op sommen van hoeken, kunt u overwegen deze identiteiten te gebruiken om de uitdrukking te verkleinen in termen van $ \ cos, \ sin $ van zo min mogelijk hoeken.

In feite zijn alle trigonometrische i dentities die alleen rekenkundige bewerkingen en trigonometrische functies omvatten, kunnen worden bewezen met alleen de bovenstaande definities en belangrijke algebraïsche feiten. Een beetje merkwaardig genoeg kunnen zelfs de symmetrie-eigenschappen als volgt algebraïsch worden bewezen.

Gegeven een echte $ t $ :

$ 1 = \ cos (t + (- t)) = \ cos (t) · \ cos (-t) – \ sin (t) · \ sin (-t) $ . [hoek-som]

$ 0 = \ sin (t + (- t)) = \ cos (t) · \ sin (-t) + \ sin ( t) · \ cos (-t) $ . [hoek-som]

$ \ cos (t) = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (-t) – (\ cos (t) · \ Sin (-t)) · \ sin (t) $

$ = \ cos (t) ^ 2 · \ cos (- t) + (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ sin (t) $

$ = (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) · \ cos (-t) $

$ = \ cos (-t ) $ .

$ \ sin (t) = (\ sin (t) · \ cos (-t)) · \ cos (t ) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – (\ cos (t) · \ sin (-t)) · \ cos (t) – \ sin (t) ^ 2 · \ sin (-t) $

$ = – \ sin (-t) · (\ cos (t) ^ 2 + \ sin (t) ^ 2) $

$ = – \ sin (-t) $ .

Om verder te gaan met echte analyse, hebben we de volgende feiten nodig, die voorlopig als axiomas kunnen worden beschouwd (en later afzonderlijk gerechtvaardigd):

1. $ \ sin “= \ cos $ .
2. $ \ cos “= – \ sin $ .

Zoals eerder, kan alles n gereduceerd tot deze, dus het is niet echt nodig om iets meer te onthouden (ook al kan het handig zijn om dat te doen).

---

Complexe trigonometrie

Persoonlijk, Ik denk dat het het beste is om direct naar de goniometrische functies met complexe waarden te gaan, als men een complete en rigoureuze basis wenst voor het wiskundige veld van analyse . Men definieert eenvoudig: $ \ def \ rr {\ mathbb {R}} \ def \ cc {\ mathbb {C}} \ def \ lfrac # 1 # 2 {{\ large \ frac {# 1} {# 2}}} $

$ \ exp (z ): = \ sum_ {k = 0} ^ ∞ \ lfrac {z ^ k} {k!} $ voor elk complex $ z $ (na bewijst dat de som convergeert).

$ \ cos (z): = \ lfrac {\ exp (iz) + \ exp (-iz)} {2} $ .

$ \ sin (z): = \ lfrac {\ exp (iz) – \ exp (-iz)} {2i} $ .

$ π $ is tweemaal de eerste positieve wortel van $ \ cos $ ( nadat is bewezen dat het bestaat).

De motivatie is dat we $ \ exp: \ cc → \ cc $ zodanig dat $ \ exp “= \ exp $ en $ \ exp (0) = 1 $ , om algemene lineaire differentiaalvergelijkingen op te kunnen lossen, en we willen $ \ cos, \ sin: \ rr → \ rr $ zodanig dat $ \ cos “” = – \ cos $ en $ \ sin “” = – \ sin $ en $ ⟨\ cos (0), \ cos “(0)⟩ = ⟨1,0⟩ $ en $ ⟨\ sin (0 ), \ sin “(0)⟩ = ⟨0,1⟩ $ , om eenvoudige harmonische bewegingen op te lossen, en Taylor-expansie brengt ons bij de bovenstaande definities voor $ \ exp, \ cos, \ sin $ , waarvan we kunnen bewijzen dat ze convergeren op het hele complexe vlak. De bovenstaande definitie van $ π $ is de gemakkelijkste die ik ken, die niet afhankelijk is van enige geometrie. (Voor meer details over deze motivatie, zie dit bericht .)

Het volstaat te zeggen dat we met deze definities kunnen bewijzen door middel van basisanalyse die $ \ exp, \ cos, \ sin $ voldoen aan de gewenste motiverende eigenschappen evenals aan een andere sleuteleigenschap van $ \ exp $ :

$ \ exp (z + w) = \ exp (z) · \ exp (w) $ voor elk complex $ z, w $ .

Met deze eigenschap kunnen we alle trigonometrische identiteiten bewijzen via alleen algebraïsche manipulatie (en ze gelden voor complexe variabelen en niet alleen echte variabelen).

Bijvoorbeeld, gegeven een willekeurige complexe $ z $ :

$ \ cos (z) ^ 2 + \ sin (z) ^ 2 = \ lfrac {(\ exp (iz) + \ exp (-iz)) ^ 2} {4} – \ lfrac {(\ exp (iz) – \ exp (-iz)) ^ 2} {4} $

$ = \ exp (iz) · \ exp (-iz) = \ exp (0) = 1 $ .

Toch is het vaak nog gemakkelijker om eerst bewijs dezelfde belangrijke algebraïsche feiten voor $ \ cos, \ sin $ en gebruik ze vervolgens om andere identiteiten te bewijzen, dan om alles terug te brengen tot $ \ exp $ .

Reacties

• Voor verder wiskundig onderzoek bent u welkom bij deze chatroom .

Doe Saylor Academy of edX heb je iets dat je kan helpen? Het zijn beide gratis platforms met wiskundecursussen. Saylor Academy maakt bijna uitsluitend gebruik van een leerboek – je kunt er echt krediet van krijgen. Modernstates.org kan je ook helpen – ze hebben een zelfgeleide cursus met videos om het te onderwijzen. Rootmath kan ook een goede bron zijn. Bent u van plan krediet te krijgen voor deze cursus via de Clep?