Uit meerdere online bronnen las ik dat $$ E \ propto A ^ 2 $$ maar toen ik dit in de klas vertelde, vertelde mijn leraar me dat ik het mis had en dat het in plaats daarvan recht evenredig was met de amplitude.
Voorzover ik weet, zei elke website die ik hierover tegenkwam dat dit het geval is. Mijn leraar heeft een doctoraat en lijkt behoorlijk ervaren, dus ik zie niet in waarom hij een fout zou maken, zijn er gevallen waarin $ E \ propto A $?
Ik zag ook deze afleiding:
$$ \ int_0 ^ A {F (x) dx} = \ int_0 ^ A {kx dx} = \ frac {1} {2} kA ^ 2 $$
gelegen hier , vindt iemand het erg om het wat gedetailleerder uit te leggen? Ik heb een basiskennis van wat een integraal is, maar ik weet niet zeker wat de poster in de link zei. Ik weet dat er een redelijk goede uitleg is hier , maar het lijkt veel te geavanceerd voor mij (gaf het op toen ik gedeeltelijke afgeleiden zag, maar ik zie dat ze in principe hetzelfde later). De eerste die ik heb gelinkt, lijkt iets dat ik zou kunnen begrijpen.
Opmerkingen
- Je stelt de juiste vragen en denkt na op de juiste manier. Vergeet het doctoraat en vraag in plaats daarvan je docent om in detail uit te leggen waarom hij denkt dat $ E \ propto A $. Galileo had hier iets toepasselijks te zeggen: " … de autoriteit van duizend is de bescheiden redenering van een enkel individu niet waard ". Energieën in lineaire systemen zijn kwadratische functies van gegeneraliseerde coördinaten, zoals in Kyle ' s antwoord .
Antwoord
De poster van die link zegt dat het werk gedaan door de lente (dat is de wet van Hooke daar: $ F = -kx $) is gelijk aan de potentiële energie (PE) bij maximale verplaatsing, $ A $; deze PE komt van de kinetische energie (KE) en is gelijk aan de integraal van de wet van Hooke over het bereik 0 (minimale verplaatsing) tot $ A $ (maximale verplaatsing).
Hoe dan ook, je professor heeft het mis. De totale energie in een golf komt van de som van de veranderingen in potentiële energie, $$ \ Delta U = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) \ omega ^ 2y ^ 2, \ tag { PE} $$ en in kinetische energie, $$ \ Delta K = \ frac12 \ left (\ Delta m \ right) v ^ 2 \ tag {KE} $$ waarbij $ \ Delta m $ de verandering in massa is. Als we neem aan dat de dichtheid van de golf uniform is, dan is $ \ Delta m = \ mu \ Delta x $ waar $ \ mu $ de lineaire dichtheid is. De totale energie is dus $$ E = \ Delta U + \ Delta K = \ frac12 \ omega ^ 2y ^ 2 \, \ mu \ Delta x + \ frac12v ^ 2 \, \ mu \ Delta x $$ As $ y = A \ sin \ left (kx- \ omega t \ right) $ en $ v = A \ omega \ cos (kx- \ omega t) $, dan is de energie evenredig met het kwadraat van de amplitude: $$ E \ propto \ omega ^ 2 A ^ 2 $$
Opmerkingen
- Dit is waarschijnlijk gemakkelijk ergens beschikbaar op Wikipedia of zoiets, maar mag ik vragen waar je heen gaat met de PE vergelijking die je hebt opgegeven?
- @ D.W .: Sorry voor het zeer late antwoord, je kunt het zien op deze Hyperphysics-site . Je kunt het feit gebruiken dat $ U \ sim kx ^ 2 \ sim m \ omega ^ 2x ^ 2 $ en de verandering in $ U $ geassocieerd zouden zijn met een massale verandering in de golf, $ \ Delta m \ sim \ mu \ Delta x $ (met $ \ mu $ de lineaire dichtheid).