Eenheden in gravitatieconstante

Nou, de manier waarop om de eenheden van de constante te vinden, moet je rekening houden met de vergelijking waaraan hij deelneemt:

$$ F = G \ frac {m_1 m_2} {r ^ 2} $$

$ F $ is een kracht: het wordt dus gemeten in newton ($ \ operatornaam {N} $). Een newton is de kracht die nodig is om een kilogram een versnelling van een meter per seconde per seconde te geven: dus, in SI-eenheden, zijn de eenheden $ \ operatornaam {kg} \ operatornaam {m} / \ operatornaam {s} ^ 2 $. $ m_1 $ en $ m_2 $ zijn massas: in SI-eenheden worden ze gemeten in kilogram, $ \ operatornaam {kg} $, en $ r $ is een lengte: deze wordt gemeten in meters, $ \ operatornaam {m} $.

Dus opnieuw in SI-eenheden kunnen we het bovenstaande herschrijven als iets als

$$ \ phi \ operatornaam {N} = \ phi \ operatornaam {kg} \ operatornaam {m} / \ operatornaam {s} ^ 2 = G \ frac {\ mu_1 \ mu_2} {\ rho ^ 2} \ frac {\ operatornaam {kg} ^ 2} {\ operatornaam {m} ^ 2} $$

waar $ \ phi $, $ \ mu_1 $, $ \ mu_2 $ en $ \ rho $ pure getallen zijn (het zijn de numerieke waarden van de verschillende grootheden in SI-eenheden). We moeten dus de afmetingen van deze om logisch te zijn, en als je dit doet, is het meteen duidelijk dat

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatornaam {m} ^ 3} {\ operatornaam {kg} \ operatornaam {s} ^ 2} $$

waar $ \ gamma $ een puur getal is, en de numerieke waarde van $ G $ in SI-eenheden.

Als alternatief als we newtons terugzetten op de LHS we krijgen

$$ G = \ gamma \ frac {\ operatornaam {N} \ operatornaam {m} ^ 2} {\ operatornaam {kg ^ 2}} $$

Om dit te beantwoorden, moeten we de vergelijking $ F_g = Gm_1m_2 / d ^ 2 $.Dus als G wordt gemeten in $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 $, en massa wordt gemeten in kg en afstand wordt gemeten in m, dan wordt kracht gemeten met $ \ rm m ^ 3 / kg ~ s ^ 2 \ cdot kg ^ 2 / m ^ 2 $, wat vereenvoudigt tot $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $

En nu, om $ \ rm kg ~ m / s ^ 2 $ te definiëren, zou je instinct be om het op te splitsen in $ \ rm m / s ^ 2 $ en kg. Als $ \ rm m / s ^ 2 $ een eenheid van versnelling is en kg een eenheid van massa, dan moet kracht massa maal versnelling zijn. Dit wordt beschreven door Sir Issac Newton PRS “tweede bewegingswet beschrijft:

$ F = ma $

Het is dus logisch dat de gravitatieconstante G wordt gemeten in $ \ rm m ^ 3 / kg ^ 1 ~ s ^ 2 $.

Reacties

• Niet zeker dat ” PRS ” is nodig om Newton te beschrijven

Het is een probleem.

Constanten verwijzen naar zuivere getallen, dus het is inderdaad grappig dat een constante meeteenheden heeft.

Het is een passend probleem. Je vindt, of vermoedt dat iets van iets anders afhangt, proportioneel zoals wanneer x van 3 naar 4 gaat, y van 6 naar 8, (dus y = 2 * x waarbij 2 een constante is) of omgekeerd evenredig (y = x / 2), dus als je tevreden bent dat je alles hebt gevonden dat van invloed kan zijn op dat iets, heb je vrijwel je vergelijking, zoals y = a x ^ 2 + bx + c het eenvoudige kwadratisch in één dimensie of zoiets als w = x y.

De laatste stap is het toevoegen van constanten zodat de getallen en de resultaten overeenkomen.

Maar als de eenheden volgens uw meeteenheden niet overeenkomen, heeft u een probleem. U zult hiervoor opofferen als uw constante geldt, ook al heeft deze eenheden, maar wees u er misschien van bewust dat de vergelijking meer inhoudt dan deze vereenvoudiging of natuurlijk dat uw oorspronkelijke idee van meeteenheden een fout heeft. Het is meer een zooitje om herdefinieer je eerste principes, dwz snelheid is niet meter / seconden, dus laten we dat voorlopig weglaten.

De zwaartekrachtvergelijking in deze vorm lijkt ook erg op de wet van Coulomb, te veel op elkaar in feite, beide zijn meestal richtlijnen om te zeggen dat de kracht evenredig is met de massa van de objecten en omgekeerd evenredig is met het kwadraat van hun afstand (in het geval van de zwaartekracht)

Je krijgt wel nette vierkanten met de zwaartekracht, dat wil zeggen (kg / m) 2 dus als het hele ding in het kwadraat is, vraag je je misschien af wat kg / m is.

Bijvoorbeeld: vierkantjes verschijnen als je addi ng dingen door integratie, integralen een ander mooi wiskundig concept dat echter, in ieder geval grafisch, een benadering is.

Dus we zeggen als y = x ^ 2 dan dy / dx = 2x en integratie is het omgekeerde van differentiatie , met de notatie “Integraal van x” als I (x), dan I (2x) = 2 * (x ^ 2) / 2 + K (we voegen altijd een constante toe in integratie voor het ontbrekende deel.

Dus misschien is de (zwaartekracht) kracht f = I (iets) zodat het kwadraat wordt.

Force is een grappig dier. Je hebt dingen zoals impulsen zoals je dingen hebt als energie, werk en kracht, allemaal concepten in de natuurkunde, verbonden. Bijvoorbeeld iirc work = power * time maar dat is gewoon gezond verstand praten, dus ik zal hier stoppen.

Toegevoegd:

Om te beginnen na te denken over kg / m en wat dat is, een ding dat in me opkwam, deze twee zijn verbonden wanneer iets een afstand aflegt, hoe hangt de afstand af op de massa? Zeker als je wrijving krijgt, is de massa belangrijk. Je kunt ook aan dichtheid denken, wat massa / volume is.

Dus F ~ volume ^ 2 en misschien F = volume iets, dat het terugbrengt naar kg m / s ^ 2. iets dat in het waarneembare lokale stabiel, constant is. Let op als F = I (x) en het heeft m / s ^ 2 erin, er is een integrale relatie tussen snelheid en versnelling (s = v t + a t / 2) waarbij s is afstand, v is snelheid, a is versnelling en t tijd. Houd er rekening mee dat integratie ook subjectief is, je integreert over iets, dus als w = x y en zowel x als y variabelen zijn, kun je w over x integreren en kun je w over y integreren. Deze zijn / (kunnen) additief zijn, mits ze onafhankelijk zijn, want als y = f (x) kun je naar enkele variabele w = x f (x) => w = g (x)

Aangezien deze vraag 46K (!) views had, kan het nuttig zijn om zelfs na 4 jaar een antwoord toe te voegen.

$ G $ is een experimentele constante die nodig is om overeen te komen met de potentiële energie van Newton om te experimenteren. De potentiële energie van Newton is $$ E_P = – \ frac {GM m} {r} ~. $$ Delen door de energie $ mc ^ 2 $ krijgt u het dimensieloze potentieel $$ V = – \ frac {GM} {c ^ 2r} ~. $ $ Aangezien $ V $ dimensieloos is, is $ GM / c ^ 2 $ een lengte. Deze lengte wordt geïnterpreteerd als de helft van de straal van een zwart gat met massa M, $ r_M / 2 $ . G heeft afmeting $ m ^ 3 kg ^ {- 1} s ^ {- 2} $ .U kunt het dimensieloze potentieel daarom ook schrijven als $$ V = r_M / 2r $$ , waarbij de enige constante een lengte is met een duidelijke maar exotische interpretatie.

De meest directe interpretatie – een die de paradigma-kloof tussen relativistische en niet-relativistische fysica overstijgt, en is verbonden met de Raychaudhuri-vergelijking, is dat in termen van volumecontractie.

Een wolk die een massa $ M $ omringt, waarvan de bestanddelen allemaal in radiale beweging zijn, heeft een volume dat als functie van de tijd $ V (t) $ voldoet aan de vergelijking $$ \ frac {d²V} {dt² } – \ frac {2} {3V} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ 2 = -4πGM. $$ Indien aanvankelijk stationair, dan is de aanvankelijke versnelling van het volume, onder de de zwaartekracht is $ – 4πGM $ , het negatieve dat aangeeft dat het begint te krimpen.

Dus de eenheden voor $ GM $ zijn kubieke meter per seconde, per seconde.

De generalisatie hiervan naar een $ n + 1 $ dimensionale ruimte-tijd is $$ \ frac {d ^ 2V} {dt ^ 2} – \ frac {n -1} {nV} \ left (\ frac {dV} {dt} \ right) ^ ² = -n \ frac {π ^ {n / 2}} {(n / 2)!} G_n M, $$ met de conventie $ (- 1/2)! = \ sqrt {π} $ , waarbij $ G_n $ de $ n $ is – dimensionale versie van de Newton-coëfficiënt; waarvan de eenheden meterⁿ / (seconde² kilogram) zijn.