Eenvoudige beschrijving van uitwisselingsinteractie?

Uitwisselingsinteractie is een toevoeging aan andere interacties tussen identieke deeltjes veroorzaakt door permutatiesymmetrie.

Deze toevoeging is het resultaat van een specifieke vorm van meerdeeltjes Golf functie. Het levert geen bijdrage aan Hamiltoniaan in tegenstelling tot “gebruikelijke” interacties, maar verschijnt als een aanvullende term in vergelijkingen voor enkele -partikelgolffuncties (bijv. Hartree-Fock-vergelijking).

Interactie wordt gewoonlijk geassocieerd met energie en krachten. We zouden de uitwisselingscorrectie kunnen vinden als een kracht die is toegevoegd aan Coulomb-krachten, maar we moeten eerst begrijpen wat kracht is in het kwantumsysteem.

Laten we eens kijken naar twee fermionen met coördinaatgolffuncties uit één deeltje $ \ psi_a ( x) $ en $ \ psi_b (x) $ en spingolffuncties $ \ phi_a (s) $ en $ \ phi_b (s) $. De mogelijke tweedelige golffuncties zijn singlet met symmetrisch coördinatendeel $$ \ Psi_S (x_1 , x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) + \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$ en triplet met antisymmetrische coördinaat deel $$ \ Psi_A (x_1, x_2) = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ left [\ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) – \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right] $$

Laat de Hamiltoniaan met twee deeltjes niet afhankelijk zijn van spins: $$ \ hat {H} = \ frac {\ hat {\ mathbf {p}} _ 1 + \ hat {\ mathbf {p }} _ 2} {2m} + V (x_1, x_2) $$ dan is de gemiddelde energie van de interactie: $$ U_S = \ left < \ Psi_S \ right | V \ left | \ Psi_S \ right > = U + U_ \ text {ex} $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > + \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$ $ $ U_A = \ left < \ Psi_A \ right | V \ left | \ Psi_A \ right > = U – U_ \ text {ex } $$ $$ = \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right > – \ left < \ psi_a (x_1) \ psi_b (x_2) \ right | V \ left | \ psi_a (x_2) \ psi_b (x_1) \ right > $$

De term $ U_ \ text {ex} $ is niet alleen nul als de deeltjes dicht genoeg bij elkaar zijn en hun golffuncties overlappen elkaar (zie onderstaande afbeelding). In klassieke limiet wanneer afstand $ L $ groot is, is de overlapping nul en $ U_S = U_A = U $

Laten we aannemen dat $ \ psi_a $ en $ \ psi_b $ overal niet-negatief zijn en $ V $ fungeert als Coulomb-interactie (dwz positief en afneemt naarmate de afstand groter wordt). Dan $ U $ en $ U_ \ text { ex} $ zijn positief en de energie van de symmetrische coördinaattoestand (tegenoverliggende stekels) is hoger dan de energie van de antisymmetrische coördinaattoestand (vergelijkbare stekels). Als de gemiddelde posities van de deeltjes vast zijn, zal de uitwisselingsinteractie de spins in dezelfde richting plaatsen.

De interactiekracht tussen de deeltjes kan worden gedefinieerd als de gegeneraliseerde kracht die overeenkomt met de parameter L: $$ F = – \ frac {\ partiële U} {\ partiële L} $$ Binnen onze aannames betreffende $ \ psi_a $, $ \ psi_b $ en $ V $ de afgeleide van zowel $ U $ als $ U_ \ text {ex} $ zijn negatief. Daarom is de “gebruikelijke” kracht positief (afstoting) en is de uitwisselingskracht positief voor symmetrische coördinaten s tate en negatief voor antisymmetrische coördinatentoestand (attractie).

Dus de uitwisselingsinteractie voor het geval van twee deeltjes kunnen worden beschouwd als extra kracht, afhankelijk van de spinconfiguratie. Voor meerdere deeltjes is dit ingewikkelder.

Opmerkingen

• Hallo, hoe is de effectieve kracht van uitwisselingsinteractie voor Fermion aantrekkelijk te begrijpen? Zeer contra-intuïtief.